湖南长沙市湖南师范大学附属中学等校2026年 初中学业水平考试模拟试卷 数学B

2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学参考答案 一、单选题（共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A B A B B D 二、填空题（共18分） 11． 12． 13．10 14． 15．2 16．3 三、解答题（共72分） 17．（6分）【解析】解： ………………………………………………………………………………（2分） …………………………………………………………………………………（4分） ．………………………………………………………………………………………………（6分） 18．（6分）【解析】解： ；…………………………………………………………………………………………………（3分） 当，时， 原式＝＝．…………………………………………………………（6分） 19．（6分）【解析】（1）证明：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分；…………………………………………………………………………………………（3分） （2）证明：，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形．…………………………………………………………………………………（6分） 20．（8分）【解析】（1）解：根据统计图得：解得， ，∴， 故答案为：27；；……………………………………………………………………（只写答案即给4分） （2）解：A等边三角形是轴对称图形；B正五边形是轴对称图形；C正六边形是轴对称图形；D圆形是轴对称图形 ∴是轴对称图形的一共有4个， 故答案为：4；……………………………………………………………（只写答案即给1分） （3）解：既是轴对称图形又是中心对称图形的有C正六边形、D圆形，…………………………（6分） 画出树状图如下： ……………………………………………………………………………………………（7分） 一共有12种情况，选到的两个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的情况有2种， ∴选到的两个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：．……………………（8分） 21．（8分）【解析】（1）证明：连接OC，平分， ． 又， ， ， ， ， CD． 又为半径， ∴直线是的切线；………………………………………………………………………………（4分） （2）解：连接交于点F， 为的直径， ． ， ， BE， ， ∴点F是的中点． 又∵点O是的中点， 是的中位线， ；……………………………………………………………………（6分） 在中，， 设为x，则为，则：， ，解得，， ，……………………………………………………………………（7分） ．………………………………………………………………（8分） 22．（9分）【解析】（1）解：根据题意可得，该函数经过点，，设y与x的函数关系式为， 将，代入得： ，解得：， 与x的函数关系式为．………………………………………………（只写答案即给3分） （2）解：根据题意可得：， ∴， 整理得：，解得，． ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；………………………………………………（6分） （3）解：设利润为w， ，……………………（7分） ，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大．………………………………………………………………（8分） ， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．…………………………………（9分） 23．（9分）【解析】（1）过点D作DEAB于点E，过点C作CFDE于点F， 则CF，，，，， 在中，， ． 在中，， ． 的长度为．…………（4分） （2）由（1）知，， ， ． 在中，， 在中，， ．…………（6分） 鹅卵石步道的路程为， 所需时间为．…………（7分） 人工步道的路程为， 所需时间为．…………（8分） ， 他选择人工步道时间更快．…………（9分） 24．（10分）【解析】（1）解：， ， ，， ，， 抛物线与轴相交于，两点， ，解得， 该抛物线对应的函数表达式为；…………（3分） （2）解：①在中，令，，解得，即，在中，令，则，即， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， ， 如图，作轴于，则，，， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将代入得：，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：或， 点在第三象限， ；…………（6分） ②过抛物线上一点M作直线的平行线，与抛物线相交于另一点N ， 设直线的解析式为，将代入得，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点在第三象限， ；（6分） ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． 设，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为，设直线的解析式为，将代入得， 直线的解析式为；联立得， ，将代入得， ， ，解得，将代入得， ， ，解得， 联立， 得出， 点在直线上运动，在中，令，则，即， 如图，作点关于直线对称点，连接交直线于，连接，则， 由轴对称的性质可得， ， 由两点之间线段最短可得线段的最小值的最小时为， ， 线段的最小值为．（10分） 25．（10分）【解析】（1）①如图1中， 点， ，， ，， 当时，的值最小，当与重合时，的值最大是， 中，，即的最小值是； 如图2，当时，的值最小， 中，， ， ， ， ， ， 当与重合时，的值最大，的最大值是2， 线段的取值范围是：； 故答案为：，，；…………（只写答案即给3分） ②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 故答案为：和；（只写答案即给1分） （2）点，， 设直线的解析式为：， ，解得：， 直线的解析式为：， ， 设的解析式为：， ，， ，， 当时，如图5，线段在内部，与无公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， 线段与满足限距关系， ，解得， ； 当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系， 当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， 线段与满足限距关系， ， 而总成立， 时，线段与满足限距关系， 综上所述，点横坐标的取值范围是：；………………（7分） （3）如图中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧， 两圆的距离的最小值为，最大值为， 和都满足限距关系， ，解得， 故的取值范围为．………………（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）的相反数的绝对值是（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，已知，平分，且交于点，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为，（ ） A． B．0 C． D． 5．（本题3分）下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ） A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 B．利用量角器和直尺可以作出角的平分线 C．将一根木棍分为相等的两段，从中点处切开 D．要使植树时同一行树坑在一条直线上，只需定出两个树坑的位置 6．（本题3分）如图，已知，直线与边、分别相交于点D、，直线与边，分别相交于点、，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行到，已知米，则这名滑雪运动员下降的高度是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（本题3分）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）皮影戏是一种在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧形式．某玩具厂准备生产皮影戏玩具套，为尽快完成任务，实际每天生产皮影戏玩具的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．设该玩具厂原计划每天生产这种皮影戏玩具套，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在矩形中，，分别为，上的动点且，为的中点，于点，于点，连接．若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）单项式的系数是________． 12．（本题3分）故宫博物院收藏着中华民族数千年来创造的件（套）国之瑰宝，蔚为大观．将数据用科学记数法表示为________． 13．（本题3分）若是方程的解，则的值为________． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若正方形的边长为，则的值为________． 15．（本题3分）如图，已知，平分，点在上，过点作交于点，，则点到的距离为________． 16．（本题3分）有瓶水，其中瓶质量相同，另有瓶是盐水，比其它的水略重些，如果用天平来称，至少称________次才能保证找出这瓶盐水． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 19．（本题6分）如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，，连接． （1）求证：． （2）如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 20．（本题8分）潮汕地区有着深厚的文化底蕴，如潮汕抽纱历史悠久，工艺精湛．清乾隆《潮州府志》载：“潮州妇女多勤纺织，凡女子十一二龄，其母即预备嫁衣，故织维刺绣之功，虽富家不废也”．潮汕抽纱多以几何图案与花卉、动物等自然图案相互搭配，其中几何图案多具对称性，以平衡和谐的视觉效果给人以舒适、稳定的美感，再通过图案的重复性和规律性，营造出强烈的节奏感和韵律感．抽纱之美也体现了中国传统美学观念． 现有一幅精美抽纱作品，主要由以下几何图形组成：A等边三角形、B正五边形、C正六边形、D圆形．通过统计这幅作品中A、B、C、D，4种几何图形的个数，绘制了如下尚不完整的统计图．请完成下列问题： 类别 A B C D 图形名称 等边三角形 正五边形 正六边形 圆形 个数 （1）统计表中________，在统计图中，A所对应扇形的圆心角________； （2）这幅作品中A．B．C．D，4种类别的几何图形，是轴对称图形的一共有________个； （3）若从A、B、C、D，这4种几何图形中任意选择两种进行抽纱图案设计，请你用画树状图或列表的方法，求选到的两个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率． 21．（本题8分）如图，四边形中，，平分以为直径的经过点，与的另一交点为． （1）证明：直线是的切线； （2）若，，求的长． 22．（本题9分）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米．通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量（）与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 23．（本题9分）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口在入口的正西方向，入口在入口的正北方向，入口在入口的北偏东方向处，入口在入口的北偏西方向处．（参考数据，） （1）求的长度；（结果精确到米） （2）小明从入口处进入前往处赏花，点在上，距离入口的处．小明可以选择鹅卵石步道①步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到） 24．（本题10分）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点C． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 25．（本题10分）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系． （1）如图，点，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，． ①线段的最小值为____，最大值为____；线段的取值范围是____； ②在点，点中，点____与线段满足限距关系； （2）在（1）的条件下，如图，的半径为，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围； （3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $