第三单元长方体与正方体——体积与注水问题（专项练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体与正方体体积计算，通过切拼变化、浸没测量、注水应用三大模块，构建"正向公式-反向推导-实际应用"的递进式方法体系，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切拼变化|6题（如填空题3、解答题7）|截面面积×长度、体积不变原理|从棱长总和/表面积计算过渡到体积反向求解，强化"形变体不变"逻辑| |不规则物体浸没|4题（如填空题6、解答题12）|排水法（水面上升高度×底面积）|将不规则体积转化为规则水体体积，培养几何直观| |注水问题|10题（如解答题18、20）|容器容积-物体体积=需注水量|整合体积公式与流量计算，提升实际问题解决能力，发展应用意识|

第三单元长方体与正方体（专项训练）体积与注水问题-2025-2026 学年五年级下册数学人教版 本卷思路：第一部分通过切拼变化反向求出体积，第二部分不规则物体的浸没求体积问题，第三部分注水问题 一、填空题 1．一个长方体纸箱，长10dm，宽4dm，高6dm，它的棱长总和是( )dm，做这样一个纸箱至少需要( )的纸板，它的体积是( )。 2．用一根铁丝正好围成一个棱长是6cm的正方体框架，这个正方体框架的体积是( )cm3；如果用这根铁丝围成一个长6cm，宽4cm长方体框架，那么它的高是( )cm，体积是( )cm3。 3．如图所示，把一根长20厘米的长方体木材截成两段，表面积比原来增加9平方分米，原来这根木材的体积是( )立方分米。 4．用4个同样的小正方体木块拼成一个长方体后（如图），表面积减少了，每个小正方体的体积是( )，拼成的长方体的表面积是( )。 5．把一根2.4米长的长方体木料锯成三个完全相等的小长方体，表面积增加了6平方分米，原来这根长方体木料的体积是( )立方分米。 6．科学课上，奇思设计了一个测量大铁球和小铁球体积的实验，过程如图。则大铁球的体积是( )，小铁球的体积是( )。 二、解答题 7．将一个长方体的高减少5厘米，就变成了一个正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了80平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 8．一个长方体的游泳池，长40米，宽20米，深1.5米。 (1)这个游泳池的占地面积是多少平方米？ (2)如果在游泳池的四周和底部铺瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ (3)现在往游泳池注水，如果每分钟能注水5立方米，多少小时能把游泳池灌满？ 9．养路工人要把19.2立方米的沙子铺在一条长40米，宽40分米的路上，沙子的厚度是多少？ 10．把一块棱长4分米的正方体钢坯锻造成长8分米，宽5分米的长方体钢板，这块钢板厚有多少分米？ 11．一个长方体密闭容器（如下图，容器厚度忽略不计），里面的液体深5分米。把这个容器竖放，使长10分米、宽8分米的面朝下，这时里面的液体深多少分米？ 12．求下图中大小圆球的体积分别是多少？ 13．为了比较土豆和红薯的体积，小梦做了如下实验。（单位：厘米） (1)土豆的体积和红薯的体积哪个大一些？请说明理由。 (2)土豆的体积是多少？ 14．一个长方体的水槽，从里面量得长4分米，宽3分米，高5分米，水深3.5分米。如果投入一块正方体铁块，水面恰好与水槽口相平。这个正方体铁块的体积是多少？ 15．一个长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，里面水深4分米。 (1)这个水箱的占地面积是多少平方分米？ (2)如果在水箱里放入一块棱长4分米的正方体铁块，水会溢出吗？为什么？ 16．如图，一个高为20厘米的玻璃缸底部沉浸着一个体积为1.8立方分米的物体。把这个物体从水中捞出，水面下降了3厘米。这个玻璃缸的容积是多少立方分米？ 17．一个立方体玻璃容器的棱长为2分米，容器中水深12厘米：再把一块石头放入水中（水未溢出），这时量得容器内的水深15厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 18．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高为3分米，体积为7.5立方分米的假山石，如果水管以每分钟2.5立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 19．杨小渔家有一个高25cm的无盖无水观赏鱼缸（如下图），现在里面放着一块高15cm、体积为的假山石。如果水龙头以每分钟的流量往观赏鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将这块假山石淹没？ 20．一个无水观赏鱼缸（如图）中放有一块高为28厘米、体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 21．在下图的玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 22．有一个无水的观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米的假山石。如果水龙头以每分钟12升的流量向鱼缸内注水，3.45分钟后恰好将假山石完全淹没，那么假山石的体积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三单元长方体与正方体（专项训练）体积与注水问题-2025-2026 学年五年级下册数学人教版》参考答案 1． 80 248 240 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，分别把数据代入公式计算即可。 【详解】棱长总和： （10＋4＋6）×4 ＝（14＋6）×4 ＝20×4 ＝80（dm） 需要的纸板面积： （10×4＋10×6＋4×6）×2 ＝（40＋60＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（dm2） 体积： 10×4×6 ＝40×6 ＝240（dm3） 2． 216 8 192 【分析】根据，代入数据得出答案，先根据棱长算出铁丝的长度，再除以算出长、宽、高的和，再减去长和宽即可，再根据，代入数据得出答案。 【详解】 （cm3） （cm） （cm3） 3．9 【分析】把木材截成两段，会增加2个截面，所以长方体的底面积＝截面的面积＝9÷2＝4.5（平方分米）。这根木料的长是20厘米，先换算成2分米。利用公式“长方体的体积＝截面的面积×长”计算。 【详解】20厘米＝2分米 9÷2×2＝9（立方分米） 4． 8 64 【分析】拼成长方体，一个接触面会减少2个小正方形的面积，4个接触面，减少了8个小正方形的面积，用减少的面积÷8，求出一个小正方形的面积；根据正方形面积＝边长×边长，据此求出小正方形的边长，也就是小正方体的棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个小正方体的体积；再求出拼成长方体的长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【详解】拼成长方体后减少8个小正方形的面积。 32÷8＝4（cm2） 2×2＝4，小正方体棱长是2cm。 2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm3） 拼成长方体后，长方体的长：2×2＝4（cm），宽：2×2＝4（cm），高是2cm。 （4×4＋4×2＋4×2）×2 ＝（16＋8＋8）×2 ＝（24＋8）×2 ＝32×2 ＝64（cm2） 5．36 【分析】锯成3个小长方体需要锯2次，每锯1次增加2个横截面，一共增加了4个横截面，增加的6平方分米就是这4个横截面的总面积。用6除以4求出单个横截面面积。再根据长方体体积＝横截面面积×木料总长，代入数据求解。 【详解】统一单位：原木料长2.4米，换算为分米是2.4米＝24分米。 （3−1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 单个横截面面积：6÷4＝1.5（平方分米） 1.5×24＝36（立方分米） 6． 15 3 【分析】看图可知一个小铁球和一个大铁球的体积和是18，再放入两个同样的小铁球后体积和是24，因此放入两个小铁球后增加的体积就是放入的两个小铁球的体积和，因此，两个小铁球的体积和是（24－18），则一个小铁球的体积就是（24－18）÷2＝3，一个大铁球的体积＝一个小铁球和一个大铁球体积和－一个小铁球的体积；计算前先统一单位：1mL＝1。 【详解】18mL＝18 24mL＝24 （24－18）÷2 ＝6÷2 ＝3（） 18－3＝15（） 则大铁球的体积是15，小铁球的体积是3。 7．144立方厘米 【分析】根据题意，原长方体的底面是正方形，即长和宽相等，且等于正方体的棱长。表面积减少的80平方厘米是高为5厘米的长方体侧面的4 个面的面积之和。用80除以4再除以5，先求出底面边长。再用底面边长的厘米数加上5厘米，求出原长方体的高，最后根据长方体体积V＝abh，代入计算即可。 【详解】80÷4÷5 ＝20÷5 ＝4（厘米） 4＋5＝9（厘米） 4×4×9 ＝16×9 ＝144（立方厘米） 答：原来长方体的体积是144立方厘米。 8．(1)800平方米 (2)980平方米 (3)4小时 【分析】（1）游泳池的占地面积是指其底面的面积，根据长方体底面积公式，用长乘宽即可求解。 （2）游泳池铺瓷砖的部分包括底部和四周，共5个面，缺少上面。计算时需算出1个底面积和4个侧面积的和。 （3）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出游泳池的容积，再除以每分钟注水量得到所需分钟数，最后将分钟换算成小时。 【详解】（1）（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是800平方米。 （2）底面积：（平方米） 侧面积： （平方米） 总面积：（平方米） 答：铺瓷砖的面积是980平方米。 （3）游泳池容积： （立方米） 所需分钟数：（分钟） 换算成小时：（小时） 答：4小时能把游泳池灌满。 9．0.12米 【分析】先将宽的长度单位“分米”换算成“米”；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”可得“高＝体积÷（长×宽）”。 【详解】40分米＝4米 19.2÷（40×4） ＝19.2÷160 ＝0.12（米） 答：沙子的厚度是0.12米。 10．1.6分米 【分析】锻造过程中，物体的形状改变但体积不变，即正方体钢坯的体积等于长方体钢板的体积。根据正方体体积公式求出钢坯体积，再根据长方体体积公式，已知体积、长和宽，求高（厚度），用体积除以长与宽的积即可。 【详解】（4×4×4）÷（8×5） ＝64÷40 ＝1.6（分米） 答：这块钢板厚有1.6分米。 11．12.5分米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，水的体积等于长是20分米宽是10分米高是5分米的长方体的体积，据此先求出水的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）用水的体积除以底面积（10×8）即可求出液体的深度。 【详解】20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方分米） 1000÷（10×8） ＝1000÷80 ＝12.5（分米） 答：这时里面的液体深12.5分米。 12．大球：8cm3 小球：4cm3 【分析】根据排水法原理，原来容器里的水是满的。把一个大球和一个小球放入容器中，水溢出12mL；再把3个小球放入容器中，水溢出（24－12）mL。用24减去12的差除以3算出一个小球的体积；再用12减去一个小球的体积算出一个大球的体积。1mL＝1cm3。 【详解】（24－12）÷3 ＝12÷3 ＝4（mL） 4mL＝4cm3 12－4＝8（mL） 8mL＝8cm3 答：大球的体积是8cm3，小球的体积是4cm3。 13．(1)红薯的体积大一些；理由：放入红薯引起水面上升：12－8＝4（厘米），放入土豆引起水面上升：8－5＝3（厘米）。因此4＞3，红薯使水面上升的高度更高一些，所以红薯的体积大一些。 (2)360立方厘米 【分析】（1）物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。容器的底面积（长和宽）是不变的。根据排水法原理，物体浸没在水中，水面上升的高度越高，说明物体的体积越大。分别计算放入土豆和红薯后，水面上升的高度，比较后得出结论。 （2）土豆的体积等于它排开的水的体积，也就是放入土豆后水面上升部分的水的体积。这部分水的形状是一个长方体。长和宽为长方体容器的长和宽，高等于放入土豆后水面上升的高度。据此代入长方体体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】（1）答：红薯的体积大一些。 理由：放入红薯引起水面上升：12－8＝4（厘米），放入土豆引起水面上升：8－5＝3（厘米）。因此4＞3，红薯使水面上升的高度更高一些，所以红薯的体积大一些。 （2）12×10×（8－5） ＝12×10×3 ＝120×3 ＝360（立方厘米） 答：土豆的体积是360立方厘米。 14．18立方分米 【分析】用长方体水槽的高减去水深，求出水面上升的高度；水面上升部分体积，就是铁块的体积；铁块的体积＝长方体水槽的底面积×水面上升的高度，据此解答。 【详解】4×3×（5－3.5） ＝4×3×1.5 ＝12×1.5 ＝18（立方分米） 答：这块正方体铁块的体积是18立方分米。 15．(1) 80平方分米 (2) 因为水的体积加上铁块体积小于水箱容积，所以不会溢出。 【分析】水箱的占地面积＝长×宽，代入数据即可求解； 先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体水箱的容积和水的体积，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积，水的体积＋正方体铁块的体积与长方体水箱的容积相比较判断水是否溢出，据此解答即可。 【详解】（1）10×8＝80（平方分米） 答：这个水箱的占地面积是80平方分米。 （2）长方体水箱的容积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方分米） 水的体积： 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方分米） 正方体铁块的体积： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 320＋64＝384（立方分米） 384＜480 答：如果在水箱里放入一块棱长4分米的正方体铁块，水不会溢出。 16．12立方分米 【分析】先将长度单位统一换算成分米，因为物体的体积等于捞出物体后水面下降部分的水的体积，用物体体积除以水面下降的高度，求出玻璃缸的底面积，再用底面积乘玻璃缸的高度，即可求出玻璃缸的容积。 【详解】20厘米＝2分米 3厘米＝0.3分米 1.8÷0.3＝6（平方分米） 6×2＝12（立方分米） 答：这个玻璃缸的容积是12立方分米。 17．1200立方厘米 【分析】先把容器棱长2分米换算成20厘米，再用放入石头后的水深15厘米减去原来的水深12厘米，求出水面上升的高度；然后根据立方体底面积公式“棱长×棱长”求出容器底面积；最后用容器底面积乘水面上升的高度，求出上升水的体积，也就是石头的体积。 【详解】2分米＝20厘米 20×20×（15－12） ＝400×3 ＝1200（立方厘米） 答：这块石头的体积是1200立方厘米。 18．45分钟 【分析】要把假山石完全淹没，水面高度至少要达到假山石的高度，此时鱼缸内的总体积等于“水的体积＋假山石的体积”。先算出水面高度为3分米时，鱼缸内的总体积；再减去假山石的体积，得到需要注入的水的体积；用水的体积÷注水流量，算出所需时间。长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】8×5×3＝120（立方分米） 水的体积：120－7.5＝112.5（立方分米） 所需时间：112.5÷2.5＝45（分钟） 答：至少需要45分钟才能把假山石完全淹没。 19．6.45分钟 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水面高15厘米时水的体积，再减去假山石的体积就是应注入水的体积； 应注入水的体积除以每分钟水的流量即可确定将假山石完全淹没所用的时间。 【详解】 （立方厘米） （分） 答：至少需要6.45分钟才能将这块假山石淹没。 20．7分钟 【分析】根据题意，当假山石完全淹没时，注入的水的体积与假山石的体积之和，等于长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据求出这个长方体的体积，再减去假山石的体积，即可求出注入的水的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 如果自来水管以每分钟3000毫升的流量向鱼缸内注水，根据除法的意义，用注入的水的体积除以3000，即可求出需要的时间。 【详解】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21000毫升 21000÷3000＝7（分钟） 答：至少需要7分钟才能将假山石完全淹没。 21．3分钟 【分析】先确定把假山完全淹没需要的水的体积，即为长、宽、高分别为6分米、4分米、1.5分米的水的体积再减去假山的体积，求出需要注水的体积，又知道每分钟注水量，再根据：时间＝总量÷速度，用需要注水的体积除以10立方分米即可解答。 【详解】（6×4×1.5－6）÷10 ＝（24×1.5－6）÷10 ＝（36－6）÷10 ＝30÷10 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 22．4200立方厘米 【分析】观察可知，水与假山石的体积和等于一个长48厘米，宽25厘米，高38厘米的长方体的体积，根据可计算水与假山石的体积和，把12升转化为以立方厘米为单位，用水龙头每分钟水的流量乘时间可得鱼缸内水的体积，再用水与假山石的体积和减水的体积，即可得假山石的体积。 【详解】12升＝12000毫升＝12000立方厘米 （立方厘米） 答：假山石的体积是4200立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $