2026届高三数学考前自测模拟试卷四（新高考一卷）

**基本信息** 聚焦新高考能力要求，通过集合、数列等基础题与球内接正四面体、椭圆综合题及“差集合”新定义题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、双曲线、三角函数|单选注重基础，多选结合随机变量、函数性质考查推理意识| |填空题|3题15分|排列组合、抛物线、解三角形|12题分配方案考查应用意识，13题抛物线焦点弦体现数学运算| |解答题|5题77分|数列、概率统计、立体几何、椭圆、新定义|16题结合掷骰子选箱情境考查数据观念，19题“差集合”新定义问题发展创新意识，18题椭圆证明题强化逻辑推理|

2026届高三数学考前自测模拟试卷四（新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2. 若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A.1 B. C.2 D. 3. 已知 ， 为单位向量，且满足 ，则 A. B. C. D. 4. 在 的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 5. 已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为 ，。若 的右支上存在一点 ，使得 且 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 6. 将函数 （，）的图象向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象。若 的图象过点 ，则 的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 7. 已知一个半径为2的球体内接有一个正四面体，则该正四面体的表面积为 A. B. C. D. 8. 若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设随机变量 ，随机变量 ，则下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 已知数列 满足 ，，设其前 项和为 ，则 A. 是递减数列 B. C. D. 11. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，则下列说法正确的是 A.4是 的一个周期 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 某公司有5名研发人员，现要将他们分配到3个不同的重点研发项目中去，要求每个项目至少分配1人，则不同的分配方案共有              种（用数字作答）。 13. 抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点。若 ，，则             。 14. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，。若 ，则             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 。 1. 求数列 的通项公式； 2. 设 ，求数列 的前 项和 。 16.（15分）甲、乙两个不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的若干个小球。其中甲箱有3个红球和2个黑球，乙箱有2个红球和3个黑球。现进行一项抽球实验：先投掷一枚质地均匀的正方体骰子，若掷出的点数为1或2，则选定甲箱；否则选定乙箱。 1. 求在一次实验中，从选定的箱子中随机抽取1个球，该球为红球的概率； （2） 若在一次实验中抽到的是红球，求它是从甲箱中抽出的概率； （3） 若在一次实验选定箱子后，从该箱中不放回地随机抽取3个球，记抽到的红球个数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 。 17.（15分）已知正四棱锥 的底面边长为2，高为 。点 为侧棱 的中点。 （1） 证明：； （2） 求平面 与平面 夹角的余弦值。 18.（17分）已知椭圆 的离心率 ，原点 到直线 的距离为 ，其中 为椭圆的左顶点， 为椭圆的上顶点。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 设 的右焦点为 ，过点 的直线 （不与 轴重合）交椭圆 于 ， 两点。点 ，试证明： 轴平分 。 19.（17分）给定有穷严格递增数列 ，，，。定义数列 的“差集合”为 。记集合 中元素的个数为 。 （1） 若数列 为 ，，，，写出集合 ，并求此时的 ； （2） 证明：若数列 ，，， 为等差数列，则 ； （3） 探究是否存在项数 且各项均为正整数的数列 ，使得其差集合 ？若存在，请写出一个满足条件的数列 ；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学考前自测模拟试卷四（新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2. 若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 A.1 B. C.2 D. 3. 已知 ， 为单位向量，且满足 ，则 A. B. C. D. 4. 在 的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 5. 已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为 ，。若 的右支上存在一点 ，使得 且 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 6. 将函数 （，）的图象向左平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图象。若 的图象过点 ，则 的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 7. 已知一个半径为2的球体内接有一个正四面体，则该正四面体的表面积为 A. B. C. D. 8. 若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设随机变量 ，随机变量 ，则下列结论正确的是 A. 若 ，则 B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 已知数列 满足 ，，设其前 项和为 ，则 A. 是递减数列 B. C. D. 11. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇函数，则下列说法正确的是 A.4是 的一个周期 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 某公司有5名研发人员，现要将他们分配到3个不同的重点研发项目中去，要求每个项目至少分配1人，则不同的分配方案共有              种（用数字作答）。 13. 抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点。若 ，，则             。 14. 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，。若 ，则             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 。 1. 求数列 的通项公式； 2. 设 ，求数列 的前 项和 。 16.（15分）甲、乙两个不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的若干个小球。其中甲箱有3个红球和2个黑球，乙箱有2个红球和3个黑球。现进行一项抽球实验：先投掷一枚质地均匀的正方体骰子，若掷出的点数为1或2，则选定甲箱；否则选定乙箱。 1. 求在一次实验中，从选定的箱子中随机抽取1个球，该球为红球的概率； （2） 若在一次实验中抽到的是红球，求它是从甲箱中抽出的概率； （3） 若在一次实验选定箱子后，从该箱中不放回地随机抽取3个球，记抽到的红球个数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 。 17.（15分）已知正四棱锥 的底面边长为2，高为 。点 为侧棱 的中点。 （1） 证明：； （2） 求平面 与平面 夹角的余弦值。 18.（17分）已知椭圆 的离心率 ，原点 到直线 的距离为 ，其中 为椭圆的左顶点， 为椭圆的上顶点。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 设 的右焦点为 ，过点 的直线 （不与 轴重合）交椭圆 于 ， 两点。点 ，试证明： 轴平分 。 19.（17分）给定有穷严格递增数列 ，，，。定义数列 的“差集合”为 。记集合 中元素的个数为 。 （1） 若数列 为 ，，，，写出集合 ，并求此时的 ； （2） 证明：若数列 ，，， 为等差数列，则 ； （3） 探究是否存在项数 且各项均为正整数的数列 ，使得其差集合 ？若存在，请写出一个满足条件的数列 ；若不存在，请说明理由。 参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B B B A B A 二、多项选择题 9 10 11 ACD ABD ACD 三、填空题 12.150 13. 14.4 四、解答题 15. 解： （1） 当 时，，即 ，解得 。 当 时， ， 。 - 得 ，即 。 所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，通项公式为 。 （2） 由 （1） 知 。 两式相减得： 。 所以 。 16. 解： （1） 记 “选定甲箱” 为事件 ，“选定乙箱” 为事件 ，“抽到红球” 为事件 。 由题意知，掷出1或2的概率为 ，故 ，。 在选定甲箱的条件下抽到红球的概率 ，在选定乙箱的条件下抽到红球的概率 。 由全概率公式，在一次实验中抽到红球的概率为： 。 （2） 由贝叶斯公式，在抽到红球的条件下，球是从甲箱中抽出的概率为： 。 （3） 选定箱子后，从该箱中不放回地随机抽取3个球，随机变量 的可能取值为0，1，2，3。 若选定甲箱（3红2黑），抽取3个球中红球数必然不小于1，故此时抽到0个红球的概率 为0； 若选定乙箱（2红3黑），抽取3个球中红球数至多为2，故此时抽到3个红球的概率为0。 根据全概率公式分别计算各取值的概率： 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 17. 解： （1） 设底面中心为 。因为 是正四棱锥，所以 底面 。 且底面为正方形，故对角线 。 因为 底面 ，且 平面 ，所以 。 又 ，故 平面 。 因为 平面 ，所以 。 （2） 依题意，正方形 的边长为2，则对角线 ，得 。 以 为坐标原点，分别以 ，， 所在方向为 ，， 轴正方向建立空间直角坐标系。 则各点坐标为：，，，，。 因为 为侧棱 的中点，所以 。 设平面 的法向量为 ， 由 ，， 得 ，取 。 设平面 的法向量为 ， 由 ，， 得 ，取 。 设平面 与平面 的夹角为 ，则： 故平面 与平面 夹角的余弦值为 。 18. 解： （1） 椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 。直线 的方程为 ，即 。 原点 到直线 的距离 ，两边平方得 。 因为离心率 ，所以 ，即 。 将 代入 中，得 ，解得 ，从而 。 故椭圆 的标准方程为 。 （2） 由 （1） 知 ，，则 ，右焦点为 。 依题意，过点 的直线 不与 轴重合，可设直线 的方程为 。 联立直线与椭圆方程：。 由于 恒成立。 设 ，，则由根与系数的关系得：，。 要证明 轴平分 ，只需证明直线 与直线 的斜率之和为 ，即 。 已知 ，则： 。 将根与系数的关系代入分子中，得： 。 从而 成立，即直线 与直线 关于 轴对称。 故 轴平分 。 19. 解： （1） 数列 为 ，，，，项数 。 任意两项之差分别为： ； ， ； ， ， 。 故数列 的差集合 。 此时 中的元素个数 。 （2） 证明：设等差数列 的公差为 。由于 是严格递增数列，所以 。 对于任意的 ，两项之差为：。 因为 且 ，所以下标之差 的可能取值为 ，，，。 因此，集合 中的所有可能取值为 。 因为 ，所以这 个数互不相同。 故集合 中元素的个数 ，命题得证。 （3） 不存在这样的数列 。理由如下： 假设存在项数 且各项均为正整数的严格递增数列 ，，，，，使得 。 因为集合中最大的元素为 ，且数列 递增，所以最大的差值必然是首尾两项之差，即 。 因为 中必须包含元素 ，要产生差值 ，只能是 或 。 由对称性（数列各项平移或反序不改变差集合的本质属性），不妨设 ，此时 成立。 此时数列可表示为：，，，，。 又因为 中必须包含元素 ，要产生 ，只能从以下情况中选取： 若 ，则 且 。 若 ，则 且 。 若 ，则 且 。 由对称性，不妨设 ，此时数列形式确定为： ，，，，。 我们统计已知项之间已经产生的差值： ，，； ，，。 此时已产生的差集合部分为 。 要满足 ，还必须产生剩余的差值：。 这四个差值必须由中间项 与其他四项的差产生，即 ，，，。 设 ，则这四个差值分别为： ，，，。 这四个数必须正好是 的一个排列。 因此这四个数之和应该等于 。 但实际计算这四个数之和为：。 由于 ，产生矛盾！ 故假设不成立，不存在满足条件的数列 。 学科网（北京）股份有限公司 $