精品解析：2026年河南省漯河市召陵区 中考二模数学试题

九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵失去电子和得到电子是相反意义的变化， ∵失去个电子的电荷数变化记为， ∴得到个电子的电荷数变化应记为． 2. 下列四个展开图中，能折叠成一个四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四棱锥的底面为四边形，四个侧面均为三角形， 故能折叠成一个四棱锥的只有： 3. 中国空间站梦天实验舱的超冷原子物理实验柜，可将原子冷却到接近绝对零度，其温度低至0.0000000034K，将数据0.0000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示绝对值小于1的正数时，形式为， 需满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数（包含小数点前的零）； ∵ 的第一个非零数字为， 前共有个零，且 ， ∴ ． 4. 2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，得出，由两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等，得出，，再结合角的和差关系得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ∴，， ∵， ∴， 则， 即． 5. 若关于的不等式组的解集如下图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解不等式组，得到x的范围，再根据数轴上的信息得出，最后由一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：∵ ∴由得； 由得； 由数轴得出 故 则． 6. 如图，正六边形的中心为，为的中点，为的中点，连接，若正六边形的边长为4，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，三点共圆，直径所对圆周角为直角，勾股定理以及三角形中位线的性质等知识． 连接，，取中点K，连接，先证明点M、N、K三点共圆，圆心为O，直径为，即可得，问题随之得解． 【详解】解：连接，，取中点K，连接，如图， ∵正六边形的中心为， ∴，即四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴也为的中点， ∵为的中点，为的中点，且在正六边形中， ∴， ∴点M、N、K三点共圆，圆心为O，直径为， ∴， ∵正六边形的中心为， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，， ∴在中，． 7. 某校开展四季主题活动：体育季、文学季、科创季、艺术季．校学生会准备从这四个主题中随机选取两个主题作为本学期重点打造的活动，则恰好选中“科创季”和“艺术季”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用树状图法求出所有等可能的结果数，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记四个主题分别为：体育季A，文学季B，科创季C，艺术季D． 画树状图如下： 共12种情况，其中恰好选中“科创季”和“艺术季”的结果只有2种， ∴恰好选中“科创季”和“艺术季”的概率为． 8. 如图，在中，，以为直径的圆恰好经过点，为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得，可求，再根据内接四边形的性质，可求，最后根据三角形的内角和，计算即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ，四边形是的内接四边形， ， ． 9. 对于一个函数，若某点处的函数值是自变量的2倍，我们称该点为一个倍增点．若抛物线上仅存在一个倍增点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据倍增点定义得到倍增点满足，抛物线仅存在一个倍增点，即联立方程后得到的一元二次方程只有一个实数根，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：根据题意，倍增点满足 ， ∵抛物线上仅存在一个倍增点， ∴联立， 得 ， 整理得 ， ∵该一元二次方程只有一个实数根 ， ∴判别式 ， 化简得 ， 解得． 10. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两车开始充电时电量都是，故A正确； B、当时，甲车的图象在乙车的上方， ∴甲车的电量比乙车的电量高，故B正确； C、∵甲车的图象是曲线，乙车的图象是直线， ∴由图象得，只有从到时，两车的电量增加所需的时间才相等，故C错误； D、当时，乙车的图象在甲车的上方， ∴按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到，故D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个使为有理数的的值：______． 【答案】0（答案不唯一，，2等答案也正确） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，要使为有理数，只需为一个非负有理数的平方，取满足条件的即可． 【详解】解：要使为有理数，则需为非负完全平方数， 令 ， 解得， 此时 ，是有理数，符合题意， 故答案为（答案不唯一）． 12. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 【答案】变小 【解析】 【分析】先求出6次成绩的平均数，再根据方差的计算公式计算6次成绩的方差，与原方差比较大小，即可得到结论． 【详解】解：由题意可得，原次成绩的平均数为 ， 则次成绩的平均数为：， 则次成绩的方差为：， 因为， 所以方差变小． 13. 观察式子：，则该多项式的第项是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别对单项式中的指数和分母的常数进行规律分析，归纳得到第项的表达式． 【详解】解：当时，第1项为， 当时，第2项为， 当时，第3项为， 当时，第4项为， ... 依此类推，可得该多项式的第项为， 故答案为：． 14. 如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点E，由切线性质得，结合推出．利用扇形面积公式得，利用垂径定理和含的直角三角形的性质算出面积为，二者作差即得阴影面积． 【详解】解：连接，过点O作于点E，如下图， ∴， 是的切线， ，即， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径， ∴， ∵，且，， ∴，， ∴， ∴． 15. 定义：在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”．已知在中，，，过顶点作线段交于点，且是的“相似分割线”，其中是等腰三角形，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据定义，分三种情况讨论为等腰三角形的可能，结合 得到角的关系，排除不存在的情况，再利用直角三角形的性质计算的长度． 【详解】∵， ∴， 设， 则 ， ， ， 分三种情况讨论： 1.当时，如图， 即：，即 ，解得，即， 在中，，，， ∴，符合题意； 2.当时，，即 ，解得，不符合三角形内角和定理，舍去； 3. 当时，如图， 即：，则： ，解得， 过点作于，在中，，， ∴，即：， 在中，， ∴， ∴，符合题意． 综上，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简负整数指数幂，绝对值，以及运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）先通分，再进行分式的减法运算，最后化简，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 某校开展学生体质健康监测活动．校医从全校1200名学生中随机抽取了部分学生，对他们一分钟跳绳次数进行测试，并将测试数据整理成如下不完整的统计表． 组别 分组（次） 频数 频率 A 10 B 20 C 30 D E 15 合计 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______，______． （2）估计全校1200名学生中，一分钟跳绳次数达到“良好”等级（120次及以上）的人数． （3）本次抽查的学生一分钟跳绳次数的中位数落在哪个组？请说明理由． 【答案】（1），25，100 （2）480 （3）C组，理由如下： ∵将所有学生的跳绳次数从低到高排列，A组和B组的总人数为30，加上C组的总人数为60， ∴第50和51位的学生都在C组，故中位数也落在C组 【解析】 【分析】（1）由组频数、频率得总样本数；根据频率公式，；利用各组频数和为总样本数，得； （2）“良好”等级对应、组，对应频率为 ，根据样本估计总体思想，全校对应人数为 ； （3）样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均数，累计频数：组共30人，组共60人，故第50、51个数据落在组，即中位数在组． 【小问1详解】 解：由表格可得，总共抽取了 （名）， ∴ ，（名）； 【小问2详解】 解：120次及以上对应D组和E组，频数为，频率为， 故估计全校达到“良好”等级的人数为 ； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平行四边形中，，垂足为． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）以为圆心，为半径作圆，该圆与线段交于点，证明：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作线段的垂直平分线即可； （2）由题意画出图形，则有，然后可得，进而问题可求证． 【小问1详解】 解：所作的中点如图所示： 【小问2详解】 证明：根据题意画出图形， 是的中点，是圆的半径， 是圆的直径， ∴， ． 在平行四边形中，， ． 又， ， 四边形是矩形． 19. 为迎接校园艺术节，某班计划定制一批统一的文化衫，有甲、乙两家服装厂可以选择．甲厂收取的费用包括固定的“设计费”和按件收取的“制作费”，且已知甲厂定制20件文化衫的总费用为1400元，定制50件文化衫的总费用为2300元．乙厂免设计费，仅收取每件55元的制作费． （1）求甲厂的设计费及每件文化衫的制作费． （2）设该班要定制件文化衫，当在什么范围内时，乙厂的总费用比甲厂低？ （3）若总费用不超过3200元，选择哪家服装厂能定制更多的文化衫？最多能定制多少件？ 【答案】（1）甲厂的设计费为800元，每件文化衫的制作费为30元 （2）当 时，乙厂的总费用比甲厂低 （3）选择甲厂能定制更多的文化衫，最多能定制80件 【解析】 【分析】（1）设甲厂的设计费为元，每件文化衫的制作费为元，根据题意，列出方程组进行求解即可． （2）求出两个厂所需费用，列出不等式进行求解即可； （3）设定制件文化衫，分别列出不等式，求出两个厂最多能定制的数量，即可得出结果. 【小问1详解】 解：设甲厂的设计费为元，每件文化衫的制作费为元． 依题意得 解得 答：甲厂的设计费为800元，每件文化衫的制作费为30元． 【小问2详解】 解：定制件文化衫，甲厂的总费用为，乙厂的总费用为， 当时，解得． 又因为m表示文化衫的件数，为正整数， 所以当 （m为整数）时，乙厂的总费用比甲厂低， 答：当 时，乙厂的总费用比甲厂低． 【小问3详解】 解：设定制件文化衫． 对于甲厂，，解得，最多定制80件． 对于乙厂，，解得，最多定制58件． 因为 ， 所以选择甲厂能定制更多的文化衫，最多能定制80件． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将绕原点顺时针旋转，点对应的点为，点对应的点为，当首次与轴平行时，判断点是否在函数的图象上． 【答案】（1）； （2）点不在函数的图象上 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）作，垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为，，则，可得，由，得到为等腰直角三角形，故．在中，．根据旋转可得，首次与轴平行时，点恰好落在轴上的处，即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， 所以反比例函数的解析式为． 所以． 将和代入， 得 解得 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为，设直线与轴、轴的交点分别为，． 因为， 所以． 在一次函数中，令，得； 令，得，解得， 所以， ∴等腰直角三角形中， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以． 在中，． 根据旋转，首次与轴平行时，点恰好落在轴上的处， 所以，， 所以． 因为， 所以点不在函数的图象上． 21. 河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） （2）假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 【答案】（1）米 （2）①；②米 【解析】 【分析】（1）设观星台高，则，由得，在中．结合，列方程，解得米； （2）①由正切定义得；②令，解方程得，再计算水平距离，得至少距离观星台底部米． 【小问1详解】 解：由图可知，在 中，， ∴， 设， 在中，， ∴ ， ∴ ． ∴ ，即 解得（米）； 【小问2详解】 解：①由（1）知，， ∵前进米后，对应仰角为， ∴， ∴， ②当仰角等于时， ， ∴ 解得， ∴ ， 即他应该至少距离观星台底部米． 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标，并在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中画出抛物线的大致图象； （3）点是抛物线上与点不重合的动点，将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，若图象的最高点恰好在直线上，直接写出的值． 【答案】（1） （2）顶点坐标为；作图见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；根据列表，描点，连线的方法即可画出图象； （3）分，，三种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 列表 x …… …… y …… …… 描点，作图如下： 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，顶点为， ①当时，如图，图象的最高点为点， ∵图象的最高点恰好在直线上，即点与原点重合， ∴ ， 解得或 （舍去）； ②当时，图象的最高点为点， ∵图象的最高点恰好在直线上， ∴ ，方程无解； ③当时，如图，图象的最高点为， ∵图象的最高点恰好在直线上， ∴ ， 解得或 （舍去）； 综上，的值为或． 23. 折纸是一项有趣的活动，在数学综合实践课上，老师给每位同学发了一张纸片，进行如下操作： 第一步：在纸上画，使得，且，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连接； 第二步：将沿翻折，得到，连接； 第三步：作射线交于点，连接，． （1）操作观察：______； （2）猜想证明：猜想，，满足的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：当四边形为平行四边形时，为______三角形（填：钝角、锐角或直角），此时______． 【答案】（1）150 （2），理由如下： 如图，连接， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）直角， 【解析】 【分析】（1）连接，先用表示出，根据旋转的性质推出是等边三角形，进而推出，，则可用表示出、，再根据即可求解； （2）连接，先根据对称的性质得出，，进而可得，是等边三角形，再根据、得垂直平分，求出，得，即可求解； （3）延长交于，结合（2）的结论可得出垂直平分，根据三线合一的性质求出，根据平行四边形的性质，得出，，，又平行线的性质求出，得出，则是直角三角形，求出，设，根据含的直角三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，则，，结合（2）中，即可求解．． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 连接， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶延长交于， 由（2）知：，，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 又， ∴， ∴， 设， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列四个展开图中，能折叠成一个四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国空间站梦天实验舱的超冷原子物理实验柜，可将原子冷却到接近绝对零度，其温度低至0.0000000034K，将数据0.0000000034用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚宜宾分会场上，上百台机器狗（如图1）集体完成奔跑、跳跃等动作，成为节目亮点之一．图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组的解集如下图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形的中心为，为的中点，为的中点，连接，若正六边形的边长为4，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 某校开展四季主题活动：体育季、文学季、科创季、艺术季．校学生会准备从这四个主题中随机选取两个主题作为本学期重点打造的活动，则恰好选中“科创季”和“艺术季”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以为直径的圆恰好经过点，为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对于一个函数，若某点处的函数值是自变量的2倍，我们称该点为一个倍增点．若抛物线上仅存在一个倍增点，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 10. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个使为有理数的的值：______． 12. 某校为备战中考体育测试，组织九年级男生进行立定跳远训练，李明在连续5次模拟测试中的成绩（单位：米）分别为2.45，2.50，2.48，2.52，2.45．这5次成绩的平均数为2.48米，方差为0.00076．若李明再跳一次，成绩恰好为2.48米，则这6次立定跳远成绩的方差______（填“变大”“不变”或“变小”） 13. 观察式子：，则该多项式的第项是______． 14. 如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 定义：在一个三角形中，过一个顶点作一条线段，将原三角形分成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，那么这条线段称为该三角形的“相似分割线”．已知在中，，，过顶点作线段交于点，且是的“相似分割线”，其中是等腰三角形，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校开展学生体质健康监测活动．校医从全校1200名学生中随机抽取了部分学生，对他们一分钟跳绳次数进行测试，并将测试数据整理成如下不完整的统计表． 组别 分组（次） 频数 频率 A 10 B 20 C 30 D E 15 合计 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______，______． （2）估计全校1200名学生中，一分钟跳绳次数达到“良好”等级（120次及以上）的人数． （3）本次抽查的学生一分钟跳绳次数的中位数落在哪个组？请说明理由． 18. 如图，在平行四边形中，，垂足为． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）以为圆心，为半径作圆，该圆与线段交于点，证明：四边形是矩形． 19. 为迎接校园艺术节，某班计划定制一批统一的文化衫，有甲、乙两家服装厂可以选择．甲厂收取的费用包括固定的“设计费”和按件收取的“制作费”，且已知甲厂定制20件文化衫的总费用为1400元，定制50件文化衫的总费用为2300元．乙厂免设计费，仅收取每件55元的制作费． （1）求甲厂的设计费及每件文化衫的制作费． （2）设该班要定制件文化衫，当在什么范围内时，乙厂的总费用比甲厂低？ （3）若总费用不超过3200元，选择哪家服装厂能定制更多的文化衫？最多能定制多少件？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将绕原点顺时针旋转，点对应的点为，点对应的点为，当首次与轴平行时，判断点是否在函数的图象上． 21. 河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） （2）假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标，并在如图所示的网格（每个小正方形的边长为1）中画出抛物线的大致图象； （3）点是抛物线上与点不重合的动点，将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，若图象的最高点恰好在直线上，直接写出的值． 23. 折纸是一项有趣的活动，在数学综合实践课上，老师给每位同学发了一张纸片，进行如下操作： 第一步：在纸上画，使得，且，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连接； 第二步：将沿翻折，得到，连接； 第三步：作射线交于点，连接，． （1）操作观察：______； （2）猜想证明：猜想，，满足的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：当四边形为平行四边形时，为______三角形（填：钝角、锐角或直角），此时______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $