精品解析：2025年河南省漯河市召陵区中考二模数学试题

2025年河南省漯河市召陵区中考二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在数轴上表示实数的相反数的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数，先得的相反数是，结合数轴，即可作答． 【详解】解：的相反数是， 结合数轴得表示实数的相反数的点是点， 故选：C 2. 2025年河南全省加力推动科技创新和产业创新深度融合，促进传统产业转型升级，创新成果加速转化．一季度，全省技术合同成交额达690.6亿元．数据“690.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键在于正确确定a与n的值； 绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，n的值为整数位数减1. 【详解】解：数据“690.6亿”用科学记数法表示为； 故选：C. 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，零指数幂，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的乘法，零指数幂，积的乘方，合并同类项的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、当时，，故D不符合题意； 故选：B． 4. 北宋以来，文人士大夫阶层使用名号印成为一种常见现象．如图，是“柯山野叟”朱文瓷印，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，中间有两条横着的实线，即看到的图形如下： ， 故选：D． 5. 下列分式的值与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的简便运算、约分，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用有理数的简便运算得出计算结果，再逐项对分式约分，即可得出答案． 【详解】解： ， A、，不符合题意， B、，不符合题意； C、，不符合题题意； D、，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行四边形的性质得到，，，利用中点的性质易得，再利用平行线分线段成比例求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． ， ． 故选：A． 7. “少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”是河南省的知名景点，假期期间，小丽想从这四个景点中随机选择两个游览，则这两个景点中恰好有“老君山”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意，可以先画出相应的树状图，然后即可计算出这两个景点中有“老君山”的概率． 【详解】解：设“少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”分别用A、B、C、D表示， 树状图如下所示， 由上可得，共有12种等可能性，其中这两个景点中有“老君山”的可能性有6种， ∴这两个景点中有“老君山”的概率为， 故选：B． 8. 如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项均不成立 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B， 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边分别在轴、轴上，点在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好落在轴上，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，连接，由正方形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质可得抛物线开口向下，对称轴为，令，求出抛物线与轴的交点为和，再由抛物线经过点，，且，结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为和， 抛物线经过点，，且， ， 解得：． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 陆游在《书枕屏》中写道：“西域兜罗被、南番笃耨香”，宋时笃耨香每两卖200贯，则买两笃耨香共需____________贯． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，直接用笃耨香的单价乘以重量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，买两笃耨香共需贯， 故答案为：． 12. 某气象小组连续10天记录了一座森林公园的空气质量指数（AQI）如下： 42，55，55，48，43，55，48，42，60，65 这组数据的众数是____________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了众数，熟知众数的概念是解题的关键； 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这种数据的众数即可解答． 【详解】解：在这组数据中，55出现的次数最多，有3次； 所以这组数据的众数是55； 故答案为：55． 13. 请写出一个不等式，使其与不等式组成的不等式组只有一个整数解：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据题意，得出x的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：由得，， 当时，符合条件的整数解只有． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，是的弦，是的中点，连接，，延长到，已知．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由是的中点，得，，，再根据以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，证明四边形是菱形，故，得，证明，得，在中，，，则，解得，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，记与的交点为，如图所示： ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 则， ∴， 解得， ∴则阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求扇形面积，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15. 如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为____________，最大值为____________． 【答案】 ①. 13 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握通过作轴对称求线段最短问题，作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小，运动过程中，当点F移动到点C时，的值最大，再据此求解即可． 【详解】解：作出点A关于的对称点，连接交于点，连接，此时的值最小， 由轴对称的性质可得：， 矩形中，是边的中点， ，， ， 的最小值， 如图，动过程中，当点F移动到点C时，的值最大， 即的最大值为， 故答案为：13，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，单项式乘以多项式； （1）先算二次根式的乘法和括号，再计算负整数指数幂，最后计算加减即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 将代入，原式． 17. “构建高质量教育体系”是2025年两会中提出的关键词，而提高教师教书育人的能力是构建高质量教育体系的重要一环．在某地区组织的教师业务能力比赛中，甲、乙两位老师成绩优异，他们在校级、区级、市级和省级四场比赛中，关于知识、教态、板书三个方面的得分（满分：50分）统计结果如下： 三项平均成绩统计表 教师 知识平均得分 教态平均得分 板书平均得分 甲 47 50 45 乙 47 48 47 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这四场比赛中，知识得分更为稳定的是教师____________（填“甲”或“乙”），教师甲知识得分的中位数是____________． （2）请从知识得分方面分析甲、乙两位教师在这四场比赛中的表现（写出两条）． （3）若“知识平均得分”“教态平均得分”“板书平均得分”这三项按照确定综合成绩，选出一名成绩高的教师去参加国家级比赛，则应选哪位教师？请通过计算说明理由． 【答案】（1）甲，47 （2）见解析 （3）甲，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，加权平均数，方差，条形统计图，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． （1）根据折线统计图的波动情况判断得分稳定的教师，根据中位数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）根据加权平均数公式求出甲、乙的综合成绩，即可得到答案． 小问1详解】 解：由折线统计图知：知识得分更为稳定的是甲教师， 甲教师知识得分为：49、47、47、45， ∴中位数是， 故答案为：甲，47； 【小问2详解】 解：①教师甲在市级比赛中成绩比乙低；②从知识平均得分来看，教师甲、乙的成绩相等．（答案不唯一） 【小问3详解】 解：甲的综合成绩（分）， 乙的综合成绩（分）， ， 应选教师甲去参加国家级比赛． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）请利用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、菱形的判定和全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键； （1）根据尺规作线段垂直平分线的作法解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，直线l为所求作． 【小问2详解】 证明：垂直平分， ． 四边形为平行四边形， ． ． 在和中， ． ． ∴四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． 19. 青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 （1）若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？ （2）已知A品牌酸奶价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？ 【答案】（1）应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒 （2）购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用。解题关键在于准确分析题目中的数量关系，合理设未知数，根据等量关系或不等关系列出相应方程、不等式，构建函数模型，并运用函数性质解决最值问题。 （1）以学生摄取能量和蛋白质的量为切入点，设饮用A、B品牌酸奶的盒数分别为、，依据A、B品牌酸奶每盒的能量值和蛋白质含量，结合已知摄取量列出二元一次方程组，求解得出饮用两种品牌酸奶的盒数。 （2）从班级购买酸奶的数量和费用关系入手，设购买A品牌酸奶盒，得出购买B品牌酸奶盒。先根据“A品牌酸奶数量不低于B品牌酸奶数量的2倍”列出一元一次不等式确定的取值范围，再根据单价和购买数量构建总费用关于的一次函数，利用一次函数性质求出费用最小时的值及对应的购买方案。 【小问1详解】 解：设饮用A品牌酸奶盒，饮用B品牌酸奶盒． 依题意，可得方程组 解得 答：应饮用A品牌酸奶2盒，饮用B品牌酸奶3盒． 【小问2详解】 解：设购买A品牌酸奶盒，则购买B品牌酸奶盒． 依题意，可得不等式， 解得． 设购买这两种品牌酸奶的总费用为元， 依题意，可得． 随的增大而增大． 当时，有最小值，此时， 故购买A品牌酸奶200盒，购买B品牌酸奶100盒，才能使购买酸奶的总费用最少． 20. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2）乙先到，见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．有公共直角边的先求这条直角边． （1）过点作，垂足，先求得，由，求得，在中，，再求解即可； （2）先求得，再由，可得，从而得出，可得出甲巡逻艇用时为小时，再求得，得出海里，再比较可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，在中，， ． ， ． 在中，． 海里． 【小问2详解】 解：中，， ． ， ． ． 甲巡逻艇用时为小时． 由（1）知 ． 海里． 乙巡逻艇用时为小时． ， 乙巡逻艇先到达目的地． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ （3）若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）在 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等边三角形的性质得，运用勾股定理算，结合切线的性质得点P的坐标为，再代入求出反比例函数的表达式为； （2）先证明四边形是矩形，得，则点D的横坐标为，结合点M的坐标为，得，即点D的坐标为，根据，即可作答． （3）因为与反比例函数的图象交于点E，F，故设点的坐标为，由（1）得点P的坐标为，运用两点的距离公式，列式，得点的坐标为，因为，即三点共线，结合直径所对的圆周角是90度，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，且， ∴， 如图1，过点P作轴，垂足为M，连接， 由三线合一得， 即， ∴， 则， ∵与轴交于A，B两点，与轴相切于点． ∴轴， ∴P点的纵坐标为4， ∴点P的坐标为， ∵点P在反比例函数图象上， ∴把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图2，记交于点N ∵轴，轴， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， 即点D的横坐标为， 由（1）得， ∴点M的坐标为， 则， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象上； 【小问3详解】 解：∵与反比例函数的图象交于点E，F， ∴设点的坐标为， 由（1）得点P的坐标为， ∴， 即， ∴解得（另一个小于，故舍去） ∴点的坐标为， ∵由（1）得，且， ∴的坐标为 ∵点P的坐标为， ∵， 即三点共线， 即为直径， 连接，如图所示： ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数与圆综合，求反比例函数的解析式，圆周角定理，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，难度较大，综合形较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度． （1）若，则小球从发射到落回地面需要____________s． （2）在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差． （3）小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1）6 （2）5.6秒 （3）不正确，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，因式分解法求一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，把代入，得，即可作答． （3）把代入，得最大高度是，不可能是，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， 当时，则， 解得， 故小球从发射到落回地面需要． 故答案为：6 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ∴， ∴， 解得， 则两次间隔的时间差为． 【小问3详解】 解：不正确． 理由如下： ∵， 当时，， ∵， ∴开口方向向下，在时，则，且为最大高度， 即当时，小球的最大高度是，不可能是． 23. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 【推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． （1）由等边对等角和三角形内角和定理得到，由线段垂直平分线的性质得到，则，则可证明，据此可证明则，点是的自相似点； （2）根据题意可得，则，据此可证明结论； （3）分和两种情况，通过证明求出的长，进而利用相似三角形的性质列出比例式即可求出答案． 【详解】解（1）∵， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的自相似点； （2）∵为钝角三角形，点是的自相似点，且点在上，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）∵点E是的自相似点，点A与点B是对应点， ∴当时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省漯河市召陵区中考二模数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在数轴上表示实数的相反数的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 2025年河南全省加力推动科技创新和产业创新深度融合，促进传统产业转型升级，创新成果加速转化．一季度，全省技术合同成交额达690.6亿元．数据“690.6亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 北宋以来，文人士大夫阶层使用名号印成为一种常见现象．如图，是“柯山野叟”朱文瓷印，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式的值与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. “少林寺”“龙门石窟”“老君山”和“洛邑古城”是河南省的知名景点，假期期间，小丽想从这四个景点中随机选择两个游览，则这两个景点中恰好有“老君山”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 以上选项均不成立 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边分别在轴、轴上，点在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点恰好落在轴上，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 陆游在《书枕屏》中写道：“西域兜罗被、南番笃耨香”，宋时笃耨香每两卖200贯，则买两笃耨香共需____________贯． 12. 某气象小组连续10天记录了一座森林公园的空气质量指数（AQI）如下： 42，55，55，48，43，55，48，42，60，65 这组数据的众数是____________． 13. 请写出一个不等式，使其与不等式组成的不等式组只有一个整数解：____________． 14. 如图，是的弦，是的中点，连接，，延长到，已知．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为____________． 15. 如图，矩形中，是边的中点，是边上的动点，连接，则的最小值为____________，最大值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. “构建高质量教育体系”是2025年两会中提出的关键词，而提高教师教书育人的能力是构建高质量教育体系的重要一环．在某地区组织的教师业务能力比赛中，甲、乙两位老师成绩优异，他们在校级、区级、市级和省级四场比赛中，关于知识、教态、板书三个方面的得分（满分：50分）统计结果如下： 三项平均成绩统计表 教师 知识平均得分 教态平均得分 板书平均得分 甲 47 50 45 乙 47 48 47 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这四场比赛中，知识得分更为稳定的是教师____________（填“甲”或“乙”），教师甲知识得分的中位数是____________． （2）请从知识得分方面分析甲、乙两位教师在这四场比赛中表现（写出两条）． （3）若“知识平均得分”“教态平均得分”“板书平均得分”这三项按照确定综合成绩，选出一名成绩高的教师去参加国家级比赛，则应选哪位教师？请通过计算说明理由． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）请利用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 19. 青少年是祖国的未来，是民族的希望，青少年的饮食搭配越来越受到社会各界的关注，为此某校餐厅开展了“用餐一小步，健康一大步”的主题活动．餐厅为学生们准备了A，B两种品牌的酸奶，每盒酸奶的容量均为，其营养成分表如下： 品牌 营养成分表 品牌 营养成分表 项目 每 项目 每 能量 能量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 （1）若一个学生一天内要从这两种品牌的酸奶中摄取的能量和的蛋白质，则应饮用两种品牌的酸奶各多少盒？ （2）已知A品牌酸奶的价格是4元／盒，B品牌酸奶的价格是3元／盒．某班级计划从餐厅购买两种酸奶共300盒，经与餐厅沟通，每盒A品牌酸奶售价不变，B品牌酸奶的售价打九折．若要求购买A品牌酸奶的数量不低于B品牌酸奶数量的2倍，则该班级应该如何设计购买方案，才能使购买酸奶的总费用最少？ 20. 如图，甲，乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处正北方向200海里的处执行任务．观测点在出发点的西北方向且在目的地的西南方向，观测点在出发点的北偏东方向且在目的地的北偏东方向．（参考数据：） （1）求AC距离．（结果保留根号） （2）在本次任务执行中，甲巡逻艇选择途经观测点，乙巡逻艇选择途经观测点，已知甲巡逻艇的速度为每小时20海里，乙巡逻艇的速度比甲巡逻艇的速度每小时快10海里，请通过计算说明甲、乙巡逻艇谁先到达目的地D．（结果精确到0.1） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，与轴交于A，B两点，与轴相切于点．连接，．已知是等边三角形，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点作轴，交于另一点，点是否在反比例函数的图象上？ （3）若与反比例函数的图象交于点E，F，连接，．请直接写出的度数． 22. 通过对物理知识的学习，我们知道发射器从地面竖直向上发射的小球的高度（单位：m）满足关系式，其中（单位：s）是小球运动的时间，（单位：）是小球被发射时的速度． （1）若，则小球从发射到落回地面需要____________s． （2）在（1）的条件下，小球被竖直向上射出后，若先后两次经过离发射点竖直高度为5.8米处，求这两次间隔的时间差． （3）小丽说：“当时，小球的最大高度是．”你认为她的说法正确吗？请通过计算说明你的理由． 23. 综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是的“自相似点”． 例：如图，点在内部，，则，故点为的自相似点． 推理判断】 （1）如图1，在中，，点是上一点且在的垂直平分线上，则点____________（填“是”或“不是”）的自相似点． 【初步运用】 （2）如图2，若为钝角三角形，点是自相似点，且点在上，．求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，为锐角三角形，若点是的自相似点，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $