广东中山市华侨中学2025-2026学年八年级下学期数学学情自测试题

**基本信息** 融合《九章算术》“折竹抵地”、“赵爽弦图”等传统文化素材，梯度覆盖二次根式、勾股定理、平行四边形等核心知识，通过新定义“等对角四边形”、动点综合问题考查几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式有意义条件、勾股数、平行四边形性质|第8题结合数轴与勾股定理，考查空间观念| |填空题|5/15|同类二次根式、命题改写、菱形面积、动点最值|第15题正方形中PE+PC最小值，体现转化思想| |解答题|8/75|二次根式计算、几何证明、新定义问题|22题“等对角四边形”新定义，考查推理能力；23题矩形动点问题，综合四边形性质与方程思想|

2025-2026学年广东省中山市华侨中学八年级下学期数学开学考 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.在下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，24，25 3.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.下列各式属于最简二次根式的有（   ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为（    ） A．10 B．11 C．12 D．17 6.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 7.关于正比例函数的描述，错误的是（    ） A．图象是一条过原点的直线 B．随的增大而增大 C．图象过 D．图象过一、三象限 8.如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（    ）． A． B． C． D． 9.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 10.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ）  A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.化简 = _________ 12.若最简二次根式与是同类二次根式，则_________ ． 13.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：_________ ． 14.如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为_________ ． 15.正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是_________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（7分）计算： (1) (2) 17.（7分）已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 18.（7分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． (1)求证：AC⊥BC； (2)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 19.（9分）如图，等腰中，，，E点是的中点，分别过D，E作，垂足分别为G，F两点．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 20.（9分）如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． (1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． (2)若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 21.（9分）先阅读材料，然后回答问题． 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ (1)在上述化简过程中，第 _____步出现了错误，化简的正确结果为________ ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简   ①．   ②． 四、解答题 22.（13分）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数． (2)如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”． (3)如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长． 23.（14分）如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ (3)当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 参考答案与试题解析 1.A 【解析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】若代数式有意义，则 ∴ 故选：A 2.B 【解析】解：A、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； B、都不是整数，不符合勾股数定义，符合题意； C、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； D、都是整数，且，故是勾股数，不符合题意； 故选B. 3.D 【解析】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 4.B 【解析】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 5.C 【解析】【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 6.D 【解析】【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 7.C 【解析】【详解】解：当时，， ∴点在图象上， ∴函数图象不经过．选项C说法错误，其他选项说法正确． 故选：C． 8.C 【解析】【详解】∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是：， 故选：C． 9.B 【解析】【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为9． 故选：B． 10.A 【解析】解：如图，连接，  四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ． ． 故选：A． 11. 【解析】解：原式＝= 12.4 【解析】解：∵同类二次根式的被开方数相同， ∴， 解得． 故答案为：． 13.如果三角形三边长a,b,c,满足,那么这个三角形是直角三角形 【解析】解: ∵原命题的题设是：直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c；原命题的结论是：这个三角形是直角三角形； ∴逆命题是：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形． 14. 【解析】解：连接交于点O，如图， ∵在菱形中，， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15.13 【解析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】如图连接AE交BD于P点， 则AE就是PE+PC的最小值， ∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5， ∵AB=12， ∴AE==13， ∴PE+PC的最小值是13． 故答案为13． 16. (1) 【解析】解： (2) 【解析】解： 17. (1) 【解析】解：∵y与x成正比例， ∴设， 将，代入中，得 解得， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 【解析】将代入中，得：， 解得． 18. (1)证明见解析； 【解析】解：∵．，， ∴， 是以为斜边的直角三角形， ． (2)点的坐标或或． 【解析】如图所示：点的坐标或或． 19. (1)证明：∵，， ∴点D是的中点． ∵E点是的中点， ∴是的中位线． ∴ ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形； 【解析】略 (2)解：∵交于D点，E点是的中点， ∴， 由一知，四边形为矩形． 在直角中，，由勾股定理得：． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键． 【解析】略 20. (1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 【解析】解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； (2) 【解析】以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 21. (1)④；； 【解析】【详解】解：（1）第④步出现了错误； = =． (2)①；② 【解析】① = = =． ② = = ． 22. (1) 【解析】解：四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， ∴； (2)见解析 【解析】证明：∵在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； (3) 【解析】解：如图 3 ，过点作于，于， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ∴， ， ， 在中，． 23. 【解析】 23. (1)当时，四边形是矩形 【解析】解：四边形是矩形， ，， 当时，四边形是矩形，即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是菱形，菱形面积为 【解析】解：，， ，即 ， 四边形为平行四边形， 在矩形中， 当，即时，四边形为菱形． 解得：． 答：当时，四边形是菱形； 当时，，面积为：； (3)当或3时，是以为一腰的等腰三角形 【解析】解：①当，即时，为等腰三角形， 解得：； ②法一：当，即时，为等腰三角形， 整理得：， 解得， 法二：过点作交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得， 综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形． 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $