第十一章二次根式单元小结与思考讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建二次根式知识体系，将概念、性质、运算（乘除、加减、混合）等模块分层梳理，用对比表格明确√a²与(√a)²的区别联系，突出被开方数取值范围、性质应用等重点及分类讨论、隐含条件挖掘等难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础层设选择填空（如判断最简二次根式）巩固知识，提优层含规律探究（如第23题等式猜想）和实际应用（如第26题几何最值），培养逻辑推理与数学运算素养，助力学生查漏补缺，教师可实施精准分层教学。

2025-2026学年苏科版八年级数学下《第十一章二次根式》单元小结与思考讲义 一．学习目标 ( 1.   熟练掌握二次根式的定义、有意义的条件、核心性质；精准区分最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减乘除四则运算法则，能规范完成二次根式的化简与运算。 2.   通过系统梳理全章知识点、探究典型题型，归纳二次根式化简、求值、运算的解题技巧，提升代数运算能力、分类讨论能力和知识综合运用能力。 3.   体会二次根式运算的严谨性，建立代数运算的规范思维，培养归纳总结、查漏补缺的学习习惯，增强数学学习的自信心。 4.   落实数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养，能运用二次根式知识解决实数范围内的简单计算与实际问题。 ) 二．思维导图 ( ) 三．重点难点 ( （一）学习重点 1.   二次根式核心基础：二次根式的定义及被开方数的取值范围，是本章所有题型的基础，贯穿选择、填空、计算、求值所有考点，需做到精准判断式子是否为二次根式、字母取值范围。 2.   二次根式的性质应用：熟练运用 =a（ a ≥ 0 ） 、 =|a|两大核心性质化简式子，这是二次根式化简、求值的核心依据，也是高频基础考点。 3.   二次根式四则运算：掌握二次根式乘除运算法则、加减合并同类二次根式的方法，能规范进行混合运算，是本章计算类题型的重中之重。 4.   最简二次根式与同类二次根式：熟练掌握最简二次根式的判定标准，能快速识别同类二次根式，是二次根式加减运算的前提。 （二）难点 1.   =|a|的分类讨论应用：根据字母的正负性、取值范围，正确去掉二次根式的绝对值符号，学生易忽略字母取值条件，直接化简出错，是本章最易失分的难点。 2.   二次根式混合运算：混合运算中结合整式乘法公式（平方差、完全平方公式）、 ) ( 、运算顺序，同时兼顾根式化简、符号判断、同类根式合并，步骤繁琐，容易出现步骤遗漏、计算失误。 3.   含参数二次根式的求值问题：结合二次根式有意义的条件确定字母取值，再代入化简求值，需要综合运用取值范围判定、根式性质、化简运算，对知识综合运用能力要求较高。 4.   二次根式的隐含条件挖掘：题目未直接给出取值范围时，需从二次根式本身、分母不为0等条件挖掘隐含限制，是综合性题型的核心难点。 )四．知识梳理 I.二次根式的概念 （一）二次根式概念 1.二次根式的定义 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。：叫做二次根号，根指数为2，通常省略不写；a：叫做被开方数；被开方数a可以是数，也可以是代数式。 2.二次根式的两大判断条件（缺一不可） （1）形式上：必须含有二次根号； （2）取值上：被开方数a≥0（非负数）。 3 二次根式有意义的条件 （1）单个二次根式：，a≥0； （2）二次根式在分母：a>0； （3）二次根式+分式组合：被开方数≥0，且分母≠0。 4.二次根式的双重非负性 若是二次根式，则： （1）被开方数：a≥0； （2）二次根式本身：≥0。 （二）二次根式的性质 1.二次根式的三条核心性质 性质1：≥0 (a≥0) 文字语言：非负数的算术平方根是非负数。 拓展：初中常见三类非负数：≥0 (a≥0)、|a|、a2；若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 性质2：= a (a≥0) 文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 正用：直接化简，如 逆用：任何非负数可写成算术平方根的平方形式，如。 性质3： 文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 当a≥0时，=a； 当a<0时，=-a。 （三）与的区别与联系 1. 取值范围：：a≥0； ：a为全体实数。 2. 运算顺序：：先开方，再平方；：先平方，再开方。 3. 结果：当a≥0时，== a ；当当a<0时，无意义，=-a。 II.二次根式的乘除 （一）二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 （1）法则内容： ·=（a≥0，b≥0） （2）文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 （3）推广：·n=mn（a≥0，b≥0，m,n为实数） 2. 二次根式乘法的运算步骤 （1）系数相乘：根号外的系数相乘，作为结果的系数； （2）被开方数相乘：根号内的被开方数相乘，得到新的被开方数； （3）化简二次根式：将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数（或因式）开出来，化为最简二次根式。 （二）二次根式除法 1. 二次根式除法法则 （1）公式：= （a≥0，b>0） （2）文字：两个非负数算术平方根相除，等于它们商的算术平方根 （3）逆用（商的算术平方根）：= （a≥0，b>0），用于化简根号内分数（4）易错：b不能等于0，分母二次根式必须为正 2. 分母有理化（必考） （1）定义：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的过程 ① 单项根式分母：=，分子分母同乘 ② 两项根式分母（平方差）：=或=，乘共轭根式消根号 3. 最简二次根式（终极化简标准） 同时满足3个条件： （1）被开方数不含分母（因数整数、因式整式） （2） 被开方数不含能开得尽方的因数/因式（平方数、平方式） （3）运算最终结果分母不能带根号，必须先分母有理化，再化为最简 4. 二次根式除法化简步骤 （1）套用除法公式，根号内外分别运算 （2）化去根号内分母 （3）提取被开方数平方因数 （4）分母有理化 （5）整理为最简二次根式 III.二次根式的加减 （一）同类二次根式的概念探究 1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 判定步骤： ① 先把所有二次根式化为最简二次根式； ② 观察化简后的被开方数是否完全相同，相同即为同类二次根式。 （二）二次根式加减 1.实质： 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，类比整式加减中的合并同类项。 2.运算步骤： （1）化简：将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （2）找同类：找出式子中的同类二次根式； （3）合并：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变； （4）整理：非同类二次根式不能合并，直接保留。 3.字母表示：a± b=(a±b) (m≥0) IV.去括号+混合运算 （一）二次根式混合运算顺序 1.运算顺序与整式混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小括号→中括号）。 2.同级运算（只有乘除/只有加减），按照从左到右依次计算。 （二）运算法则与运算律 1.乘法运算 （1）单项式乘多项式： a(+)=a+a （2）多项式乘多项式： (+)(+)=·+·+·+· 2.除法运算：两个二次根式相除，先写成分式形式，再化简， =±（a≥0,b≥0,c>0）。 3.运算律：整式的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在二次根式运算中仍然适用。 （三）乘法公式的应用 整式乘法公式可直接用于二次根式运算，常用公式： 1.平方差公式： (+)(-)=a-b（a≥0,b≥0） 2.完全平方公式： (±)2=a±2+b（a≥0,b≥0） （四）运算结果要求 1.最终结果必须化为最简二次根式； 2.被开方数不含分母，分母不含根号； 3.同类二次根式要合并。 五．强化基础 （一）．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6.当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 7.当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．5 8．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（  ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 9．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，下列正确的是( ) A．0.3ab2 B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b 10．如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． （二）．填空题 11.若为实数，且，则 ． 12.已知，化简： ． 13.若是整数，则正整数n的最小值是 ． 14.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 15.已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 16．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 17．若y＝+2，则2x+y　 　． 18．若，则= ． 19．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． （三）．解答题 21.计算或化简 （1）＋－； （2）＋3xy－x2； （3）（4－10）－（－）. 22.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题： ＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　； 探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 23．观察下列等式：回答问题： ①＝1+﹣＝1 ②＝1+﹣＝1 ③＝1+﹣＝1，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　； （2）请按照上式反映的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 24，阅读下面计算过程： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． 求：（1）的值． （2）（n为正整数）的值． （3）+++…+的值． 25．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 26．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 六．强化提优 （一）选择题 1．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，化简的结果正确的是（   ） A． B． C．没有意义 D．无法确定 3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5.已知时，则代数式的值（　　） A．1 B．4 C．7 D．3 6．计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 7．若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 9．化简－的结果是( ) A. 2a＋2 B. 4a＋2 C. 4 D. －4 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 （二）填空题 11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 12.若成立，则a的取值范围是 ． 13．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为_______. 14．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是________. 15. 若+|2a﹣b+1|=0，则(b﹣a)2026=________ 16. 已知=10，则x等于__________. 17. 若+=+，=-，则x+y=_______． 18．计算： ． 19．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 20．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． （三）解答题 21.应用乘法公式计算. （1）（＋2）（－2）； （2）（）2； （3）（＋）（－）； （4）（－）2. 22.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 23．阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　 　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　 　； （3）若＝6，求a的取值． 24．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题， （1）＝　 　； （2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 25．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． 26．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下《第十一章二次根式》单元小结与思考讲义 一．学习目标 ( 1.   熟练掌握二次根式的定义、有意义的条件、核心性质；精准区分最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减乘除四则运算法则，能规范完成二次根式的化简与运算。 2.   通过系统梳理全章知识点、探究典型题型，归纳二次根式化简、求值、运算的解题技巧，提升代数运算能力、分类讨论能力和知识综合运用能力。 3.   体会二次根式运算的严谨性，建立代数运算的规范思维，培养归纳总结、查漏补缺的学习习惯，增强数学学习的自信心。 4.   落实数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养，能运用二次根式知识解决实数范围内的简单计算与实际问题。 ) 二．思维导图 ( ) 三．重点难点 ( （一）学习重点 1.   二次根式核心基础：二次根式的定义及被开方数的取值范围，是本章所有题型的基础，贯穿选择、填空、计算、求值所有考点，需做到精准判断式子是否为二次根式、字母取值范围。 2.   二次根式的性质应用：熟练运用 =a（ a ≥ 0 ） 、 =|a|两大核心性质化简式子，这是二次根式化简、求值的核心依据，也是高频基础考点。 3.   二次根式四则运算：掌握二次根式乘除运算法则、加减合并同类二次根式的方法，能规范进行混合运算，是本章计算类题型的重中之重。 4.   最简二次根式与同类二次根式：熟练掌握最简二次根式的判定标准，能快速识别同类二次根式，是二次根式加减运算的前提。 （二）难点 1.   =|a|的分类讨论应用：根据字母的正负性、取值范围，正确去掉二次根式的绝对值符号，学生易忽略字母取值条件，直接化简出错，是本章最易失分的难点。 2.   二次根式混合运算：混合运算中结合整式乘法公式（平方差、完全平方公式）、 ) ( 、运算顺序，同时兼顾根式化简、符号判断、同类根式合并，步骤繁琐，容易出现步骤遗漏、计算失误。 3.   含参数二次根式的求值问题：结合二次根式有意义的条件确定字母取值，再代入化简求值，需要综合运用取值范围判定、根式性质、化简运算，对知识综合运用能力要求较高。 4.   二次根式的隐含条件挖掘：题目未直接给出取值范围时，需从二次根式本身、分母不为0等条件挖掘隐含限制，是综合性题型的核心难点。 )四．知识梳理 I.二次根式的概念 （一）二次根式概念 1.二次根式的定义 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。：叫做二次根号，根指数为2，通常省略不写；a：叫做被开方数；被开方数a可以是数，也可以是代数式。 2.二次根式的两大判断条件（缺一不可） （1）形式上：必须含有二次根号； （2）取值上：被开方数a≥0（非负数）。 3 二次根式有意义的条件 （1）单个二次根式：，a≥0； （2）二次根式在分母：a>0； （3）二次根式+分式组合：被开方数≥0，且分母≠0。 4.二次根式的双重非负性 若是二次根式，则： （1）被开方数：a≥0； （2）二次根式本身：≥0。 （二）二次根式的性质 1.二次根式的三条核心性质 性质1：≥0 (a≥0) 文字语言：非负数的算术平方根是非负数。 拓展：初中常见三类非负数：≥0 (a≥0)、|a|、a2；若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 性质2：= a (a≥0) 文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 正用：直接化简，如 逆用：任何非负数可写成算术平方根的平方形式，如。 性质3： 文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 当a≥0时，=a； 当a<0时，=-a。 （三）与的区别与联系 1. 取值范围：：a≥0； ：a为全体实数。 2. 运算顺序：：先开方，再平方；：先平方，再开方。 3. 结果：当a≥0时，== a ；当当a<0时，无意义，=-a。 II.二次根式的乘除 （一）二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 （1）法则内容： ·=（a≥0，b≥0） （2）文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。 （3）推广：·n=mn（a≥0，b≥0，m,n为实数） 2. 二次根式乘法的运算步骤 （1）系数相乘：根号外的系数相乘，作为结果的系数； （2）被开方数相乘：根号内的被开方数相乘，得到新的被开方数； （3）化简二次根式：将被开方数分解因数，把能开得尽方的因数（或因式）开出来，化为最简二次根式。 （二）二次根式除法 1. 二次根式除法法则 （1）公式：= （a≥0，b>0） （2）文字：两个非负数算术平方根相除，等于它们商的算术平方根 （3）逆用（商的算术平方根）：= （a≥0，b>0），用于化简根号内分数（4）易错：b不能等于0，分母二次根式必须为正 2. 分母有理化（必考） （1）定义：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的过程 ① 单项根式分母：=，分子分母同乘 ② 两项根式分母（平方差）：=或=，乘共轭根式消根号 3. 最简二次根式（终极化简标准） 同时满足3个条件： （1）被开方数不含分母（因数整数、因式整式） （2） 被开方数不含能开得尽方的因数/因式（平方数、平方式） （3）运算最终结果分母不能带根号，必须先分母有理化，再化为最简 4. 二次根式除法化简步骤 （1）套用除法公式，根号内外分别运算 （2）化去根号内分母 （3）提取被开方数平方因数 （4）分母有理化 （5）整理为最简二次根式 III.二次根式的加减 （一）同类二次根式的概念探究 1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 判定步骤： ① 先把所有二次根式化为最简二次根式； ② 观察化简后的被开方数是否完全相同，相同即为同类二次根式。 （二）二次根式加减 1.实质： 二次根式的加减运算，本质是合并同类二次根式，类比整式加减中的合并同类项。 2.运算步骤： （1）化简：将算式中所有二次根式化为最简二次根式； （2）找同类：找出式子中的同类二次根式； （3）合并：把同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变； （4）整理：非同类二次根式不能合并，直接保留。 3.字母表示：a± b=(a±b) (m≥0) IV.去括号+混合运算 （一）二次根式混合运算顺序 1.运算顺序与整式混合运算一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小括号→中括号）。 2.同级运算（只有乘除/只有加减），按照从左到右依次计算。 （二）运算法则与运算律 1.乘法运算 （1）单项式乘多项式： a(+)=a+a （2）多项式乘多项式： (+)(+)=·+·+·+· 2.除法运算：两个二次根式相除，先写成分式形式，再化简， =±（a≥0,b≥0,c>0）。 3.运算律：整式的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在二次根式运算中仍然适用。 （三）乘法公式的应用 整式乘法公式可直接用于二次根式运算，常用公式： 1.平方差公式： (+)(-)=a-b（a≥0,b≥0） 2.完全平方公式： (±)2=a±2+b（a≥0,b≥0） （四）运算结果要求 1.最终结果必须化为最简二次根式； 2.被开方数不含分母，分母不含根号； 3.同类二次根式要合并。 五．强化基础 （一）．选择题 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在实数范围内有意义，得，解得：，故选：A． 2.化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】 ，故选：B． 3．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，本选项等式不成立，不符合题意；B、，本选项等式不成立，不符合题意；C、，本选项等式不成立，不符合题意；D、，本选项等式成立，符合题意．故选：D 4.下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. ，该选项符合题意；B. ，该选项不符合题意；C. ，该选项不符合题意；D. ，该选项不符合题意；故选：A． 5．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，被开方数含分母，故不是最简二次根式；B、，可化为有理数，故不是最简二次根式；C、，被开方数含平方因子4，故不是最简二次根式；D、，无平方因子，故 是最简二次根式．故选：D． 6.当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】，当时，原式．故选：C． 7.当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【解析】∵，∴故选：A． 8．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（  ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【解析】，，，，即S在3和4之 间，故选：C． 9．设a＝，b＝，用含a，b的式子表示，下列正确的是(C) A．0.3ab2 B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b 【答案】C 【解析】＝＝＝0.1××＝0.1××()3＝0.1ab3. 10．如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，∵，设∴， ∴，由题意得：， ∴，∵，∴，故选：A （二）．填空题 11.若为实数，且，则 ． 【答案】 【解析】∵与有意义，∴，解得，∴，∴，故答案为：． 12.已知，化简： ． 【答案】2 【解析】∵，∴，则原式．故答案为：2． 13.若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】3 【解析】∵，且是整数，∴正整数n的最小值是3．故答案为：3 14.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【解析】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，解得：．故答案为：3． 15.已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【解析】∵，∴，∴故答案为：． 16．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简：|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝　 　． 【答案】﹣4b 【解析】从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，所以a﹣b＞0，﹣b＞0，所以|a﹣b|﹣+（）2﹣2＝a﹣b﹣a+（﹣b）﹣2b＝a﹣b﹣a﹣b﹣2b＝﹣4b，故答案为：﹣4b． 17．若y＝+2，则2x+y　 　． 【答案】4或0 【解析】由题意得：1﹣x2≥0，x2﹣1≥0，则x2＝1，解得：x＝±1，∴y＝2，当x＝1，y＝2时，2x+y＝2×1+2＝4，当x＝﹣1，y＝2时，2x+y＝2×（﹣1）+2＝0，故答案为：4或0． 18．若，则= ． 【答案】9． 【解析】有意义，必须，，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴==9．故答案为：9． 19．已知实数a满足|2027﹣a|+＝a，那么a﹣20272+1的值是 　 　． 【答案】2029 【解析】由题意得：a﹣2028≥0，解得：a≥2028，则a﹣2027+＝a，整理得：＝2027，∴a﹣2028＝20272，∴a﹣20272＝2028，∴原式＝2028+1＝2029，故答案为：2029． 20．古希腊的几何学家海伦给出求三角形面积的公式S＝，其中a，b，c为三角形的三边长，p＝.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，那么三角形的面积为__________． 【答案】. 【解析】∵a＝2，b＝3，c＝4，∴p＝＝＝， ∴S＝＝＝. （三）．解答题 21.计算或化简 （1）＋－； （2）＋3xy－x2； （3）（4－10）－（－）. 解：（1）＋－＝3＋6－＝（6－）＋3＝＋3； （2）＋3xy－x2＝·3x＋3xy·－x2·＝x＋xy－x ＝xy； （3）（4－10）－（－）＝4×－10×－＋4＝－2－＋4＝＋2. 22.阅读下列过程，回答问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题： ＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　； 探究：当a≥0时，＝　 　；当a＜0时，＝　 　． （2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简++． 解：（1）＝2，＝0，＝，＝3；当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．故答案为：2，0，，3，a，﹣a； （2）由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣1＜a+b＜0， 故原式＝﹣a+b﹣（a+b）＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a． 23．观察下列等式：回答问题： ①＝1+﹣＝1 ②＝1+﹣＝1 ③＝1+﹣＝1，… （1）根据上面三个等式的信息，猜想＝　 　； （2）请按照上式反映的规律，试写出用n表示的等式； （3）验证你的结果． 解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想＝1，故答案为：1； （2）＝1+﹣． （3）＝＝ ＝＝＝1+﹣． 24，阅读下面计算过程： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． 求：（1）的值． （2）（n为正整数）的值． （3）+++…+的值． 解：（1）＝＝﹣； （2）＝＝﹣； （3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9． 25．对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝－(a>b>0)．如4*3＝－＝－1，试求下列各式的值： (1)13*5. (2)6*5－5×(8*3)． 解：(1)13*5＝－＝－＝. (2)6*5－5×(8*3)＝－－5×(－)＝－1－5×（-） ＝－1－＋＝－1. 26．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长． (2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？ (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值． 解：(1)AC＋CE＝＋. (2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小． (3)如解图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为＋的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12，∴AE＝13，即＋的最小值为13. 六．强化提优 （一）选择题 1．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意：，，解得：，故选：A． 2．已知，化简的结果正确的是（   ） A． B． C．没有意义 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵，∴，故选：． 3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；D、与是同类二次根式，故此选项符合题意．故选：D． 4．下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、，是最简二次根式，符合题意；C、，不是最简二次根式，不符合题意；D、是三次根式，不符合题意；故选B． 5.已知时，则代数式的值（　　） A．1 B．4 C．7 D．3 【答案】C 【解析】∵，∴，即，∴，∴..故答案为：． 6．计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】； 故选C． 7．若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得：，在数轴上表示为：故选：D． 8.小康和小英玩摸卡片游戏:如图,有三张大小,形状,纸质完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片的计算结果都是无理数,则它们的和为(　　) A.4　 B.6　 C.8　 D.10 【答案】A　 【解析】∵(1-)2=4-2,(2+)(2-)=22-()2=4-3=1,÷=4÷2=2,∴卡片A,C的计算结果是无理数,卡片B的计算结果是有理数,∴小康所抽取的两张卡片上的计算结果的和为(1-)2+÷=4-2+2=4.故选A. 9．化简－的结果是( ) A. 2a＋2 B. 4a＋2 C. 4 D. －4 【答案】C 【解析】原式＝－ ＝－＝4. 10．如果＋＝，且0<x<y，那么满足条件的整数对(x，y)有(C) A. 1对　　 B. 2对 C. 3对　　 D. 4对 【答案】C 【解析】∵＝7，且0<x<y，∴，和7是同类二次根式．设＝a，＝b，则＋＝(a＋b)＝7，∴a＋b＝7.∵0<x<y，∴a<b， ∴或或∴满足条件的整数对(x，y)有3对． （二）填空题 11.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由题意，得：，解得：；故答案为： 12.若成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 = ，所以原式即 ，根据绝对值的意义，当且仅当时，该等式成立，解得，即 ．故答案为：． 13．已知﹣1＜a＜0，化简+的结果为_______. 【答案】﹣ 【解析】∵﹣1＜a＜0，∴+＝+＝+＝a﹣﹣（a+）＝﹣． 14．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是________. 【答案】4x+2 【解析】∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2， 15. 若+|2a﹣b+1|=0，则(b﹣a)2026=________ 【答案】1 【解析】∵，∴，解得：，则 (b﹣a)2026=(-3+2)2026=1 16. 已知=10，则x等于__________. 【答案】2 【解析】已知=10，∴x＞0，∴原式可化简为：++3=10， ∴=2，两边平方得：2x=4，∴x=2， 17. 若+=+，=-，则x+y=_______． 【答案】8+2 【解析】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==（）2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=（+）2-2（-）=5+3+2-2+2=8+2.故答案为8+2. 18．计算： ． 【答案】 【解析】，故答案为：． 19．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 【答案】 【解析】由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为，故答案为：． 20．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】，将，，代入上式： ，故答案为：． （三）解答题 21.应用乘法公式计算. （1）（＋2）（－2）； （2）（）2； （3）（＋）（－）； （4）（－）2. 解：（1）（＋2）（－2）＝（）2－（2）2＝6－12＝－6； （2）（）2＝（）2＝＝＝； （3）（＋）（－）＝（）2－（）2＝3a－（2a＋5） ＝a－5； （4）（－）2＝（）2－2··＋（）2＝－2＋＝. 22.已知x为实数且x2+3x+1＝0． （1）求x+的值； （2）求﹣的值． 解：（1）∵x2+3x+1＝0，∴x≠0，∴x+3+＝0，∴x+＝﹣3； （2）﹣＝﹣＝﹣＝|（x﹣1）+|﹣， ∵x+＝﹣3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，＜0， ∴原式＝1﹣x++＝1﹣x+＝＝， ∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1，∴原式＝＝＝5． 23．阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　 　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　 　； （3）若＝6，求a的取值． 解：（1）原式＝|a﹣3|+|a﹣7|，∵3≤a≤7，∴原式＝（a﹣3）+（7﹣a）＝4； 故答案为4； （2）当1≤a≤6时，＝5；故答案为1≤a≤6； （3）原式＝|a+1|+|a﹣3|， 当a＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝2﹣2a＝6，解得a＝﹣2； 当﹣1≤a＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a）＝4，等式不成立； 当a≥3时，原式＝（a+1）+（a﹣3）＝2a﹣2＝6，解得a＝4； 所以，a的值为﹣2或4． 24．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小军的解题过程，解决如下问题， （1）＝　 　； （2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 解：（1）＝＝﹣，故答案为：﹣； （2）∵a＝＝＝+2，∴a﹣2＝，∴（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a+4＝5，∴a2﹣4a＝1，∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3＝a2﹣4a+3＝1+3＝4， ∴a4﹣4a3﹣4a+3的值为4． 25．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　 　； （2）已知两个根分式M＝与N＝． ①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由； ②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值． 解：（1）． （2）①∵，∴，∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4， 解得x＝2，检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，所以原分式方程无解，从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1． ②∵，∴＝＝， ∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，由于当时，x﹣1＜0，舍去，∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）． 26．阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 解：（1）∵，，∴； ∵，∴，又∵，，，，，是中的元素，∴，，分别是5，7，9，∴,∴， （2）证明：由题意得 ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴，∴，∴； （3）证明：设， 设， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $