精品解析：2026年湖南省怀化市九县十校联考九年级第三次阶段考试数学试题

2026年上学期新课标·新中考调研 九年级 数学 满分：120分 考试用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式、多项式乘多项式以及积的乘方计算结果． 【详解】解：A、无法进行化简计算，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查了单项式乘单多项式、多项式乘多项式以及积的乘方，其中对运算法则的熟练运用是解题的关键． 2. 东安湖体育公园是成都大运会的主要举办场所之一．它位于成都市龙泉驿区车城大道旁，总建筑面积约32万平方米，占地5000亩．作为第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，东安湖体育公园也是2023年第18届亚洲杯球赛成都赛区的主场馆．则32万用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学计数法表示为，其中，的值为整数位数少1，进行作答即可． 【详解】解：32万即大于1，用科学计数法表示为，其中，， ∴32万用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列说法中： ①0的相反数是0；②(﹣1)2＝2；③4的平方根是2；④是无理数；⑤(﹣2x)3•x＝﹣8x4．正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义，平方及平方根，无理数定义、以及积的乘方的计算进行分析，即可求解． 【详解】①0的相反数是0；故本小题正确； ②；故本小题错误； ③4的平方根是2；故本小题错误 ④是无限循环小数，是有理数，故本小题错误； ⑤，故本小题正确； 综上所述，正确的有①⑤，共2个． 故选B． 【点睛】本题考查相反数、平方根和积的乘方，解题关键是掌握相反数、平方根和积的乘方的计算. 4. 2025年9月3日，“打击范围覆盖全球”的东风-5C液体洲际战略核导弹亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风-5C洲际导弹的照片及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：东风-5C洲际导弹的俯视图为． 5. 下列说法正确的个数有（ ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②等弧所对的圆心角相等；③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④的角所对的弦是直径． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，注意垂径定理的条件和圆周角定理的应用． 根据圆的性质，垂径定理和圆心角、弧、弦的关系判断每个说法的正确性． 【详解】解：① ∵ 当弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧，∴ 说法错误； ② ∵ 等弧所对的圆心角相等，∴ 说法正确； ③ ∵ 在等圆中，弧相等则圆心角相等，所对的弦也相等，∴ 说法正确； ④ ∵ 只有的圆周角所对的弦是直径，但这里未指定角类型，∴ 说法错误． ∴ 正确的有2个． 故选：B． 6. 如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，通过互余关系证明，进而证得，利用相似比求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，． 7. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 8. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 9. 如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．对称轴为直线．则下列结论：①；②；③当时，关于的方程无实根；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识点，熟练掌握二次函数的系数与图象的关系、韦达定理的应用是解题的关键． 判断①：根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置，判断、、的符号，进而判断的符号． 判断②：利用对称轴得到，再结合得到点，将其代入抛物线方程化简． 判断③当时，方程无实根：先求出抛物线顶点纵坐标，判断与顶点纵坐标的关系，进而判断即可． 判断④：将和点代入抛物线方程化简． 判断⑤：利用韦达定理，，再结合韦达定理进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①正确． ∵，， ∴； ∵在抛物线上， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，故②错误． ∵顶点纵坐标为，， ∴； ∵， ∴； 当时，可能小于顶点的纵坐标，此时关于的方程有实根，故③错误． ∵，， ∴，故④正确． ∵，， ∴； ∵， ∴，故⑤正确． 综上，①④⑤正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形内角和外角，是解题关键． 先求出正五边形每个内角的度数，再求出未知正多边形外角度数，最后用外角和除以一个外角的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角为：， ∴， ∴正五边形的个数是． 故答案为：10． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率稳定在左右，得到概率为，进而得到黑色部分的总面积比上正方形的面积为，进行求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴黑色部分的总面积． 13. 若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为________． 【答案】1或0 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解，且m为整数， ∴是2的正因数，即或，解得或． 当时，，代入原方程，分母，，符合题意； 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 故整数m为0或1． 故答案为：0或1． 14. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，先根据平行四边形性质确定点B坐标，进而得出中点N坐标，设出点M坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（O为坐标原点）， ∴，， ∵N为中点，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】可表示为，由根与系数的关系即可求得结果． 【详解】根据根与系数的关系得：， ∴= 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是把用两根和与两根的积的代数式表示出来． 16. 如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，切线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理的应用．连接、，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到，根据一次函数解析式求出点、点的坐标，再根据垂线段最短计算，即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的切线，的圆心为，半径为1， ∴，，， ∴， 当最小时，最小， 当时，最小， 直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：， 故答案为：． 17. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的规律问题．由得到，进而找出规律，可知，，求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可得，，，…， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8道题，共计66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】解：原式 20. 先化简，再求值：，其中x =. 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再代入即可求解. 【详解】解：原式= = = 把 x = 代入上述代数式 原式= 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及二次根式的性质. 21. 2025年，学府中学举办了“山海连城，幸福行走”的活动．活动后，曾老师统计了部分同学选择的行走路线，并绘制了以下条形统计图和扇形统计图．根据给出的信息回答问题．（其它路段统一为一个选择） （1）由图可知：曾老师一共统计了__________名同学，第十二段对应的圆心角度数为__________；补全条形统计图． （2）若全校一共有2500名同学，请你估算选择第八段路线的同学的数量． （3）假设被抽选的同学选择每一个路段的概率相同，从所有同学中随机抽选2个同学，一个选择第八段路线，一个选择第十一段路线的概率是__________．请你用树状图或表格的形式表示． 【答案】（1）50， （2）500名 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率，从统计图中有效地获取信息是解题的关键： （1）用第十一段的学生数除以所占的比例求出调查的总人数，用360度乘以第十二段的学生数所占的比例，求出圆心角的度数，求出第八段的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估算总体的思想进行求解即可； （3）用A，B，C，D分别表示第八段，第十一段，第十二段和其它路段，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； ； 第八段的学生数为：，补全条形图如图： 故答案为：50， 【小问2详解】 解：（名）； 答：估计有500名同学选择第八路段； 【小问3详解】 解：用A，B，C，D分别表示第八段，第十一段，第十二段和其它路段，画出树状图如下： 共有种等可能的结果，其中满足题意的有种等可能的结果， 故． 22. 如图，在中，，，点D，E在边上，且，过点B作的垂线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，发现或构造相似三角形是解此题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质得出，即可得证； （2）过点C作于点H，则．求出，．设，则，．由勾股定理求出，，，再由平行线得到相似三角形，利用其性质列出等式并进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：，． ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点C作于点H， ， 则． ， ，． 设，则，． ， ， 解得， ，，， ，， ∴， ∴ ∴， ∴． 23. 开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． （1）用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ （2）若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【答案】（1） 机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元 （2） 共有3种进货方案，分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件 【解析】 【分析】（1）设机绣挂件每件进价为元，根据“用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进手工挂件件，根据“总费用不超过500元，手工挂件至少购进10件”列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：设机绣挂件每件进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元； 【小问2详解】 解：设购进手工挂件件， 根据题意，得， 解得， 整数为10或11或12， 共有3种进货方案， 分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件. 24. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点式，代值列方程求解即可； （2）先求出，得到，再求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得 二次函数的解析式为，即； （2）直线与坐标轴交于两点， ∴令，得，令，则， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ； 直线是心形叶片的对称轴，且点是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 对于为，当时，为， 解得或， ， ， ， ； （3）把代入得 ， 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，把代入解得， ， 设M点坐标为，则， ， ∴当时，的最大值为． 25. 如果函数与x轴的一个交点，满足（m，n为整数），则称该函数是分布函数，为该函数的一个分布根．例如，函数与x轴的交点坐标为，所以函数是分布函数，是它的分布根． （1）判断下列说法是否正确： ①函数是分布函数；（ ） ②函数都不是分布函数；（ ） ③有一个分布根．（ ） （2）已知一次函数与两坐标轴所围三角形的面积为1，且为分布函数，求t的取值范围； （3）若二次函数（a，b是常数，）是分布函数，为其分布根，另一个根满足：，令，试求s的取值范围． 【答案】（1）√；√；× （2）时，时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给新定义逐一判断即可； （2）先求出一次函数与两坐标轴交点，根据新定义可知，根据“三角形的面积为1”可知，即，分情况求解即可； （3）根据根与系数的关系得到同号，根据新定义可知，距离为2，可知，即，代入得到，设，可知当时，随增大而减小，即在时，，进而求出，将，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∵， ∴函数是分布函数，原说法正确； ②∵反比例函数与x轴没有交点， ∴函数都不是分布函数，原说法正确； ③当时，解得：，均不在所给范围内，原说法错误； 【小问2详解】 解：当时，解得， 当时，， 一次函数与两坐标轴交点分别为， 由题意知， 一次函数与两坐标轴所围三角形 当时， 当时， 综上，时，时 【小问3详解】 解：， ， ∴同号， ∵为其分布根， ∴， ∵， ∴距离为2， 可知， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 设， 这是开口向上、对称轴为直线的二次函数， ∴当时，随增大而减小 当时，，当时，， 即在时，， ∴，且， 解得， ，开口向上，对称轴是， ∴当时有最小值， 即． 26. 【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或 【解析】 【分析】（1）根据对称得到垂直平分；得到，证出；得到，根据菱形性质得到，根据；得到；求出；即可证出结论． （2）结合（1）得到四点共圆，得到；结合菱形性质；证出，得到，得到；即可证出结论； （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理求出；②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理，再证出，求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵点关于直线对称； ∴垂直平分； ∴； 又∵； ∴； ∴； ∵四边形为菱形； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴ （2）证明：∵； 由（1）得：； ∴； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角； ∴； ∵在四边形中， ，且； ∴； ∵四边形为菱形； ∴，； ∴，； ∴； 又∵； ∴； ∴，即； ∵，； ∴； ∴； ∴ （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点； ∵； ∴； ∴，； ∴； ∴在中，； 由（2）得：，即； ∴； ②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示： ∵； ∴，； ∴； ∴在中，； 同（1）可证：，且和都是同侧所对； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角； ∴，； ∴； ∴； ∴，即； ∴； 综上所得，当在直线上运动，时，或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握四点共圆及相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期新课标·新中考调研 九年级 数学 满分：120分 考试用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 东安湖体育公园是成都大运会的主要举办场所之一．它位于成都市龙泉驿区车城大道旁，总建筑面积约32万平方米，占地5000亩．作为第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，东安湖体育公园也是2023年第18届亚洲杯球赛成都赛区的主场馆．则32万用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 3. 下列说法中： ①0的相反数是0；②(﹣1)2＝2；③4的平方根是2；④是无理数；⑤(﹣2x)3•x＝﹣8x4．正确的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 2025年9月3日，“打击范围覆盖全球”的东风-5C液体洲际战略核导弹亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式．如图为东风-5C洲际导弹的照片及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的个数有（ ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②等弧所对的圆心角相等；③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④的角所对的弦是直径． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在菱形中，与相交于点O，，垂足为点M，交于点N，若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 8. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 9. 如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．对称轴为直线．则下列结论：①；②；③当时，关于的方程无实根；④；⑤．其中正确的结论有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 13. 若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为________． 14. 如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________． 16. 如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为_________． 17. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 三、解答题（共8道题，共计66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中x =. 21. 2025年，学府中学举办了“山海连城，幸福行走”的活动．活动后，曾老师统计了部分同学选择的行走路线，并绘制了以下条形统计图和扇形统计图．根据给出的信息回答问题．（其它路段统一为一个选择） （1）由图可知：曾老师一共统计了__________名同学，第十二段对应的圆心角度数为__________；补全条形统计图． （2）若全校一共有2500名同学，请你估算选择第八段路线的同学的数量． （3）假设被抽选的同学选择每一个路段的概率相同，从所有同学中随机抽选2个同学，一个选择第八段路线，一个选择第十一段路线的概率是__________．请你用树状图或表格的形式表示． 22. 如图，在中，，，点D，E在边上，且，过点B作的垂线，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 23. 开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． （1）用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ （2）若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 24. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 25. 如果函数与x轴的一个交点，满足（m，n为整数），则称该函数是分布函数，为该函数的一个分布根．例如，函数与x轴的交点坐标为，所以函数是分布函数，是它的分布根． （1）判断下列说法是否正确： ①函数是分布函数；（ ） ②函数都不是分布函数；（ ） ③有一个分布根．（ ） （2）已知一次函数与两坐标轴所围三角形的面积为1，且为分布函数，求t的取值范围； （3）若二次函数（a，b是常数，）是分布函数，为其分布根，另一个根满足：，令，试求s的取值范围． 26. 【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $