精品解析：河北省保定市定州市2023-2024学年高二下学期4月期中测试数学试题

2023-2024学年度高二年级第二学期期中测试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 5. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 令，则当时，a除以15所得余数为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 0 8. 设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A. A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B. A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C. A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D. A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 若是的唯一极值点，则 C. 有唯一极值点的充要条件是 D. 若有三个极值点，，，则. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 13. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 14. 已知函数，若，则的最小值为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤. 15. 已知，函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 16. “三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（）个，第3层（）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?” （1）第12层有多少个?（写出计算过程） （2）若用表示第n层的物体个数，请做如下计算： ①的值为多少； ②求数列的前2024项和. 17. 已知双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为，又P为双曲线上一点，且满足：轴，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），且与交于Q点，问：是否存在常数t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数 （1）若，求的取值范围； （2）若既存在极大值，又存在极小值. ①求a的取值范围； ②当时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围. 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （3）若正项数列为“数列”，且，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高二年级第二学期期中测试 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解. 【详解】 故选：A. 3. 在数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到规律，从而求出. 【详解】数列中，由，，得， 同理可得，，…，所以，则. 故选：C. 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 5. 如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解. 【详解】依题意，设，则，， 由，得，在中，， 整理得，因此， ， 在中，有，整理得， 显然，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：C 【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 （即 ），应注意其区别与联系. 6. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 7. 令，则当时，a除以15所得余数为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】当，利用二项式定理化简得，结合二项式的展开式公式即可求解. 【详解】， 当时， 故a除以15所得余数为0. 故选：D. 8. 设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，由导数的几何意义求得，由，，可得，则有，又，得，可求的值. 【详解】由题意可设，，，. 抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为， ，，， 因此，即， 平行于轴，则点D到直线和直线的距离相等，即. 又，，所以. 所以. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（　　） A. A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5 B. A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2 C. A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1 D. A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2 【答案】BCD 【解析】 【详解】解析：因为|PA－PB|＝5＝AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝2，化简得y2＝2（x2－4），即－＝1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB＝·＝1，化简得y2＝x2－4，即x2－y2＝4，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB＝2＜5＝AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确． 10. 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（    ） A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B. A与同学不相邻，共有种站法 C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【解析】 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有两个极值点 B. 若是的唯一极值点，则 C. 有唯一极值点的充要条件是 D. 若有三个极值点，，，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的零点情况可判断A，根据导数有唯一零点，转化为恒成立求范围判断B，结合B可判断C，由题意转化为，构造函数利用函数单调性证明即可判断D. 【详解】 时，由可知，由函数，图象，显然方程有唯一负根，即有变号零点，所以有两个变号零点，所以函数有两个极值点，故A正确； 若是的唯一极值点，则恒成立， 若，为增函数，时，不成立， 若，则恒成立，令，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以，B正确； ，即 当时，，此时 由，由可得，当，当，所以函数在单调递减，在单调递增，显然可得，所以，又，故存在使，所以函数有两个零点3和，是的不变号零点，是的变号零点，所以3不是的极值点，时，有唯一极值点，C错误； 有三个极值点，，必有两个零点且都不为3， 不妨设，则必有两个不同零点，，不妨设， 则单调递增，且有唯一零点，故，此时零点， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 由有两零点可知，即，， 又，所以存在零点，时，，所以必存在，且， 令，即，令，下面证明， 令，则 是增函数， 又∵，时，，即. 当时，，即 由可知，当时，，在单调递减， ，，，即，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，由原问题可转化为有两个零点，转化为中，为证明，构造函数，由函数的单调性得出，，即，是解题的关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为__________.（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】由条件中所举的3个人的“环排列”，确定“环排列”的公式，即可求解. 【详解】三位同学围成一个圆，“”“”或“”是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个.三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 故答案为： 13. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，，则由椭圆的中心对称性将的周长转化为，所以当取最小值时，周长最小 【详解】解：椭圆的方程为，∴，，， 连接，，则由椭圆的中心对称性可得 的周长， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， ． 故答案为：10 14. 已知函数，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤. 15. 已知，函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意知切线的斜率为，求导代入可得，求解即可； （2）根据题意可得在上恒成立，参变分离可得，求函数的最值即可得解. 【详解】（1）因为， 所以曲线在点处的切线斜率． 而直线的斜率为，则，得． （2）由在上单调递减， 得在上恒成立， 即在上恒成立． 又时，，所以， 所以的取值范围是． 16. “三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（）个，第3层（）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?” （1）第12层有多少个?（写出计算过程） （2）若用表示第n层的物体个数，请做如下计算： ①的值为多少； ②求数列的前2024项和. 【答案】（1）78 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由每一层的数量规律，求第12层的数量； （2）由每一层的数量规律，求的值，再利用裂项相消求数列的前2024项和. 【小问1详解】 第12层的物品个数为：. 【小问2详解】 ①； ②， . 17. 已知双曲线的右焦点F到其渐近线的距离为，又P为双曲线上一点，且满足：轴，且. （1）求双曲线的标准方程； （2）过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合），且与交于Q点，问：是否存在常数t，使得成立?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由右焦点F到其渐近线的距离为可得，由轴，且可得，从而可得双曲线的标准方程； （2）根据题意，先写出直线直线方程，并求的坐标，然后直线与双曲线联立方程组，消去，得一元二次方程，进而求的取值范围，从而通过的计算化简可得结论. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 右焦点到渐近线的距离，得. 设，则，得，即， 于是由，得 双曲线标准方程为：. 【小问2详解】 由（1），不妨令，且， 因为过F点作直线l与双曲线的右支交于A、B两点（A、B不与P点重合）， 所以直线的斜率存在，即直线方程为， 则，因此 . 由联立并化简得， 令，，则， ∵直线与双曲线右支相交， ，或， . 存在，使得成立. 【点睛】易错点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题.解决该问题应该注意的事项： （1）写直线方程的时候要考虑斜率是否存在； （2）直线与双曲线右支相交的时候. 18. 已知函数 （1）若，求的取值范围； （2）若既存在极大值，又存在极小值. ①求a的取值范围； ②当时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数求出在单调递增，在单调递减，得在处取得极大值，即为的最大值，无最小值，从而可得结果； （2）①求出导数，依题意方程有两个不等实根，得出且，反之，当时和时分别求出函数的单调区间可得结果；②由①可知的极大值点为，极小值点为，将已知条件转化为恒成立，构造函数，利用导数对变量m进行分类讨论可得结果. 【小问1详解】 当时，，则有， 令，所以在单调递增， 令，所以在单调递减， 所以在处取得极大值，即为的最大值，无最小值. 所以. 【小问2详解】 . 因为存在极大值和极小值，所以方程有两个不等实根. 所以且.这是必要条件，下面证明充分性. 令，解得或. ①当时，，令，解得或， 所以在和上单调递增； 令，解得时，所以在单调递减. 故当时，取得极大值；当时，取得极小值. 当时，，令，解得或， 所以在和上单调递增； 令，解得，所以在单调递减. 故当时，取得极小值；当时，取得极大值. 综上所述，a的取值范围为. ②当时，由①可知的极大值点为，极小值点为， 所以，. 因为，令， 可得对任意恒成立. 由于此时在上单调递减，所以，故， 故，即. 设， 则，令（*），， （I）当时，，故，在上单调递增. 故，即，符合题意. （Ⅱ）当时，，设（*）的两根为和，且， 则，，故， 则当时，，单调递减. 故当时，，即矛盾，不符合题意. 综上，，即，所以， 故k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问中的第②小问关键是由①可知的极大值点为，极小值点为，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数对变量m进行分类讨论，从而可得结果. 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由； （2）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式； （3）若正项数列为“数列”，且，，证明：． 【答案】（1） 数列不是“数列”，理由如下： ，则， 又， 所以， 因为不是常数，所以数列不是“数列”. （2） （3） 设函数，则， 当时，，则在上单调递减，且， 因为数列为“数列”，则， 因为，， 则，故， 由此类推，可得对，， 所以，即，所以得证. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出即可判断； （2）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解出，由此求出，即可求出数列的通项公式. （3）构造函数，通过导数判断函数的单调性，有在上单调递减，且，再推导出且，符合上述区间，即可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为数列为“数列”，由， 有①， 所以②， 两式作差得， 又因为数列为“数列”，所以， 设数列的公比为，所以， 即对成立， 则，得； 又，， 得，所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：①理解“数列”的定义并运用； ②通过构造函数利用函数单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $