27.2反比例函数的图象和性质 第1课时（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象（双曲线）及性质，课堂导入通过回顾正比例函数图象特征、描点法画函数图象步骤，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生迁移探究方法。 其亮点在于采用从特殊到一般、数形结合的探究方式，先画k>0的y=3/x、y=6/x图象，再类比研究k<0的情况，结合解析式归纳性质，培养几何直观与推理意识。例题练习结合平行四边形等实际情境，表格化小结清晰，助力学生理解，方便教师教学。

27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 人教版 九年级 数学(上) 第27章 反比例函数 新课导入 1.正比例函数y=kx的图象是_,当k>0时,图象在_象限;当k<0时,图象在_象限. 一条直线 第一、第三 第二、第四 2 2.请分别画出y=2x与y=-2x的图象. y=2x y=−2x 3.如何用描点法画一个函数的图象. 画二次函数、一次函数图象的一般步骤是:_、_、_. 列表 描点 连线 探究新知 思考: 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程,如何研究反比例函数的图象和性质? 先画出函数的图象,再利用图象,结合函数的解析式研究函数的性质,这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备,我们换一个角度,从反比例函数的解析式出发,思考它的图象形状,运用数形结合的方法研究其性质. 反比例函数解析式 y = (k为常数,k≠0) k>0 k<0 探究: 对于反比例函数 y= 与 y= ,结合它们的解析式,分析自变量的取值范围,以及y随x的变化而变化的规律,你能想象一下它们图象的位置和形状吗?你能画出它们图象的示意图吗? 用描点法画出反比例函数y= 与y=的图象,看看它们是否与你画出的示意图大致相同. 我们知道,正比例函数y=kx的图象是一条直线,那么反比例函数y=的图象是什么形状呢?你能用“描点”的方法画出反比例函数y=和y=的图象吗? (1)列表. 写出几组x与y的对应值(填空): x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y= - -1 3 1 y= -1 - -2 -3 6 2 1 (2)描点. 以表中各组对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. - - - - -3 -6 3 (3)连线,用平滑的曲线顺次连接描出的点,就得到函数y= 与y=的图象. 观察y=与y=的图象,图象在向下、向上延伸时,会与x轴、y轴相交吗?为什么? 不会 因为x≠0,所以函数图象由两支曲线组成. 思考: 观察反比例函数y=与y=的图象,回答下列问题: (1)每个函数的图象分别位于哪些象限? 第一、第三象限 (2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化?你能由它们的解析式说明理由吗? 因为k>0,反比例函数 y = 在每个象限内,y随 x的增大而减小。 利用信息技术工具,画反比例函数y=的k取不同值时的图象,考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗? 观察函数图象,你还能发现什么呢? ①反比例函数的图象由两条曲线组成. ②图象关于原点成中心对称. ③函数图象与坐标轴无交点. 一般地,当k>0时,对于反比例函数y=,结合函数图象与解析式,可以发现: ①函数图象的两支分别位于第一、第三象限; ②在每一个象限内,y随x的增大而减小. 探究: 回顾上述过程,我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数y=的图象和性质,你能用类似的方法研究反比例函数y=的图象和性质吗? 画出函数y=−与y=−的图象. (1)列表. x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=- 1 3 -3 - -1 - - - y=- 1 2 3 6 -6 -3 -2 - - -1 (2)描点. 以表中各组对应值为坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. (3)连线,用平滑的曲线顺次连接描出的点,就得到函数y=− 与y=−的图象. y=− y=− 观察你所画出的图象,你能发现它们的共同特征以及不同点吗? 每个函数的图象分别位于哪几个象限? 在每个象限内,y随x的变化情况如何? 一般地,当k<0时,对于反比例函数y=,结合函数图象与解析式,可以发现: (1)函数图象的两支分别位于第二、第四象限; (2)在每一个象限内,y随x的增大而增大. 反比例函数是轴对称图形吗?是中心对称图形吗? y= y= y=x y=−x 反比例函数是轴对称图形,对称轴为y=x和y=−x,同时也是以原点为对称中心的中心对称图形。 比例系数 图象 图象形状 经过象限 增减性 y = k>0 k<0 双曲线 第一、三象限 第二、四象限 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 观察如图所示的反比例函数的图象,你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系? 反比例函数∣k∣越大,反比例函数的图象离原点越远. y= y= 知识归纳 一般地,反比例函数y=的图象是双曲线,它具有以下性质: (1)当k>0时,双曲线的两支分别位于_象限,在每一个象限内,y随x的_而_; 第一、第三 增大 减小 (2)当k<0时,双曲线的两支分别位于_象限,在每一个象限内,y随x的_而_; (3)反比例函数的图象是轴对称图形,直线_和y=-x是它的对称轴;它也是_图形,对称中心是_. 第二、第四 增大 增大 y=x 中心对称 坐标原点 例 1 例题与练习 已知反比例函数y=(m-1)xm2-3的图象在第二、第四象限,求m的值,并指出在每个象限内,y随x的变化情况. 解:∵y=(m-1) xm2-3是反比例函数, ∴m2-3=-1,且m-1≠0, ∴m= . 又∵图象在第二、第四象限, ∴m-1<0, ∴m=-. 在每个象限内,y随x的增大而增大. 例 2 已知反比例函数y=(m为常数)的图象在第一、第三象限. (1)求m的取值范围; 解:(1)由题意,得1-2m>0, 解得m < . (2)如图,若该反比例函数的图象经过 ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0, 3),(-2, 0),求出该反比例函数的解析式; (2)∵四边形ABOD为平行四边形, A(0,3),B(-2,0), ∴AD∥OB,AD=OB=2. ∴点D的坐标为(2,3). 将D(2,3)代入反比例函数y=, 得1-2m=2 3=6, ∴反比例函数的解析式为y=. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2)都在该反比例函数的图象上,且x1>x2>0,则y1和y2有怎样的大小关系? (3) y1 < y2 . 1. 如图所示的图象对应的函数解析式为( ). (A) y = 5x (B) y = 2x + 3 (C) y= (D) y=− C 2. 反比例函数 y = 的图象如图所示,则k_0;在每个象限内,y随x的增大而_. < 增大 3.已知一次函数y=x-b与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2,则b的值为_. -1 4.已知反比例函数y=的图象在其所在的象限内,y随x的增大而减小,求k的值. 解:由题意,得 由①,得k>3, 由②,得k= 2. 综合①②得k=2. 课堂小结 1.反比例函数的图象. 2.反比例函数的图象和性质. 随堂检测 1、已知点M在反比例函数的图象上,其中a,k为常数,且﹐则点M一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 2、关于反比例函数,下列结论正确的是 ( ) A.图像位于第二、四象限 B.图像与坐标轴有公共点 C.图像所在的每一个象限内,随的增大而减小 D.图像经过点,则 C 3、若a≠0,函数y=与y=−ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是( ) D $