安徽省砀山中学2025-2026学年第二学期高一第二次质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期砀山中学高一第二次质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交给监考老师． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列向量运算错误的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知，，则下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是（ ） A． B． C． D． 6．在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（ ） A．2 B．4 C． D．8 7．半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知的面积为，内角，，的对边分别为，，，满足， 为三角形外心，且，则的形状为（ ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，（，均不为0），下列选项正确的是（ ） A．对应复平面内的点为 B．若，则对应的点构成的集合围成的图形面积为 C．若，则， D．是方程的一个根，则 10．已知非零向量与共线，下列有表述正确的有（ ） A．存在唯一确定的实数，使得 B． C．向量在上的投影向量为 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形边界及内部一动点，且满足平面，则（ ） A．动点的轨迹长度为2 B．三棱锥的外接球表面积为 C．直线与直线所成角余弦值的最小值为 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算___________． 13．已知中，，，则满足两个三角形的的取值范围___________． 14．如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知单位向量，夹角为，，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16．（15分）如图，在中，，，，，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17．（15分）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18．（17分）已知、、分别为锐角三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，则周长的范围． 19．（17分，用坐标不给分）如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为． （1）设平面与平面的交线为，求直线与直线所成的角； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求． 学科网（北京）股份有限公司 $