25.1一元二次方程的概念（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，涵盖定义、一般形式及根的核心知识点。通过雕像设计、方盒制作、排球邀请赛等现实情境导入，引导学生从问题中抽象方程，对比一元一次方程突出“一元、二次、整式”三要素，构建知识支架。 其亮点在于以真实问题培养数学眼光，通过方程辨析、根的应用发展数学思维，用实际情境列方程强化数学语言。如判断分式方程、含参方程，结合增长率、小路宽度问题实例，助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供分层练习及易错总结，提升教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 25.1一元二次方程的概念 第25章　一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且等式两边都是整式的方程。核心三要素：一元、二次、整式方程，缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$为二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$为一次项系数；$$c$$为常数项，a≠0是关键条件。 3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $$x^3-2x=0$$ B. $$2x+y=1$$ C. $$x^2=5$$ D.$$\frac{1}{x^2}+x=2$$ 2. 若方程$$(m-3)x^2+2x-1=0$$是一元二次方程，则m的取值范围是（） A. $$m eq0$$ B. $$m eq3$$ C. $$m=3$$ D. 任意实数 （二）填空题 3. 方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数是______，常数项是______。 4. 已知$$x=2$$是方程$$x^2+kx-6=0$$的一个根，则k的值为______。 （三）解答题 5. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数：$$3x(x-1)=2(x+2)$$。 6. 判断方程$$(x+1)^2=x^2+3$$是否为一元二次方程，说明理由。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C。解析：A为三次方程，B含两个未知数，D是分式方程，均不符合定义；C满足一元二次方程三要素。 2. 答案：B。解析：一元二次方程二次项系数不为0，即$$m-3 eq0$$，得$$m eq3$$。 3. 答案：2，1。解析：对照一般形式$$ax^2+bx+c=0$$，可直接对应得出系数。 4. 答案：1。解析：将$$x=2$$代入方程，得$$4+2k-6=0$$，解得$$k=1$$。 5. 解析：去括号得$$3x^2-3x=2x+4$$，移项整理为一般形式$$3x^2-5x-4=0$$；二次项系数3，一次项系数-5，常数项-4。 6. 解析：不是。展开化简得$$x^2+2x+1=x^2+3$$，消去二次项后为$$2x-2=0$$，未知数最高次数为1，是一元一次方程。 四、易错总结 做题时需先化简方程再判断，不可仅凭原式形式判定；始终牢记二次项系数不为0的核心条件，这是解题高频易错点。 通过阅读课本理解并掌握一元二次方程的概念，知道一元二次方程的一般形式，提高学生的运算能力. 通过完成习题可以把一个一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项，发展了学生的类比思想和归纳能力. 通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的兴趣，体会数学思考的快乐，培养运用数学的意识. 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 导入新知 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平 方厘米,那么铁皮各角应切去多大的 正方形? 一元二次方程的概念 知识点 1 探究新知 100cm 50cm 3600cm2 4 【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3600cm2,得 整理，得 （100-2x）（50-2x）=3600 x2-75x+350=0 x 100cm 50cm 3600cm2 探究新知 5 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛 x（x-1）场.可列方程 整理，得 x2-x=56. 探究新知 【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区别 特点 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x； （3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的. 未知数最高次数为2 探究新知 像上述两个方程式这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足三个特征）. 一元二次方程的概念 探究新知 【想一想】 是一元二次方程吗？ 答：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次. 探究新知 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 整理x2-3x+2=0 a≠0 A. B. 3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D. ax2+bx+c=0 素养考点 1 一元二次方程的识别 探究新知 方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足，缺一不可． 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x3+ x2=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0 (1) x2+ x=36 (4) (6) (7) (8) 巩固练习 11 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 探究新知 一元二次方程的一般形式 知识点 2 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 探究新知 【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？ 【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数. 探究新知 当a=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0 当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0 一元二次方程 bx+c=0（一元一次方程） ax2+c=0 ax2+bx=0 ax2=0 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ Ax+b=0 (a≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 探究新知 例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10 整理，得 3x2-8x-10=0 其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10. 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的. 一元二次方程一般形式的有关概念 素养考点 探究新知 一元二次方程解的概念 知识点 3 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 探究新知 例 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m. 分析: 一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程. 解：依题意把x＝2代入原方程，得 4（m-1）+6-5m+4=0, 整理，得 -m+6=0, 解得 m=6. 素养考点 利用一元二次方程的解确定字母的值 探究新知 方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题. 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程：; ; ;; ; 中，属于一元二次方程的是( ) C A. ①和② B. ②和⑤ C. ③和④ D. ③和⑥ 中考考法 19 2.关于的方程 是一元二次方程， 则 的值为_____. 【点拨】注意一元二次方程中二次项系数不为0. 解题支架 中考考法 20 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程化成一般形式，则 的 值是( ) B A. B. 7 C. D. 1 4. 关于的一元二次方程 化为一 般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 4 D. 中考考法 21 知识点3 一元二次方程的解 5. [2026汕头期中] 若关于 的一元二次方程 的一个根是，则 的值为( ) C A. 2 B. C. 2或 D. 中考考法 22 6. 若是关于的方程 的解，则 代数式 的值是____. 【点拨】 先求出的值,再代入 比较困难，本题根据解的 定义将代入方程,得 ,变形 为,最后将待求式子变形为 后， 将 整体代入求解. 中考考法 23 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的 一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 【点拨】由题意可设方程为，将 代入 ，得， 该方程 可为 . 中考考法 24 知识点4 根据题意列一元二次方程 8. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其 化成一元二次方程的一般形式. 中考考法 25 （1）深度求索 是一家专注人工 智能领域的中国科技公司，致力于开发先 进的大语言模型和生成式 技术.据统计， 【解】 ，化成一般形式为 . 该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下 载量连续增长，第三天为150万次.求下载量的日平均增长率 ； 中考考法 26 （2）某学校为落实活动育人的教育理念， 计划将一块长为、宽为 的矩形空 地改建成一个菜园，供学生使用.如图,为了 ，化成一般形式为 . 方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂 直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为 ，求小路的宽（单位： ）. 中考考法 27 9. 如下表是某同学求代数式（， 为常数）的值的 情况.根据表格中数据，可知关于的方程 的 两个根的平方和为( ) … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … B A. 13 B. 5 C. 1 D. 8 中考考法 28 10. 若一元二次方程 化为一般形 式后为，则一次函数 的图象不经 过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 29 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数；（一元） 最高次数是2.（二次） 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要 条件； 解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值. 定义 判断 等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程 课堂小结 $