2025-2026学年人教版七年级数学下册期末复习专项训练

**基本信息** 聚焦相交线与平行线、平面直角坐标系、方程组与不等式三大模块，以作辅助线、参数设角、规律探究等方法为核心，构建“性质应用-规律推导-综合应用”的知识逻辑链，培养逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|4题（含3道综合证明）|作平行线辅助线、参数设角、分类讨论|平行线性质→角平分线定义→动态几何分类证明| |平面直角坐标系|5题（含3道规律题）|周期规律分析、旋转坐标推导、面积公式应用|坐标特征→图形运动规律→几何图形面积计算| |方程组与不等式|5题（含2道应用题）|消元法、参数范围确定、整数解分析|方程组求解→不等式约束→实际问题模型构建|

期末复习专项训练 相交线与平行线、 平面直角坐标系 、方程组与不等式(组)的结合 相交线与平行线 1.如图,已知MN∥PQ,点B在MN上,点C在PQ上,点A 在MN上方,∠ABD:∠DBN=3:2,点E 在BD 的反向延长线上,且∠ACE:∠ECP=3:2.设∠A=α,则∠E 的度数用含α的式子一定可以表示为 ( ) A.2α B. C. D.90°-α 2.如图,AB∥CD,若O为平面内一点,∠EOF=40°,∠BEO和∠DFO 的平分线相交于点 G,则∠EGF= 3.如图,AD∥BC,∠BCD 的平分线CG交AD于点G. (1)试说明:∠DGC=∠DCG. (2)如图,线段CG 上有一点P,满足∠CDP═3∠PDG,过点A作AH∥CG 交BC于点H. ①若∠BAH=2∠PDG,试判断AB 与AD 的位置关系,并说明理由； ②在①的条件下，在射线CG 上取一点M，使得∠PDM=∠BAH,直线 DM 交直线 BC 于点 Q,求 的值. 4.在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.已知两直线a，b，且 在直角三角尺ABC中， (1)【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点 B 在直线b上时，若 则 ; (2)【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点 B 放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A 始终在直线BD(D为直线b上一点)的上方，若存在 请求出射线 BA 与直线a 所夹锐角的度数. 平面直角坐标系 类型一 平面直角坐标系中点的坐标规律 5.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),把一根长为2 021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A→B→C→D→A→…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,1) D.(-1,-2) 6.如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为3，4，5的直角三角形ABO沿x轴向右滚动到三角形的位置，再向右滚动到三角形的位置……依次进行下去,发现A(3,0),A₂(12,3),A₂(15,0),…,则点的坐标为 . 7.距 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆 …组成一条平滑的曲线，点P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第999 s时，点 P的坐标为 . 类型二 平面直角坐标系中的面积问题 8.如图，在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A(-2,0)将点O 先向上平移4 个单位长度，得到对应点 B，再将点 B 向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接AB，BC. (1)直接写出点 B，C的坐标； (2)如图1,连接AC,求三角形ABC的面积; (3)如图2,连接OC,点M(0,m)在y轴上,若三角形AOM 与三角形BCM 的面积相等，求m 的值. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0).将线段AB 向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度,得到线段CD,连接AC,BD. (1)直接写出点C，D的坐标. (2)若M,N分别是线段AB,CD 上的动点,点M 从点A 出发向点 B 运动，速度为每秒1个单位长度，点N 从点 D 出发向点C 运动，速度为每秒0.5个单位长度，规定其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动.若两点同时出发，则几秒后 轴? (3)若H(0，m)是y轴上一动点，当三角形BDH 的面积小于3时，求m的取值范围. 方程组与不等式(组)的结合 10.若关于x，y的方程组 的解满足3x+2y>7,则整数m的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11. 若存在一个整数 m，使得关于 x，y的方程组 的解满足 x+4y≤3,且让不等式组 只有3个整数解，则满足条件的所有整数m 的和是 ( ) A.12 B.6 C.-10 D.-14 12.已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足x+y=3,求a的值. (2)小颖说:“当0<x-y≤4a+3时，若对于满足此不等式的任意a 的值都落在 内，则m 的取值范围为 ”试判断小颖的说法是否正确，并说明理由. 13.已知方程组 的解满足x 为非正数，y为负数. (1)求m的取值范围； (2)化简: (3)在m的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1? 14.某新能源汽车工厂计划建设两条生产线，分别用于生产新能源汽车的电池组和电机.已知一条电池组生产线预计占地 平均每天能生产30个电池组；一条电机生产线预计占地 平均每天能生产40个电机.每生产一套新能源汽车动力系统需要配套1个电池组和2个电机. (1)若工厂占地面积为且全部用于这两条生产线建设，则电池组、电机的生产线分别建设多少条才合理? (2)在实际建设过程中，布局还需考虑消防通道等因素，用于建设生产线的面积不能超过21 000 m²，一条电池组生产线预计每月利润1.5万元，一条电机生产线预计每月利润2万元，要使工厂每月利润不低于130万元，且在生产的电池和电机数量刚好配套的前提下，符合条件的建设方案共有几种? 1. B 如图,过点 A 作AG∥MN,过点 E作EH∥MN. ∵MN∥PQ, ∴MN∥PQ∥AG∥EH. ∵∠ABD:∠DBN=3:2,∠ACE:∠ECP=3:2, ∴ 设 ∠ABD = 3x,∠DBN = 2x, ∠ACE = 3y,∠ECP=2y. ∵MN∥PQ∥AG∥EH, ∴∠DEH =∠DBN = 2x,∠HEC =∠ECP = 2y,∠GAB=180°-∠ABD-∠DBN=180°-5x,∠GAC=∠ACP=5y, ∴∠DEC=2(x+y),∠CAB=∠GAC-∠GAB=5y-(180°-5x)=5(x+y)-180°=α, 2.20°或160°①如图,当点O在AB,CD之间时,过点O作ON∥AB. 因为AB∥CD, 所以AB∥ON∥CD, 所以∠BEO=∠EON,∠DFO=∠NOF, 因为∠EOF=∠EON+∠NOF=40°, 所以∠BEO+∠DFO=40°. 因为∠BEO,∠DFO 的平分线相交于点G, 所以 40°=20°. 过点G作GH∥AB, 则AB∥GH∥CD. 同理可得,∠EGF =∠EGH+∠FGH =∠BEG+∠DFG=20°. ②如图,当点 O 不在 AB,CD 之间时,过点 O 作ON∥AB. 因为AB∥CD, 所以ON∥AB∥CD, 所以∠NOE=∠AEO,∠CFO=∠NOF. 因为∠EOF=40°=∠NOF-∠NOE, 所以∠CFO-∠AEO=40°. 因为∠BEO 的平分线的反向延长线与∠DFO 的平分线相交于点G， 所以可设∠BEO=2x,∠DFO=2y, 所以∠CFO=180°-2y,∠AEO=180°-2x, 所以2x-2y=40°, 即x-y=20°. 过点G作GH∥AB, 则GH∥AB∥CD, 所以 ∠HGM = ∠AEM = 180° - x,∠HGF =∠DFG=y, 所以∠EGF=180°-x+y=180°-(x-y)=160°. 综上,∠EGF 的度数为20°或160°. 3.解:(1)∵AD∥BC, ∴∠DGC=∠BCG. ∵CG平分∠BCD, ∴∠BCG=∠DCG, ∴∠DGC=∠DCG. (2)①AB⊥AD.理由如下: 设∠PDG=α. ∵∠CDP=3∠PDG,∠BAH=2∠PDG, ∴∠CDP=3α,∠ADC=4α,∠BAH=2α. ∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°, ∵CG平分∠BCD, 由(1),得∠DGC=∠DCG=90°-2α. ∵AH∥CG, ∴∠DAH=∠DGC=90°-2α. ∵∠BAH=2α, ∴∠BAD=∠DAH+∠BAH=90°-2α+2α=90°, ∴AB⊥AD. ②由①,得∠DGC=90°-2α, 如图,过点M作MT∥AD, 则∠GMT=∠DGC=90°-2α. 当点 M 在线段CG 上时，如图所示. 由①,得∠PDG=α,∠PDM=∠BAH=2α, ∴∠GDM=∠PDG+∠PDM=3α. ∵MT∥AD,∴∠TMQ=∠GDM=3α, ∴∠GMQ=∠GMT+∠TMQ=90°+α, 当点 M 在线段CG 的延长线上时，如图所示. 同理可得,∠GDM=α. ∵MT∥AD,∴∠TMQ=∠GDM=α, ∴∠GMQ=∠GMT-∠TMQ=90°-3α, 综上所述， 的值为 或 4.解:(1)如图1,过点C作直线a的平行线CF. ∵a∥b,∴CF∥a∥b, ∴∠2=∠ACF,∠1=∠BCF. ∵∠ACF+∠BCF=∠ACB=90°, 故答案为35°. (2)∠2=120°+∠1.理由如下: 如图2，过点 B 作直线a 的平行线BE. ∵a∥b,∴BE∥a∥b, ∴∠2+∠ABE=180°,∠1=∠CBE. ∵∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°, ∴∠2+60°-∠1=180°,即∠2=120°+∠1. (3)由题意可知，分两种情况讨论： ①如图3，当边 BC 在直线BD 上方时，射线 BA 与直线a 所夹锐角为∠2. ∵∠1+∠ABC+∠CBD=180°,∠1=5∠CBD, ∴6∠CBD=180°-∠ABC=120°, ∴∠CBD=20°. ∵a∥b, ∴∠2=∠ABD=∠ABC+∠CBD=80°. ②如图4，当边 BC 在直线BD 的下方时，射线 BA 与直线a 所夹锐角为∠2. ∵∠1+∠ABD=180°,∠1=5∠CBD, ∴5∠CBD+∠ABD=180°. ∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°, ∴∠CBD=30°, ∴∠ABD=30°, ∵a∥b, ∴∠2=∠ABD=30°. 综上所述，射线 BA 与直线a 所夹锐角的度数为 80°或30°. 5. A 由题意,得CD=AB=1-(-1)=2,AD=BC=1-(-2)=3, ∴四边形ABCD 的周长为2×(2+3)=10. ∵2021÷10=202……1, ∴细线的另一端所在位置的点在点 A 左侧1个单位长度处， 即细线另一端所在位置的点的坐标是(0，1). 6.(156,3)由题意可知,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,AB=5, ∴A(3,0). 根据旋转的性质可知， ∴A₁(12,3), ∴A₂(15,0). 同理可得,A₃(24,3),A₄(27,0), ∵25=2×13-1, ∴点A₂的坐标为(156,3). 7.(999,-1) 由题意可得,半圆的周长是π. 根据题意可得,第1 s时,点 P 的坐标为(1,1);第2 s时,点 P 的坐标为(2,0);第3s时,点 P 的坐标为(3,-1);第4s 时,点 P 的坐标为(4,0);第5s 时,点 P 的坐标为(5,1)…… 当秒数为偶数时，点 P 落在x轴上，其横坐标和秒数相同，纵坐标是0.当秒数为奇数时，点 P 落在第一象限或第四象限，其横坐标和秒数相同.纵坐标为±1，其中点 P 落在第一象限的秒数是1,5,9,13,…,4n-3,点 P 落在第四象限的秒数是3,7,11,15,…,4n-1. ∵当n=250时,4n-1=999,n是整数, ∴第999 s时,点 P 落在第四象限,其坐标为(999,-1). 8.解:(1)B(0,4),C(4,4).提示:由条件可知,B(0,4). ∵将点 B 向右平移4个单位长度，得到对应点 C， ∴C(4,4). (2)由条件可知,OB=4,BC=4,BC∥x轴,∴三角形 ABC 的面积为 (3)由条件可知,BM=|m-4|,OM=|m|,OA=2, ∴2|m-4|=|m|. 当m<0时,2(4-m)=-m,解得m=8,不符合题意,舍去； 当0<m<4时,2(4-m)=m,解得 符合题意；当m>4时,2(m-4)=m,解得m=8,符合题意. 综上所述，m=8或 9.解:(1)C(-1,3),D(-1,-2). (2)设运动时间为t s.当MN∥x轴时,点 M 与点N 的纵坐标相同,即5-t=-2+0.5t,解得 ∴两点同时出发， 后MN∥x轴. (3)如图. ∵B(3,0),D(-1,-2),H(0,m), ∴三角形 BDH 的面积为 ∴-3<m<3, 故m的取值范围为-3<m<3. 10. B 由①+②,得3x+2y=4m+2. ∵方程组的解满足3x+2y>7, ∴4m+2>7,解得 ∴整数m的最小值为2. 11. D ①-②×2,得x+4y=2m+7. ∵x+4y≤3,∴2m+7≤3, 解得m≤-2. 解不等式组 得 ∵不等式组只有3个整数解， 解得-5≤m<0, ∴-5≤m≤-2, ∴m的整数值有-5,-4,-3,-2, ∴满足条件的所有整数m的和是-5-4-3-2=-14. 解题大招一题多解 ①+②×2,得5x=6m+3, 解得 ①-②×3,得5y=m+8, 解得 ∵x+4y≤3, 解得m≤-2. 解不等式5x-m>0,得 解不等式x-4<-1,得x<3. ∵不等式组只有3个整数解， 解得-5≤m<0, ∴-5≤m≤-2,即 m 的整数值有-5,-4,-3,-2, ∴满足条件的所有整数m的和是-5-4-3-2=-14. 12.解:(1) 由①+②,得4x+4y=-4a,∴x+y=-a. ∵x+y=3,∴-a=3,解得a=-3. (2)小颖的说法不正确.理由如下： 由①-②,得2x-2y=10a,∴x-y=5a. ∵0<x-y≤4a+3, ∴0<5a≤4a+3,解得0<a≤3. ∵对于满足0<a≤3的任意a的值都落在2m-3≤a<3m+5内, 解得 ∴小颖的说法不正确. 13.解:(1)解关于x,y的方程组 得 ∵x为非正数，y为负数， ∴-2<m≤3. (2)∵-2<m≤3,∴m-3≤0,m+2>0, ∴|m-3|-|m+2|=3-m-m-2=-2m+1. (3)∵不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1,即(2m+1)x<2m+1的解集为x>1, 又∵m为整数， ∴当m=-1时，该不等式的解集为x>1. 14.解：(1)设建设x条电池组生产线，y条电机生产线.根据题意，得 解得 答：建设40条电池组生产线，60条电机生产线才合理. (2)设建设m条电池组生产线，则建设 m条电机生产线. 根据题意，得 解得 又∵m, m均为正整数， ∴m可以为30,32,34. 答：符合条件的建设方案共有3种. 学科网（北京）股份有限公司 $