精品解析：河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本和人文自然类文本各一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 56种 B. 28种 C. 24种 D. 30种 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，小明阅读科普类文本和人文自然类文本各一本的不同选法有种. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】先对求导. 根据求导公式：，， 得. 将代入导函数：. 3. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则在内恒成立， 可知在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则，解得， 又，故的最小值为6. 5. 已知的展开式中的系数为20，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由展开式通项为，， 所以中的系数为，即. 6. 将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】先找出中所有等差三元集合：，共组. 每组可排成递增、递减种有序等差排列，所以前三张共有种排法. 剩余个数全排列有种.总排法数为. 7. 已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与曲线和的切点分别为、，根据导数的几何意义及切点在切线上列方程求参数值. 【详解】令直线与曲线的切点为， 由，则， 而，故，所以， 令直线与曲线的切点为， 由，则，故， 而，故，所以. 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合已知将问题化为在时恒成立，利用导数研究右侧的最大值，即可得. 【详解】令且，则，又恒成立， 所以且，则， 所以且，令，则恒成立， 若且，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，故，即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 在和上单调递增，在上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】结合的图象，先分析的符号与原函数的单调性的关系判断单调性，再利用单调性判断出极值点. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以是的极小值点，无极大值点，在上单调递减，在上单调递增． 故答案为：BC. 10. 已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据排列组合数计算判断；B举反例说明即可；C应用组合数的性质得，再应用裂项相消法计算判断；D根据组合数公式分析判断. 【详解】A：由，故A正确； B：例如，则，即，故B错误； C：由，且， 所以，故C正确； D：因为，故D正确； 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用所有的二项式系数之和为即可判断；对于B，利用“杨辉三角”中数字的左右对称性和左增右减的性质易判断；对于C，先写出数列的前10项之和为，再运用组合数的性质计算即得；对于D，先写出表示的式子，通过两个角度考虑展开式中的系数即可推理得到. 【详解】对于A，由二项式系数的性质可知第行的所有的数字之和为，故A错误; 对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B正确; 对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 ，因，故C正确; 对于D，依题意，，则， 下面证明. 分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为，由考虑，的系数为:， 故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据导数定义，函数在处的导数为 . 对所求极限变形：. 令，当时，， 则. 代入，得 . 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】令，则， 令，则， 所以，则. 14. 将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成两个工作小组，然后从组中选择2人干工作，其余2人干工作；从组中选择1人干工作，其余3人干工作，已知甲不能干工作，乙要干工作，丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于工作b只在A组，乙必须做工作b，因此乙一定在A组且被分配做b， 工作只在B组，甲不能做，因此若甲在A组则必须做b，若在B组则必须做c， 丙和丁必须分在A、B两个不同小组。其余4人无特殊限制； 分两种情况讨论： 情况1：甲在A组： 此时A组已包含乙和甲，且丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选1人加入A组，有种选法， 故A组的构成方式有种； A组内的工作分配：乙和甲必须做b，其余两人自动做a，仅1种方案； B组：由丙、丁中另一人和剩余3个普通人组成。从中选1人做c，有种方案； 该情况总方案数为：种； 情况2：甲在B组： A组必须包含乙，丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选2人加入A组，有种选法， 故A组的构成方式有种； A组内的工作分配：乙固定做b，需从其余3人中选1人做b，有种方案，剩余2人做a； B组：甲必须做c，其余3人自动做a，仅1种方案； 该情况总方案数为：种； 综上，所有满足条件的分配方案总数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第6项的二项式系数相等． （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数（用数字作答）； （3）若展开式中，第项为有理项，求的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题设且，则； 【小问2详解】 由（1）的展开式通项为，， 令，则展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 由题设，令，则， 所以，即对应第项均为有理项. 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导得到切线斜率表达式,利用切点横坐标,代入导数得切线斜率等于2,求出,再把代入原函数,结合切线方程在处的函数值求出. （2）先写出解析式并求导,函数在区间单调递增转化为导函数在区间上恒大于等于0,分离参数后转化为小于等于新构造函数在区间上的最小值,再研究构造函数的单调性求出最小值,即可得到的取值范围. 【小问1详解】 已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. 【小问2详解】 由（1）得，则. 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，，求导得. 因为时，，所以，即在上单调递增. 因此. 故，即的取值范围为. 17. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， （1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； （2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师，据此求解即可； （2）分两步进行求解，第一步从5名学生中任选一名分给老师甲，第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师. 【小问1详解】 由题意可得从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师， 所以一共有种分配方案. 【小问2详解】 第一步，从5名学生中任选一名分给老师甲，有种分配方案； 第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师； 这两组人数为1和3时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 这两组人数为2和2时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 所以第二步一共有种分配方案， 所以一共有种分配方案. 18. 已知函数． （1）若函数为的导函数，判断在上的零点个数； （2）证明：当时，； （3）设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）0个 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得； （2）构造，利用导数证明在上恒成立，即可证； （3）问题化为，上，，应用导数求它们的区间最大值，即可求. 【小问1详解】 由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； 【小问2详解】 令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； 【小问3详解】 由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的极值即可； （2）问题化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最值，即可得； （3）应用分类讨论及导数研究函数在区间上的零点个数确定参数范围. 【小问1详解】 由题设且，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由在上恒成立， 令且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，则； 【小问3详解】 由且， 当时，，则在上单调递增，故不可能存在两个零点，不满足； 所以，此时，令， 若时，在上，则在上单调递减，故不可能存在两个零点，不满足； 若时，在上，则在上单调递增，故不可能存在两个零点，不满足； 综上，，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由，， 要使在上有且仅有2个零点，即，则， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本和人文自然类文本各一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 56种 B. 28种 C. 24种 D. 30种 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知的展开式中的系数为20，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 6. 将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 7. 已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的导函数为，的图象大致如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 在和上单调递增，在上单调递减 10. 已知，且，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（ ） A. 在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B. 在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C. 在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D. 记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则___________． 13. 已知，则___________． 14. 将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成两个工作小组，然后从组中选择2人干工作，其余2人干工作；从组中选择1人干工作，其余3人干工作，已知甲不能干工作，乙要干工作，丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第6项的二项式系数相等． （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数（用数字作答）； （3）若展开式中，第项为有理项，求的取值集合． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 17. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， （1）若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； （2）若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 18. 已知函数． （1）若函数为的导函数，判断在上的零点个数； （2）证明：当时，； （3）设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $