精品解析：2026年河南省信阳市息县全县中考模拟考试二数学

2026年全县九年级中招模拟考试（二）数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义． 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的绝对值为， 故答案为：A． 2. 今年春节期间，开封市以“大宋中国年•马上开封见”为主题，深挖宋文化底蕴，激活春节文旅消费潜力．经测算，全市累计接待游客1073.56万人，实现旅游综合收入75.8亿元．其中，75.8亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题思路为先将“75.8亿”改写为普通整数，再根据科学记数法的规则写出结果，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解： 亿 ， 亿可用科学记数法表示为． 3. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“教”字一面的相对面上的字是（ ） A. 建 B. 育 C. 强 D. 国 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的展开图的结构进行求解即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“建”的相对面是“育”，“设”的相对面是“强”，“教”的相对面是“国”， 因此，“教”字一面的相对面上的字是“国”． 4. 下列等式，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则、单项式乘除法法则、积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】解：选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B，∵ ，∴B错误． 选项C，∵，∴C错误． 选项D，∵，∴D正确． 5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由邻补角性质求出，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求出． 【详解】解：如图，设左侧的邻补角为，则 ， ∵， ∴ ． 6. 为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（ ） A. 6 B. 6.2 C. 6.4 D. 6.6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断根的情况，掌握判别式与根的对应关系是解题关键． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得，，， ∵ ， 又∵ 对任意实数，都有， ∴ ，即， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，是的直径，为圆上两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是的直径 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为．若点绕着点以每秒的速度逆时针旋转，则2026秒后，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点H，再结合菱形的性质以及勾股定理可得点B的坐标，延长交y轴于点D，设点绕着点旋转1秒到达点的位置，过点作轴于点E，连接，则，，，证明，可得到点，同理点绕着点旋转2秒到达点，点绕着点旋转3秒到达点，点绕着点旋转4秒到达点，……，由此发现规律，每旋转4秒是一个循环，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点H， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴轴， ∴点B的坐标为， 如图，延长交y轴于点D，设点绕着点旋转1秒到达点的位置，过点作轴于点E，连接，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 同理点绕着点旋转2秒到达点， 点绕着点旋转3秒到达点， 点绕着点旋转4秒到达点， ……， ∴每旋转4秒是一个循环， ∵， ∴2026秒后，点的坐标是． 10. 物理学中，经常用图象研究物体的运动．若一物体在做直线运动，请结合图象判断，下列表述不正确的是（ ） 信息窗 牛顿第一定律 一切物体总保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止． A. 物体的初速度是 B. 运动过程中物体的运动速度发生了改变 C. 物体在运动过程中受到了外力 D. 物体在运动过程中受到的外力的合力为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象逐一分析即可. 【详解】解：由图象可得：物体的初速度是，运动过程中物体的运动速度发生了改变，物体在运动过程中受到了外力，故A，B，C不符合题意； 若物体在运动过程中受到的外力的合力为，则物体做匀速运动，故D错误，符合题意. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，移项得，合并同类项得，系数化为得，． 解不等式②，系数化为得，． 所以不等式组的解集为，． 13. 在中国传统文化中，梅兰竹菊被称为四君子．九年级学生小明和小红均准备利用暑假选择四种植物中的一种去研究．如果两人的选择彼此独立，且选择每一种植物的可能性相等．那么两人选的植物至少有一种是竹子的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：列表如下， 梅 兰 竹 菊 梅 梅梅 兰梅 竹梅 菊梅 兰 梅兰 兰兰 竹兰 菊兰 竹 梅竹 兰竹 竹竹 菊竹 菊 梅菊 兰菊 竹菊 菊菊 共有 种等可能的结果，两人选的植物至少有一种是竹子的有种． 两人选的植物至少有一种是竹子的概率为 ． 14. 如图，边长为3的正方形边上一点，，以为圆心，以的长为半径画弧，与的延长线交于点，连接，，图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设弧与交于点，连接，利用正方形的性质证明，进而求出的度数，在中，、，利用求解即可． 【详解】解：设弧与交于点，连接， 四边形是正方形， 、， 在中，， 、， 以为圆心，以的长为半径画弧，与的延长线交于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 即． 15. 在直角三角形中，，点在射线上，连接，过点作的垂线，垂足是．当时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，结合解直角三角形和相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时， 延长交的延长线于， ∵， ， ∵过点作的垂线，垂足是． ∴ ∵ ， ． ∵ ∴ ∵． ， ． 又∵ ． （2）如图，当在线段的延长线上时， 此时， ∵ , 设，则， ∴ 在中，， ． ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． （1）七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． （2）结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 【答案】（1），82 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出八年级的中位数和众数，再与七年级相比较进行解答即可． 【小问1详解】 解：七年级一共有20个成绩，中位数是从小到大排序后第10个和第11个成绩的平均数，由统计表可知，第10个和第11个成绩位于组内， 七年级得分从小到大排列为：81，82，82，82，82，82，85，86 则七年级第10个成绩为81，第11个成绩为82， 中位数为， 由于七年级测试成绩82分出现5次， 则众数为82； 【小问2详解】 解：由统计表可知，八年级第10个和第11个成绩位于组内， 八年级得分从小到大排列为：81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89 则八年级第10个成绩为84，第11个成绩为85， 故八年级的中位数是分， 由统计表可知，八年级的众数是86，均高于七年级， 因此，八年级的在此次活动中的学习水平高于七年级学生． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边的正方形的顶点在反比例函数的图象上． （1）求出反比例函数的表达式． （2）将正方形沿着轴的正方向平移，设边与反比例函数的图象在第一象限内交于点．当点的纵坐标为1时，求正方形平移的距离． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）求出，即可求出平移的距离． 【小问1详解】 解：， ． 在正方形中，． ． 将代入中， 得． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 在中， 令，得． 即． ∴平移的距离． 19. 如图，三角形为等腰三角形，，圆与相切，切点为，已知． （1）请利用圆规和无刻度的直尺，在线段上作一点，连接，使得所作与垂直． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据作垂线的方法作图即可； （2）连接，先求出，然后根据直角三角形的性质求出，再解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接 ∵ ∴ ∵圆与相切，切点为， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 20. 某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． （2）求大厦的高度． （3）查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】（1）见解析 （2） （3）测量长度时存在读数误差 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【小问1详解】 解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； 【小问3详解】 解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 21. 学校计划为体育文化节购买一批纪念品．经市场调查得知，购买2件A种纪念品和3件B种纪念品共需260元：购买3件A种纪念品和2件B种纪念品共需240元． （1）求A、B两种纪念品每件各多少元？ （2）学校准备购买A，B两种纪念品共100件，且A种纪念品数量不多于B种纪念品数量的．应该如何购买，才能使得花费最少？ 【答案】（1）A种纪念品每件40元，B种纪念品每件60元 （2）购买A种纪念品25件，买B种纪念品75件时，花费最小，为5500元 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品每件元，B种纪念品每件元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种纪念品件，则购买B种纪念品件，花费W元，根据题意列出不等式，求出购买A种纪念品的数量范围，求出总费用的表达式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件元，B种纪念品每件元， 根据题意得， 解得：， 答：A种纪念品每件40元，B种纪念品每件60元； 【小问2详解】 解：设购买A种纪念品件，则购买B种纪念品件，花费W元， 根据题意得：， 解得， 花费总费用为， ， 随着a的增大而减少， 当时，有最小值，最小值为（元）， 答：当购买A种纪念品25件，买B种纪念品75件时，花费最少，最少花费为5500元． 【点睛】本题考查二元一次方程、一元一次不等式及一次函数的应用，根据已知条件列出方程组、不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 22. 已知抛物线（为常数）经过点和点，其顶点为． （1）求出和的值． （2）利用配方法求点的坐标． （3）若直线始终与抛物线有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）b的值是1，c的值是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式，即可求解； （3）联立得 ，根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：将和代入得， ，解得， 所以b的值是1，c的值是； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线表达式是， 配方得． ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵直线与抛物线有交点， ∴交点的横坐标满足方程 ， 整理方程得，， 要使这个方程有实数根，则需 ， 解得． 23. 在中，，，点是边的中点，连接．将绕点逆时针旋转一定的角度得到，连接，，直线与直线相交于点，设旋转角为，． （1）操作发现：如图1，当时，______；______． （2）类比探究：如图2，当时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：在旋转过程中，直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立， 证明如下：补全图形如下： 由（1）知，，由旋转的性质知，， ， ， ， ， ，，设与交于点， ， 、， ； （3）的最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出长，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到，结合旋转的性质证明，再结合三角形内角和定理求解的度数即可； （2）利用旋转的性质补全图形，证明，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据题意确定点在的外接圆上运动，过点作的垂线，垂足为，利用等腰直角三角形的性质求出长，再根据勾股定理求出长，利用圆外一点到圆上点的距离最值，计算的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得：， 点是边的中点， 、， 由旋转的性质知，、、， 、， ， 、， 、， ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：作的外接圆， ， 圆心为的中点，半径为 ， 同（2）可证得， ，即， 、、、四点共圆，即点在上运动， ， ， ， ， ， 过点作的垂线，垂足为， ，， 在中，由勾股定理得，， 当、、三点共线时，有最大值或最小值， 若点位于点、点之间，则为最大值，即， 若点位于点、点之间，则为最小值，即， 因此，的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全县九年级中招模拟考试（二）数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 今年春节期间，开封市以“大宋中国年•马上开封见”为主题，深挖宋文化底蕴，激活春节文旅消费潜力．经测算，全市累计接待游客1073.56万人，实现旅游综合收入75.8亿元．其中，75.8亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“教”字一面的相对面上的字是（ ） A. 建 B. 育 C. 强 D. 国 4. 下列等式，成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（ ） A. 6 B. 6.2 C. 6.4 D. 6.6 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 如图，是的直径，为圆上两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标为．若点绕着点以每秒的速度逆时针旋转，则2026秒后，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 物理学中，经常用图象研究物体的运动．若一物体在做直线运动，请结合图象判断，下列表述不正确的是（ ） 信息窗 牛顿第一定律 一切物体总保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止． A. 物体的初速度是 B. 运动过程中物体的运动速度发生了改变 C. 物体在运动过程中受到了外力 D. 物体在运动过程中受到的外力的合力为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 12. 不等式组的解集为______． 13. 在中国传统文化中，梅兰竹菊被称为四君子．九年级学生小明和小红均准备利用暑假选择四种植物中的一种去研究．如果两人的选择彼此独立，且选择每一种植物的可能性相等．那么两人选的植物至少有一种是竹子的概率是______． 14. 如图，边长为3的正方形边上一点，，以为圆心，以的长为半径画弧，与的延长线交于点，连接，，图中阴影部分的面积是______． 15. 在直角三角形中，，点在射线上，连接，过点作的垂线，垂足是．当时，的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． （1）七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． （2）结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边的正方形的顶点在反比例函数的图象上． （1）求出反比例函数的表达式． （2）将正方形沿着轴的正方向平移，设边与反比例函数的图象在第一象限内交于点．当点的纵坐标为1时，求正方形平移的距离． 19. 如图，三角形为等腰三角形，，圆与相切，切点为，已知． （1）请利用圆规和无刻度的直尺，在线段上作一点，连接，使得所作与垂直． （2）若，求的长． 20. 某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． （2）求大厦的高度． （3）查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 21. 学校计划为体育文化节购买一批纪念品．经市场调查得知，购买2件A种纪念品和3件B种纪念品共需260元：购买3件A种纪念品和2件B种纪念品共需240元． （1）求A、B两种纪念品每件各多少元？ （2）学校准备购买A，B两种纪念品共100件，且A种纪念品数量不多于B种纪念品数量的．应该如何购买，才能使得花费最少？ 22. 已知抛物线（为常数）经过点和点，其顶点为． （1）求出和的值． （2）利用配方法求点的坐标． （3）若直线始终与抛物线有交点，直接写出的取值范围． 23. 在中，，，点是边的中点，连接．将绕点逆时针旋转一定的角度得到，连接，，直线与直线相交于点，设旋转角为，． （1）操作发现：如图1，当时，______；______． （2）类比探究：如图2，当时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：在旋转过程中，直接写出的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $