11.2二次根式的乘除（4知识点+8题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义聚焦二次根式乘除核心知识点，系统梳理乘法法则、除法法则、最简二次根式两大标准及分母有理化方法，构建从运算法则到化简标准再到应用技巧的完整学习支架。 资料以8类题型为载体，每题型含解题步骤与技巧，典例结合变式训练，培养运算能力与推理意识，过关检测覆盖综合应用，助力教师系统授课，学生课后巩固查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

11.2二次根式的乘除 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 二次根式的乘法】 2 【题型2 二次根式的除法】 4 【题型3 二次根式的混合运算】 5 【题型4 分母有理化】 8 【题型5 最简二次根式的判断】 10 【题型6 化为最简二次根式】 12 【题型7 已知最简二次根式求参数】 14 【题型8 复合二次根式的化简】 15 · 1. 掌握二次根式乘法、除法运算法则，理解公式成立的取值条件，能熟练进行根式乘除运算。 · 2. 理解最简二次根式的定义，能准确判断、化简最简二次根式，掌握化简标准流程。 · 3. 熟练掌握分母有理化的多种方法，能够化去分母中的根号，规范根式结果。 · 4. 掌握含参数最简二次根式题型解法，能根据最简条件求参数值。 知识点1. 二次根式乘法法则03 知识•梳理 两个非负数的算术平方根相乘，等于两数乘积的算术平方根。 逆用：，用于拆分根式、化简根式。 知识点2. 二次根式除法法则 算术平方根相除，等于两数商的算术平方根。 逆用：，用于分式根式化简。 知识点3. 最简二次根式的两大标准（必考） 同时满足以下两条，才是最简二次根式： · ① 被开方数不含能开得尽方的因数或因式； · ② 被开方数不含分母（分母无根号、无分数）。 知识点4. 分母有理化核心方法 · 单项分母： · 两项分母（平方差）： 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的乘法】 解题步骤： 1. 确认被开方数非负，满足公式条件； 2. 利用乘法公式合并根号； 3. 分解被开方数，开出平方因数； 4. 整理为最简二次根式。 技巧：先合并、后开方，大数优先分解质因数。 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 【变式1】．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型2 二次根式的除法】 解题技巧： 1. 统一写成“根号内分数”形式； 2. 约分根号内分数，简化数值； 3. 再开方、分母有理化； 4. 结果必须为最简根式。 易错点：除数位置不能为0，被开方数必须非负。 【典例2】．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】．计算：_____________（其中)． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式除法法则计算化简即可． 【详解】． 【变式2】．计算：_____________． 【答案】8 【详解】解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型3 二次根式的混合运算】 运算顺序：括号优先 → 乘除从左到右 → 步步化简。 核心技巧： · 系数与系数运算，根式与根式运算； · 能约分先约分，能开方先开方； · 不保留复杂大根式，全程化简。 【典例3】．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式3】．化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 【题型4 分母有理化】 两类万能模板： · 单根号分母：分子分母同乘分母根式； · 和差型双根号分母：分子分母同乘共轭根式，利用平方差去根号。 原则：最终结果分母绝对不含根号。 【典例4】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式1】．化简：_______． 【答案】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 【变式2】．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）由条件可得：，，可得：，，再利用完全平方公式计算即可． 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）． （2），， ． 【变式3】．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 【题型5 最简二次根式的判断】 秒杀判断法：对照两条标准 · ① 被开方数无平方因数（4、9、16、等）； · ② 被开方数无分数、无分母； · 两条全满足→最简，一条不满足→非最简。 【典例5】．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 【变式1】．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：被开方数为，既不含分母，也不存在能开得尽方的因式，符合条件，是最简二次根式； B：的被开方数含分母，不符合条件，不是最简二次根式； C：，被开方数含分母，不符合条件，不是最简二次根式； D：，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合条件，不是最简二次根式． 【变式2】．在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， 综上，最简二次根式只有个． 【变式3】．在中，是最简二次根式的是___________ 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 【题型6 化为最简二次根式】 标准化简流程： 1. 分解被开方数（质因数/因式分解）； 2. 提取所有平方项开出根号； 3. 处理分母、分数根式； 4. 分母有理化，整理最终形式。 【典例6】．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． 【变式1】．化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 【变式2】．若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式3】．化简：______；_____；_____． 【答案】 5 【分析】对被开方数含分母的二次根式，通过分母有理化化为最简二次根式． 【详解】解：； ； ． 【题型7 已知最简二次根式求参数】 解题思路： 1. 根据“最简根式”定义：被开方数无平方因式、无分母； 2. 列出参数限制条件； 3. 解方程/不等式求出参数，取整数、合理取值。 【典例7】．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 【变式1】．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 【变式2】．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 【变式3】．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 【题型8 复合二次根式的化简】 形如 双层根式化简 技巧：凑完全平方 设 满足：，找到两组数即可化简。【典例8】．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 【变式1】．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式2】．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 【变式3】．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 05 过关•检测 1．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质可得，可得，再根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以，，为边的三角形的形状为直角三角形． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式得到，然后代入求值即可． 【详解】解：． 3．如图，每个小方格的边长为1，的各顶点都在格点上，则边上的高等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设边上的高为h，根据勾股定理得出的长，进而利用等面积法即可求解． 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即边上的高为． 4．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等，正中间那个数叫中心数，在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题目中“横、竖、斜对角三个实数乘积相等”的条件，结合二次根式的乘法运算求解，先求出定值乘积，再列方程计算即可． 【详解】解：∵横、竖、斜对角的个实数乘积相等，第一行三个数已知， ∴先计算相等的乘积为， ∵第一列三个数的乘积也等于， ∴， 解得． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 6．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 7．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 8．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并 ∴二者是同类二次根式，被开方数相等 列方程得 移项得 化简得 解得 当时， 和是最简二次根式，符合题意． 9．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点，连接，， 根据对称性可得， 当点P运动至与点重合时，的值最小， 即． ， ， ． ， ． 在中，， 的最小值为． 10．如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 【答案】A 【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于个棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线， 展开后由勾股定理得：， ∴，即有：（负值舍去）． 11．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的______段．（填序号） 【答案】① 【分析】先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的①段． 12．计算：______． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘法法则进行计算，先将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：． 13．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】已知三角形三边长度，直接将数值代入公式，依据实数的运算法则计算即可求解． 【详解】解： 将代入上式： ． 14．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 15．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 2 90 【分析】根据题意，先明确记号中各部分的定义，第一个数为所求无理数的整数部分，再仿照题目给出的的变形过程归纳规律，计算得到结果． 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ； 因此，故； 对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 16．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知、为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 19．如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，风车的每片叶片上标有一个实数． (1)若，求这四个实数的和； (2)若相对的两个叶片上实数的积相等，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，解得． 20．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 21．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 22．阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据平方差公式作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分母的有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式． 23．根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 长方形就是矩形，它的四个角都是；两组对边平行且相等． 素材二 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的帕特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理数的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作 步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 (1)任务一：化简： (2)任务二：请说明矩形是黄金矩形的理由； (3)任务三：如图5，若，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据分母有理化，分子分母分别乘即可化简； （2）设，根据翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； （3）首先由黄金矩形的性质得到，然后求出，设点到线段的距离为，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3）解：设点到线段的距离为， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴即：， 解得：. 24．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0，大，1 (3)4 【分析】本题考查二次根式的有理化，能够将分母有理化的知识进行迁移是解题的关键． （1）由题目信息，进行分子有理化即可比较大小； （2）根据二次根式的定义可得，再根据题目信息进行分子有理化，即可求解； （3）根据分子有理化即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， ， 即； （2）解：， ∴且， 即， ， 由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小， 则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1； （3）解：由题可得， ， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2二次根式的乘除 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 二次根式的乘法】 2 【题型2 二次根式的除法】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 3 【题型4 分母有理化】 4 【题型5 最简二次根式的判断】 5 【题型6 化为最简二次根式】 5 【题型7 已知最简二次根式求参数】 6 【题型8 复合二次根式的化简】 6 · 1. 掌握二次根式乘法、除法运算法则，理解公式成立的取值条件，能熟练进行根式乘除运算。 · 2. 理解最简二次根式的定义，能准确判断、化简最简二次根式，掌握化简标准流程。 · 3. 熟练掌握分母有理化的多种方法，能够化去分母中的根号，规范根式结果。 · 4. 掌握含参数最简二次根式题型解法，能根据最简条件求参数值。 知识点1. 二次根式乘法法则03 知识•梳理 两个非负数的算术平方根相乘，等于两数乘积的算术平方根。 逆用：，用于拆分根式、化简根式。 知识点2. 二次根式除法法则 算术平方根相除，等于两数商的算术平方根。 逆用：，用于分式根式化简。 知识点3. 最简二次根式的两大标准（必考） 同时满足以下两条，才是最简二次根式： · ① 被开方数不含能开得尽方的因数或因式； · ② 被开方数不含分母（分母无根号、无分数）。 知识点4. 分母有理化核心方法 · 单项分母： · 两项分母（平方差）： 04 题型•汇总 【题型1 二次根式的乘法】 解题步骤： 1. 确认被开方数非负，满足公式条件； 2. 利用乘法公式合并根号； 3. 分解被开方数，开出平方因数； 4. 整理为最简二次根式。 技巧：先合并、后开方，大数优先分解质因数。 【典例1】．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．化简： (1)； (2)． 【题型2 二次根式的除法】 解题技巧： 1. 统一写成“根号内分数”形式； 2. 约分根号内分数，简化数值； 3. 再开方、分母有理化； 4. 结果必须为最简根式。 易错点：除数位置不能为0，被开方数必须非负。 【典例2】．计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】．计算：_____________（其中)． 【变式2】．计算：_____________． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【题型3 二次根式的混合运算】 运算顺序：括号优先 → 乘除从左到右 → 步步化简。 核心技巧： · 系数与系数运算，根式与根式运算； · 能约分先约分，能开方先开方； · 不保留复杂大根式，全程化简。 【典例3】．计算：． 【变式1】．计算：． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式3】．化简： 【题型4 分母有理化】 两类万能模板： · 单根号分母：分子分母同乘分母根式； · 和差型双根号分母：分子分母同乘共轭根式，利用平方差去根号。 原则：最终结果分母绝对不含根号。 【典例4】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．化简：_______． 【变式2】．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：； (2)已知，，求的值． 【变式3】．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)①分母有理化：_____；②化简“理想二次根式”：_____． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【题型5 最简二次根式的判断】 秒杀判断法：对照两条标准 · ① 被开方数无平方因数（4、9、16、等）； · ② 被开方数无分数、无分母； · 两条全满足→最简，一条不满足→非最简。 【典例5】．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【变式3】．在中，是最简二次根式的是___________ 【题型6 化为最简二次根式】 标准化简流程： 1. 分解被开方数（质因数/因式分解）； 2. 提取所有平方项开出根号； 3. 处理分母、分数根式； 4. 分母有理化，整理最终形式。 【典例6】．已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式1】．化简：化成最简二次根式为______． 【变式2】．若，把化简成最简二次根式为______． 【变式3】．化简：______；_____；_____． 【题型7 已知最简二次根式求参数】 解题思路： 1. 根据“最简根式”定义：被开方数无平方因式、无分母； 2. 列出参数限制条件； 3. 解方程/不等式求出参数，取整数、合理取值。 【典例7】．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【变式3】．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【题型8 复合二次根式的化简】 形如 双层根式化简 技巧：凑完全平方 设 满足：，找到两组数即可化简。 【典例8】．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【变式1】．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【变式2】．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【变式3】．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 05 过关•检测 1．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，每个小方格的边长为1，的各顶点都在格点上，则边上的高等于（       ） A． B． C． D． 4．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之积均相等，正中间那个数叫中心数，在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中M代表的实数为（    ） 2 1 6 M 3 A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 8．若最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A．12 B．34 C．2 D．5 9．如图，在中，，点D在上，且，P是上的动点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，有一棱长为3的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条捆绑线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ） A． B．15 C．9 D． 11．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的______段．（填序号） 12．计算：______． 13．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．若，则的值为___________． 14．计算：______． 15．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 16．已知，则的值为_________． 17．计算： (1)； (2)． 18．已知、为实数，且，求的值． 19．如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，风车的每片叶片上标有一个实数． (1)若，求这四个实数的和； (2)若相对的两个叶片上实数的积相等，求a的值． 20．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 21．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 22．阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了．例如： ． (1)请你写出分母的有理化因式：______； (2)请仿照上面给出的方法化简． 23．根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 长方形就是矩形，它的四个角都是；两组对边平行且相等． 素材二 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感． 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的帕特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时．常遇到这种分母含有无理数的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 操作 步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 (1)任务一：化简： (2)任务二：请说明矩形是黄金矩形的理由； (3)任务三：如图5，若，连接，求点到线段的距离． 24．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $