25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及应用，课堂导入通过回顾一元一次方程举例与辨析巩固旧知，再以矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际问题引导发现新方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实（如矩形方盒底面积问题），用数学思维推理（如赛制问题列方程化简），用数学语言规范表达（如例题中方程一般形式转化）。采用探究式教学，小结引导自主梳理，助力学生发展抽象能力与模型意识，也为教师提供结构化教学资源。

25.1　一元二次方程的概念 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 1．你能举例说明一元一次方程的概念吗？ 如2026＋18x＝2025，这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程． 2 2．下列是一元一次方程的是：________．(填序号) ①x－1＝2x＋1； ②x－3； ③4x＋3y＝1； ④x2－x(x＋1)＝0. ①④ 探究新知 问题1 如图 25.1-1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图 25.1-2）。 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？如何用一元二次方程解决实际问题？提供一些一元二次方程的典型例题一元二次方程的解法有哪些？ (1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？ (2)若设各角切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________cm，宽为__________cm； (3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？ 提出问题： (100－2x) (50－2x) 设各角切去的正方形铁皮的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，根据方盒的底面积为3 600 cm’，可列得方程 (100-2x)(50-2x) = 3 600. 整理并化简，得 -75x+350=0. ② 由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长. 方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天 安排4场比赛，组织者应邀请多 少支球队参赛？ (1)说说“每两个队之间比赛1场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？ 提出问题： (2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？ (3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简． 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他（x-1）支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行x（x-1）场，所以可列得方程 x（x-1） = 28 . 整理并化简，得 - x – 56 = 0. ③ 由方程③可以得出应邀请的球队数. 为什么需要进行x（x-1）场? 方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？ 小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长． 本题必须设两个未知数吗？ 如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？ 思考： - x – 56 = 0 -75x + 350 = 0 - 5x – 25 = 0 这几个方程有什么共同点？ 知识归纳 1．一般地，如果方程中只含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______，未知数的最高次数是______，这样的方程叫作一元二次方程． 一 整式 2 2．一元二次方程的一般形式是_______________ _____，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项． 二次项系数a为什么不能为0? 一元二次方程中的a，b，c可以是些什么样的数？ ax2＋bx＋c＝0 ax2 a bx b c (a≠0) 3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______. 4．使一元二次方程的________________的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根． －1 3 0 左右两边相等 一元二次方程的特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2+bx+c=0 (a≠0，b≠0) a b 0 ax2+c=0(a≠0，c≠0) a 0 c ax2=0(a≠0) a 0 0 一元二次方程的特殊形式: 例 1 例题与练习 判断下列各方程是不是一元二次方程． (1)x2－3xy＋4y2＝0； (2)y2＝3y＋2； (3)x＋－3＝0. 例 2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得 3- 3x = 5x + 10 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3- 8x - 10 = 0 3 - 8x - 10 = 0 二次项系数为3 一次项系数为－8 一般形式为 常数项为－10 例 3 已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值. 解：由题意，得2a2＋a－2＝0， ∴2a2＋a＝2， ∴4a2＋2a＝4. 1，把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2－1=4x； 解：方程一般形式为：5x2－4x－1=0. 其中二次项系数为5，一次项系数为－4，常数项为－1. (2) 4x2=81; (3) 4x(x+2)=25; 解：方程一般形式为：4x2－81=0. 其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为－81. 解：方程一般形式为：4x2+8x－25=0. 其中二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为－25. (4) (3x－2)(x+1)=5x－2. 解：方程一般形式为：3x2－4x =0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为0. 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 解：设正方形的边长为x . 可列一元二次方程式：4x2 = 25. 化为一般形式为：4x2 －25 = 0. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形宽为x，则长为：x+2 . 可列一元二次方程式：x(x+2) =100. 化为一般形式为：x2 －2x－100 = 0. （3）把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短一段长为x m， 可列一元二次方程式：x ⋅ 1 = . 化为一般形式为：x2 －3x +1 = 0. 则较长一段长为 (1−x) m. 3．(教材P4习题T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有 (　 　) A．1个　　　　　B．2个　　　　　 C．3个　　　　　D．4个 B 4．若关于x的方程(m－1)xm2+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为________________． －2x2－3x＋2＝0 课堂小结 我们学习了一元二次方程的哪些知识？ 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般形式中有什么限制？ 你会解一元二次方程吗？ 随堂检测 1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0 C 2.关于x的方程(a-1)x2+4x-3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a＞1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 C $