精品解析：2025年山东省济南市历城区中考二模数学卷

2025年九年级学业水平模拟测试（二） 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用科学记数法表示较小的数．根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案． 【详解】解：数据0.0000352用科学记数法表示为：， 故选：A． 3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，利用空间想象能力是解题的关键． 根据三视图并结合题意，对选项逐一分析，进行判断即可． 【详解】A、该几何体的主视图和俯视图符合题意，故此选项正确； B、该几何体的主视图为矩形，故此选项不正确； C、该几何体的俯视图右侧应为三角形，故此选项不正确； D、该几何体的主视图下层为一个矩形，上层为两个矩形，故此选项不正确． 故选：A． 4. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是1， 故选：C． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可． 【详解】原式 故选：C 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键 7. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的自变量的大小关系，根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵都在反比例函数的图象上， ∴在第四象限，在第二象限，且， ∴； 故选：C． 8. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确列表和画出树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，两次传球共有4种等可能结果，球又回到手上的结果数为2种， 经过两次传球后又传到A手上的概率为． 故选：A． 9. 如图，中，．进行如下操作： （1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点； （3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键． 由作图知⊥，平分，根据垂直平分线的作法，全等三角形及相似三角形的判定和性质依次对选项判断即可得出结果． 【详解】解：由作图知⊥，平分， ∴， ∵ ∴ ∴，选项A正确，不符合题意； ∵平分，，⊥， ∴， ∴， ∵，⊥， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴∽， ∴， 由题意知，垂直平分， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】从图2可知，当时，，，即可判断①；不妨设，由时，，，根据，可得到此时的长度，从而算得，判断②；由，可知最小值，最小，根据，可得到，利用二次函数，可求得的最值，判断③；以点为原点，建立平面直角坐标系，表示出和的坐标，利用两点距离公式，表示出，利用二次函数，可求得的最值，判断④，最后得到答案． 【详解】解：从图2可知，当时，， 为 当时，，故①错误； 动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，设时间为， 当时，， 在中，， ，当时，， ，故②正确； 中，是斜边上的中点， 时，取最小值，此时最小值为2 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， 和分别为和的中点 ， 时，取最小值，此时最小值为，故④正确； 正确的有②③④，三个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若二次根式有意义，的值可以是___________（写出一个值即可）． 【答案】7（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是7（答案不唯一）． 故答案：7（答案不唯一）． 12. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 13. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和．此题比较简单，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 根据n边形的内角和公式求解作差即可． 【详解】解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 故答案为：180． 14. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有三个快递驿站（如图），甲、乙两架无人机分别从两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站．已知甲、乙两架无人机到驿站的距离与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站，则驿站离驿站的距离是___________． 【答案】15千米## 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 根据，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了8千米，乙2分钟距C还有9千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【详解】根据图中信息，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙2分钟距C还有9千米． 甲从A到用的时间：（分钟）， 乙从到的距离：（千米）， 故答案为：15千米． 15. 如图，菱形中，点分别在边上．将菱形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，可得四边形为平行四边形，解和求出，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果． 【详解】解：过作于，交延长线于，作于，则，如图所示： ∵菱形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∵， ， ∴，同理， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： 17. 解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组的解集为， 正整数解为． 18. 如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点、是线段上两点，且，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，即得，再由可得，即可由证明，据此可得，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ， ． 19. 某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 项目主题 壁挂式空调送风问题 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实施过程 基本情况 空调挂机底部垂直于墙面，已知． 现场测量 状态一：若导风板所在直线与竖直线的夹角为时，空调风刚好吹到床铺的外边沿处． 状态二：若导风板从位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到飘窗底部的处；若导风板从位置顺时针旋转，风刚好吹到飘窗顶部的处． 绘制示意图 参考数据 ，． 解决问题 任务一 床铺的外边沿到墙面的距离是___________米； 任务二 求飘窗的高度． 请根据表格中提供的信息，解决问题．（结果精确到） 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 任务一：由题意得，四边形是矩形，则，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案； 任务二：过点G作于H，则四边形是矩形，可得，解得到的长，解得到的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：任务一：由题意得，四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴床铺的外边沿到墙面的距离是； 任务二：如图所示，过点G作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴飘窗的高度约为． 20. 如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线性质得到，即．由得出，根据直角三角形两锐角互余，结合（半径相等）推出，通过等量代换证明，从而证明平分． （2）根据垂径定理，因为且是圆直径，得出 ．在中，利用勾股定理求出的长．通过证明（两角分别相等的两个三角形相似），根据相似三角形对应边成比例求出的长，最后由（为半径）求出的长． 【小问1详解】 证明：连接 与相切于点 即平分 【小问2详解】 解：是的直径 中， 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径）、垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 ），以及相似三角形的判定与性质和勾股定理．解题关键在于合理添加辅助线（连接），利用圆的性质找出角之间的关系来证明角平分线，通过垂径定理和勾股定理求出线段长度，再借助相似三角形对应边成比例求出未知线段长． 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图1所示，根据提供信息，解决下列问题． （1）补全频数分布直方图； （2）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为___________； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是___________度； （4）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟． 【答案】（1）见解析 （2）85 （3）72 （4）1700人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中的已知信息，得到未知信息． （1）由统计表和统计图中的信息分别求出二、四组的人数，补全频数分布直方图即可； （2）由（1）知，第四组的人数的为4人，则被墨汁盖住的是为1个，根据中位数定义得出设被盖住的数为x， 且，则，解方程即可得出被盖住的数； （3）根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心角度数； （4）利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于分钟的人数． 【小问1详解】 解： 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）知，第四组的人数的为4人，则被墨汁盖住的是为1个， 若第四组数据的中位数是84， 设被盖住的数为x， 且 则， 则， 则第四组中被盖住的数字为85． 【小问3详解】 解：一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：人 答：该校每日运动时间不少于60分钟约1700人． 22. 《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润多少元？ 【答案】（1）A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 （2）购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； 【小问2详解】 解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 23. 如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围； （3）将线段沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在轴上（设点的对应点为，点的对应点为，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3）6或2 【解析】 【分析】（1）对于反比例函数，将点代入，利用反比例函数（）的性质求出，进而得到反比例函数解析式；再将代入反比例函数求出把、代入一次函数，根据待定系数法，列出关于、的方程组，求解得到一次函数解析式． （2）通过观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值区间，即时的范围． （3）分两种情况，当落在轴上和当落在轴上．利用平移性质得到对应点坐标，再根据，通过三角形面积公式底高计算的面积．方法2中还通过作轴，利用点的坐标求出相关线段长度，进而计算三角形面积． 【小问1详解】 解：把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得，解得， ， 把代入 得，解得， 一次函数解析式； 【小问2详解】 解：根据图象可得：当时，； 【小问3详解】 解：当落在轴上时， 由平移可知，，则 当落在轴上时， 由平移可知，，则 方法2：情况1：当落在轴上时， 由平移可知，则直线的表达式为 过点做轴，交直线于点， ，可知 情况2：当落在轴上时， 由平移可知，则直线的表达式为 过点做轴，交直线于点， ，可知 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合知识，包括反比例函数中值（这里相当于）的求法、一次函数的待定系数法，以及通过函数图象比较函数值大小和利用平移性质求三角形面积．解题关键在于熟练运用待定系数法求函数解析式，准确观察函数图象获取信息，清晰理解平移性质并合理运用三角形面积公式进行计算． 24. 在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． （1）如图，连接，取的中点，连接．小城同学为探究线段与的数量关系进行了如下操作：延长到点，使，连接，得出线段与的数量关系为：___________；然后借助全等三角形，得出线段与的数量关系为：___________；最后得出线段与的数量关系为：___________． （2）如图2，取的中点，连接，取的三等分点，连接． ①请帮助小城同学探究并证明线段与的数量关系； ②若，连接（如图），求的最小值． 【答案】（1） （2）①，见解析；② 【解析】 【分析】（1）本题通过构造辅助线（延长到使），利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再通过证明三角形全等得到与的数量关系，最终推导出与的数量关系． （2）①通过延长构造新三角形，利用线段比例关系证明三角形相似，逐步推导得出与的数量关系．先根据已知条件得到线段比例相等，证明，再结合旋转性质及其他条件证明，从而得出与的比例．②根据前面证明的相似三角形得到角相等，从而确定点的运动轨迹，当时最小．通过证明新的三角形相似求出相关线段长度，再利用三角形面积公式建立等式求出的最小值． 【小问1详解】 解：是中点，， 是的中位线， ． 由旋转得， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ． ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 延长到点，使，连接． 为的三等分点（） 又 绕点逆时针旋转到， 又为中点 即 ； ②由（）①可知， 点在直线上运动 当时，最小 延长交于点 过点作，垂足为 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，以及利用三角形面积公式求线段最值．解题的关键在于合理构造辅助线，通过线段比例关系和角的关系准确判定三角形相似或全等，进而得出线段之间的数量关系；在求线段最值时，要明确点的运动轨迹，结合几何性质找到取得最值的条件，再通过相关定理和公式进行计算． 25. 在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点平行于轴的直线交该抛物线于点． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）设直线与抛物线对称轴的交点为，若，求的值； （3）坐标平面内有两点，且点在点左侧，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的交点坐标； ②当时，若正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，对于抛物线，其中，，可求出对称轴．因为点与点关于对称轴对称，先求出点坐标（令），再根据对称性求出点坐标． （2）通过作辅助线平行于轴，利用平行线分线段成比例得到，进而求出的值，确定点坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式求出． （3）①当时，先确定抛物线、、点坐标，进而得到正方形顶点坐标，判断是否在抛物线上，再求出所在直线解析式，联立抛物线方程求出交点坐标．②当时，根据与横坐标相同及确定是抛物线与交点，结合时情况判断、与抛物线无交点，设出抛物线与、交点、，根据两个交点到轴距离之差求解． 【小问1详解】 解：抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ， 过点作轴的平行线交该抛物线于点， 关于抛物线对称轴对称， ； 【小问2详解】 解：过点作平行于轴，交轴于点，则与对称轴平行， 设对称轴与轴交点为 点， 将点代入中，得 ，解得， 【小问3详解】 解：①当时，抛物线解析式为， ， ， 将代入得 点落在抛物线上 所在直线解析式为， 令， 解得或， 正方形的边与抛物线的交点坐标为 ②点与点横坐标都为，且 抛物线与的交点为； 由①知，当时，边与抛物线的交点为，当时，抛物线开口变大，正方形边长变小， 边与抛物线没有交点． 当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点时，设抛物线与分别交于，如图， 与这两个交点到轴的距离之差为， 点的纵坐标为， ， ， 解得（舍去）或； 综上所述， 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴公式的应用，函数与坐标轴交点坐标的求法．同时涉及到平行线分线段成比例定理，以及利用点的坐标求解函数解析式中的参数．解题关键在于熟练运用二次函数的基本性质，通过合理作辅助线构建比例关系，结合图形特点分析点与函数的位置关系，准确求解坐标及参数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级学业水平模拟测试（二） 数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A. B. C. 1 D. 2 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，体育课上，A，B，C，D，E五个同学分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，．进行如下操作： （1）以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； （2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点； （3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 11. 若二次根式有意义，的值可以是___________（写出一个值即可）． 12. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 13. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加___________度． 14. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有三个快递驿站（如图），甲、乙两架无人机分别从两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输包裹至快递驿站．已知甲、乙两架无人机到驿站的距离与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲、乙两架无人机同时到达驿站，则驿站离驿站的距离是___________． 15. 如图，菱形中，点分别在边上．将菱形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，，则的长为___________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的正整数解． 18. 如图，在平行四边形的边、上分别截取、，使得，连接，点、是线段上两点，且，连接、．求证：． 19. 某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 项目主题 壁挂式空调送风问题 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实施过程 基本情况 空调挂机底部垂直于墙面，已知． 现场测量 状态一：若导风板所在直线与竖直线的夹角为时，空调风刚好吹到床铺的外边沿处． 状态二：若导风板从位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到飘窗底部的处；若导风板从位置顺时针旋转，风刚好吹到飘窗顶部的处． 绘制示意图 参考数据 ，． 解决问题 任务一 床铺的外边沿到墙面的距离是___________米； 任务二 求飘窗的高度． 请根据表格中提供的信息，解决问题．（结果精确到） 20. 如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）求的长． 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图1所示，根据提供信息，解决下列问题． （1）补全频数分布直方图； （2）若第四组数据的中位数是84，则第四组中被盖住的数字为___________； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是___________度； （4）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟． 22. 《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 23. 如图，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围； （3）将线段沿水平方向平移，使其一个端点恰好落在轴上（设点的对应点为，点的对应点为，求的面积． 24. 在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． （1）如图，连接，取的中点，连接．小城同学为探究线段与的数量关系进行了如下操作：延长到点，使，连接，得出线段与的数量关系为：___________；然后借助全等三角形，得出线段与的数量关系为：___________；最后得出线段与的数量关系为：___________． （2）如图2，取中点，连接，取的三等分点，连接． ①请帮助小城同学探究并证明线段与的数量关系； ②若，连接（如图），求的最小值． 25. 在平面直角坐标系内，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点平行于轴的直线交该抛物线于点． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）设直线与抛物线对称轴的交点为，若，求的值； （3）坐标平面内有两点，且点在点左侧，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的交点坐标； ②当时，若正方形边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到轴的距离之差为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $