11.3二次根式的加减（3知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

本讲义聚焦“二次根式的加减”核心知识点，系统梳理同类二次根式的定义与识别方法，二次根式加减运算的“先化简再合并”法则，以及混合运算中“先乘方再乘除最后加减”的顺序，搭建起连接二次根式化简与复杂代数运算的学习支架。 资料以“3知识点+7题型+过关检测”为框架，通过典例与变式分层呈现，如“同类二次根式参数题”强调化简后对比被开方数，“条件式化简求值”突出整体代入法，培养学生运算能力与推理意识。应用题型结合几何图形面积、勾股定理等实际问题，提升几何直观与应用意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生自查自纠，夯实基础。

11.3二次根式的加减 （3知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同类二次根式】 1 【题型2 二次根式的加减运算】 3 【题型3 二次根式的混合运算】 4 【题型4 已知字母的值，化简求值】 7 【题型5 已知条件式，化简求值】 9 【题型6 比较二次根式的大小】 11 【题型7 二次根式的应用】 13 · 1. 理解同类二次根式的定义，能快速识别同类二次根式。 · 2. 掌握二次根式加减运算法则，会合并同类二次根式。 · 3. 熟练掌握二次根式加减乘除混合运算，能运用运算律、乘法公式简化运算。 · 4. 掌握根式化简求值两大类题型：直接代值、条件式整体代值。 03 知识•梳理 1. 同类二次根式定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式。 关键点：必须先化简，再判断，原始形式不同不代表不是同类根式。 2. 二次根式加减法则 先化简、再合并：只合并同类二次根式，系数相加减，根式部分不变。 非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 3. 混合运算规则 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号；可使用平方差、完全平方公式简便运算。 04 题型•汇总 【题型1 同类二次根式】 判断步骤： 1. 全部化为最简二次根式； 2. 对比被开方数，相同即为同类； 3. 同类根式可合并，不同类不可合并。 参数题技巧：若已知两个根式为同类根式，令化简后被开方数相等求解参数。 【典例1】．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 【变式1】．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 【变式2】．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 【变式3】．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 【题型2 二次根式的加减运算】 判断步骤： 2. 全部化为最简二次根式； 3. 对比被开方数，相同即为同类； 4. 同类根式可合并，不同类不可合并。 参数题技巧：若已知两个根式为同类根式，令化简后被开方数相等求解参数。 【典例2】．计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】．计算： 【答案】 0 【详解】解： 【变式2】．计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解：． ． 【题型3 二次根式的混合运算】 高分技巧： · 优先使用乘法公式：平方差、完全平方； · 能约分先约分，能化简先化简； · 加减最后算，杜绝提前合并非同类根式。 【典例3】．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘除，再计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式1】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和加法即可得； （2）先化简二次根式、计算零次幂、用完全平方公式计算乘方，再计算加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 已知字母的值，化简求值】 原则：先化简，后代入 1. 先对原式整体化简、去括号、合并同类根式； 2. 再代入字母数值； 3. 最后计算最简结果。 禁忌：严禁不化简直接硬代数值计算。 【典例4】．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 【变式1】．已知，，则代数式的值等于______． 【答案】4 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式因式分解，再计算的值，整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2】．已知，，求代数式的值． 【答案】 22 【分析】根据已知求出，再将代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式3】．先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，利用因式分解和约分进行化简，最后将给定的y值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 【题型5 已知条件式，化简求值】 核心方法：整体代入法 · 观察已知条件，求出 整体值； · 将所求式子变形为含整体的形式； · 整体代值，无需单独求未知数。 【典例5】．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 【变式1】．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 【变式2】．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)4，1 (2)98 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 【变式3】．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型6 比较二次根式的大小】 四种必考方法： · ① 被开方数比较法：正数根式，被开方数越大，值越大； · ② 平方比较法：两个正数同时平方，比较平方结果； · ③ 作差法：差值>0则大，差值<0则小； · ④ 分子有理化：适合“根式相减”形式比较大小。 【典例6】．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 【变式1】．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 【变式2】．比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【变式3】．比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 【题型7 二次根式的应用】 常见场景：几何边长、正方形/长方形面积、勾股定理求值、实际测量问题。 解题步骤： 1. 根据几何公式列根式算式； 2. 规范进行根式化简、运算； 3. 结果保留最简二次根式，符合实际意义。 【典例7】．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 【变式1】．如果等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形底边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形三边关系确定等腰三角形的三边长，再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理计算底边上的高即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若腰长为2，底边长为5， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴该情况不成立； ②若腰长为5，底边长为2， ∵，满足三角形三边关系， ∴三角形三边长为5，5，2； ∵等腰三角形底边上的高平分底边， ∴底边一半的长度为， 设底边上的高为，由勾股定理得： ， 整理得 ， ∴（负值舍去）． 【变式2】．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【答案】27 【分析】设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 【变式3】．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)①；；②；； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 05 过关•检测 1．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可． 【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并； B选项：是整数，不含，不能与合并； C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并； D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D错误． 3．已知，则运算符号“”是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键．先化简，再将选项中的运算符号依次代入计算，判断等式是否成立，进而确定运算符号“”． 【详解】解：先化简，依次代入计算： 选项：； 选项：； 选项：； 选项：，符合等式要求， 运算符号“”是， 故选：． 4．估计的值应在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先将原式化简得到，估算出的范围，再估算出的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 的值在和之间． 5．已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（    ）    A． B． C． D．48 【答案】C 【分析】根据图1得出，，然后问题可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， 由图1可知：最小正方形的边长、平行四边形较小边长、最小等腰直角三角形的腰长都为，最大等腰直角三角形的腰长为，较大等腰直角三角形的腰长为2， ∴由图2可知：，， ∴马形图边框长方形的面积为． 6．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 7．若，则与的值不可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据二次根式运算法则，将各选项代入计算即可． 【详解】解：A、当，时，，故该选项符合题意； B、当，时，，故该选项不符合题意； C、当，时，，故该选项不符合题意； D、当，时，，故该选项不符合题意． 8．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 9．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 10．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查海伦-秦九韶公式的应用与二次根式的化简，先根据周长求出第三边长度，再计算半周长p，最后代入面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵三角形周长为，已知两边长为5和6， ∴第三边长为， ∴， ∴． 11．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 12．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 【答案】② 【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段数即可． 【详解】解：由条件可得， ∵， ∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段． 13．如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 【答案】 【分析】先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为． 14．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 15．若，则代数式的值是_______． 【答案】2026 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式配方，再代入已知条件计算，简化运算过程． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式． 16．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 17．比较大小：________． 【答案】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 18．已知三角形的一条边和这条边上的高，便可求出三角形的面积．然而在实际测量中，一边上的高很难直接测得，通常更容易测量出三角形的三条边长．在古希腊的几何学家海伦（，约1世纪），在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式①，其中．我们把公式①称为海伦公式．某园艺师测量出一个三角形花坛三条边的长度，，，请利用海伦公式求出该三角形花坛的面积是________． 【答案】84 【分析】利用题干给出的海伦公式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 则该三角形花坛的面积是：． 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先利用二次根式的乘法运算和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．已知，，求的值． 【答案】 【分析】可先求出与的值，再利用完全平方公式将变形为，代入数值计算即可． 【详解】解：，， ，， ． 21．如图，某乡村打造矩形农耕生态园，生态园整体是一个长为，宽为的矩形，在园区内部规划两块功能区，左边规划一个边长为的正方形苗木培育区域，右边规划一条长为，宽为的绿植隔离带． (1)现计划在该矩形农耕生态园一周修建篱笆，求修建篱笆的长度； (2)若除去两块功能区外，剩下的部分种植水稻，求种植水稻的面积． 【答案】(1)修建篱笆的长度为 (2)种植水稻的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质求出篱笆的长度即可； （2）先分别求出生态园整体面积、正方形苗木培育区域的面积、绿植隔离带的面积，进而即可计算种植水稻的面积． 【详解】（1）解：如下图： 由题意得，四边形为矩形， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，， ∵四边形为正方形，且边长为， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，且，， ∴， ∴． 22．问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）将每个式子的分母有理化后，根据规律进行运算即可； （3）先进行分母有理化，再仿照题干的解法进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的值为49． 23．阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得______； (2)已知，则______； (3)利用上面所提供的解法，请化简； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题干①作答即可； （2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ∴； （3）解： ． 24．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，结合已知条件可得，进而得到，，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ， ， ， ， ， ； 仿照小丽的做法： ， 当时，原式； （2）， ， ， ， ， ，， ． 25．下面是张老师给出的例题及解答过程．已知a，b是有理数，并且满足：，求a，b的值． 解：∵，∴， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得，，将代入，解得，∴a的值为，b的值为10． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数a，b满足，求a，b的值； (2)已知有理数a，b满足，求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查实数的运算，平方根，二元一次方程组的解法，解题时注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．（1）根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，列出方程或方程组即可求出，的值；（2）先列出方程组求出，的值，再代入求出代数式的值，进一步求出代数式的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， 整理得 ， ∵，是有理数 ， ∴ ，， 解得 ， ∴，； （2）解：∵ 整理得 ∵，是有理数 ， ∴ 解得， 将 代入得 ∴的平方根为． 26．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3二次根式的加减 （3知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同类二次根式】 1 【题型2 二次根式的加减运算】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 2 【题型4 已知字母的值，化简求值】 3 【题型5 已知条件式，化简求值】 3 【题型6 比较二次根式的大小】 4 【题型7 二次根式的应用】 5 · 1. 理解同类二次根式的定义，能快速识别同类二次根式。 · 2. 掌握二次根式加减运算法则，会合并同类二次根式。 · 3. 熟练掌握二次根式加减乘除混合运算，能运用运算律、乘法公式简化运算。 · 4. 掌握根式化简求值两大类题型：直接代值、条件式整体代值。 03 知识•梳理 1. 同类二次根式定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式。 关键点：必须先化简，再判断，原始形式不同不代表不是同类根式。 2. 二次根式加减法则 先化简、再合并：只合并同类二次根式，系数相加减，根式部分不变。 非同类二次根式不能合并，直接保留原式。 3. 混合运算规则 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号；可使用平方差、完全平方公式简便运算。 04 题型•汇总 【题型1 同类二次根式】 判断步骤： 1. 全部化为最简二次根式； 2. 对比被开方数，相同即为同类； 3. 同类根式可合并，不同类不可合并。 参数题技巧：若已知两个根式为同类根式，令化简后被开方数相等求解参数。 【典例1】．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式2】．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【变式3】．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【题型2 二次根式的加减运算】 判断步骤： 2. 全部化为最简二次根式； 3. 对比被开方数，相同即为同类； 4. 同类根式可合并，不同类不可合并。 参数题技巧：若已知两个根式为同类根式，令化简后被开方数相等求解参数。 【典例2】．计算：． 【变式1】．计算： 【变式2】．计算： 【变式3】．计算：． 【题型3 二次根式的混合运算】 高分技巧： · 优先使用乘法公式：平方差、完全平方； · 能约分先约分，能化简先化简； · 加减最后算，杜绝提前合并非同类根式。 【典例3】．计算： (1)； (2)； 【变式1】．计算： (1)； (2) 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1) (2) 【题型4 已知字母的值，化简求值】 原则：先化简，后代入 1. 先对原式整体化简、去括号、合并同类根式； 2. 再代入字母数值； 3. 最后计算最简结果。 禁忌：严禁不化简直接硬代数值计算。 【典例4】．已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【变式1】．已知，，则代数式的值等于______． 【变式2】．已知，，求代数式的值． 【变式3】．先化简．再求值：，其中． 【题型5 已知条件式，化简求值】 核心方法：整体代入法 · 观察已知条件，求出 整体值； · 将所求式子变形为含整体的形式； · 整体代值，无需单独求未知数。 【典例5】．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【变式1】．已知，，则式子的值为_________． 【变式2】．已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【变式3】．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【题型6 比较二次根式的大小】 四种必考方法： · ① 被开方数比较法：正数根式，被开方数越大，值越大； · ② 平方比较法：两个正数同时平方，比较平方结果； · ③ 作差法：差值>0则大，差值<0则小； · ④ 分子有理化：适合“根式相减”形式比较大小。 【典例6】．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式1】．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．比较大小：________． 【变式3】．比较大小：_______，_______2，_______． 【题型7 二次根式的应用】 常见场景：几何边长、正方形/长方形面积、勾股定理求值、实际测量问题。 解题步骤： 1. 根据几何公式列根式算式； 2. 规范进行根式化简、运算； 3. 结果保留最简二次根式，符合实际意义。 【典例7】．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【变式1】．如果等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形底边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【变式3】．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 05 过关•检测 1．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则运算符号“”是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（    ）    A． B． C． D．48 6．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 7．若，则与的值不可能是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．若一个三角形的周长为16，其中两边长分别为5和6，则该三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D．15 11．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 12．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的________段． 13．如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 14．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 15．若，则代数式的值是_______． 16．如果，那么的值是_________． 17．比较大小：________． 18．已知三角形的一条边和这条边上的高，便可求出三角形的面积．然而在实际测量中，一边上的高很难直接测得，通常更容易测量出三角形的三条边长．在古希腊的几何学家海伦（，约1世纪），在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式①，其中．我们把公式①称为海伦公式．某园艺师测量出一个三角形花坛三条边的长度，，，请利用海伦公式求出该三角形花坛的面积是________． 19．计算： (1)． (2)． 20．已知，，求的值． 21．如图，某乡村打造矩形农耕生态园，生态园整体是一个长为，宽为的矩形，在园区内部规划两块功能区，左边规划一个边长为的正方形苗木培育区域，右边规划一条长为，宽为的绿植隔离带． (1)现计划在该矩形农耕生态园一周修建篱笆，求修建篱笆的长度； (2)若除去两块功能区外，剩下的部分种植水稻，求种植水稻的面积． 22．问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 23．阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得______； (2)已知，则______； (3)利用上面所提供的解法，请化简； 24．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是：， ， ， ． ， ． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是：， 当时，原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”解题“已知，求的值”； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 25．下面是张老师给出的例题及解答过程．已知a，b是有理数，并且满足：，求a，b的值． 解：∵，∴， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得，，将代入，解得，∴a的值为，b的值为10． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数a，b满足，求a，b的值； (2)已知有理数a，b满足，求的平方根． 26．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $