精品解析：天津市宝坻区第一中学2026届高三考前自测数学试题

宝坻一中高三年级第三次模拟试卷 数学（天津卷） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么 ·锥柱的体积公式： 其中S为底面面积，为高 ·锥体的体积公式： 其中S为底面面积，为高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合与的并集，再计算该并集在全集中的补集即可． 【详解】，则． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 3. 下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 4. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， 所以 6. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 7. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出的值，再逐一验证各选项的正误． 【详解】对于A，，由的最小正周期为得， 则，故A错误； 对于B，由，将函数图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，关于y轴对称，故B正确； 对于C， ， 则不关于点对称，故C错误； 对于D，当时，，则，即， 故的最大值为，故D错误． 8. 如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为，，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接将底面拆分为两个直角三角形计算面积，根据确定点在底面的投影为的中点，由线面垂直判定定理证明为四棱锥的高，计算长度后代入四棱锥体积公式求解即可. 【详解】连接，取的中点为O，连接 . ∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 底面的面积 . ∵ 在中，， ∴ . ∵ ，为中点， ∴ . 又∵ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴ ， 同理可得. ∵ ，⊂平面， ∴ 平面，即为四棱锥的高. ∵ 在中，， ∴ 四棱锥的体积 . 故选C. 9. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列方程求出A，B两点坐标，再由两点距离公式求解. 【详解】抛物线 的焦点为 ，所以，所以， 则抛物线方程为 ，准线 ，准线与 轴交点 ， 设 ，，由抛物线定义： （ 为 到准线的垂足，故 ） 、、 共线，故三点斜率相等： 又 共线，故 ，即 由 ，，解得： 对应 ，， 即 ，， , ， 因此. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2.本卷共11题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，其中双空题，答对一个得3分． 10. 已知是虚数单位，复数 ______． 【答案】 【解析】 【详解】 11. 在的展开式中，常数项为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先写出二项式展开的通项公式，令的指数为0求出参数的取值，再代入通项计算得到常数项． 【详解】二项式的展开式通项为：， 令的指数为，解得， 将代入通项，计算得常数项为：． 12. 双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题可知，所以， 又，所以，所以双曲线方程为， 设双曲线的右顶点为，则，双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线都具有对称性，不妨取直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 又，所以，即以为直径的圆半径为，圆心为， 则到直线的距离为，所以. 13. 2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】发送0，则依次收到0，0，1的概率为， 发送1，则译码为1的概率为 14. 在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设点的参数坐标，由平行关系推导其余点坐标，再通过向量运算求解模长和数量积的最小值． 【详解】以为原点，所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 的斜率， 由得方程为， 所在直线为，代入得，即， 所以， 所以 ， ，则， 所以当时，最小值为． 15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意可知函数在区间内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解． 【详解】由题意，函数与函数在区间内恰有3个零点， 设， 即函数在区间内恰有3个零点， 当时，函数在区间内最多有2个零点，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， ， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 当，即时，函数在区间上无零点， 所以函数在上有三个零点，不符合题意； 当，即时，函数在区间上只有一个零点， 则当时，， 令，解得或，符合题意； 当，即时，函数在区间上有1个零点， 则函数在上有2个零点， 则，即，所以； 当，即时，函数在区间上有2个零点， 则函数在上只有1个零点， 则或或，即无解． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解； （2）根据余弦定理求解； （3）利用二倍角公式与两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 即，即，解得（舍去）； 【小问3详解】 因为 ，， 所以，，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面， ，为的中点，在上，且， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 【答案】（1）∵ 平面，， 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由题意得. ∵ ，，， ∴ 在 中，，，， 可得. ∵ 为中点，∴ . ∵ ，∴ 分的比为，得. 平面的法向量为. ， ∴ ，即. 又平面，∴ 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，确定各点坐标. （1）通过证明与平面的法向量垂直，结合线面平行判定定理完成证明. （2）分别求解两个平面的法向量，利用向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. （3）设出的参数坐标，结合点到平面的距离公式求解参数，再计算的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为 ， ， ， 则，即， 取，得 . 设平面与平面的夹角为，， 则. 【小问3详解】 在线段上， ，令 ， 到平面的距离. 由题意得， ∴ ，即，得. ∴ . 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为．已知（为原点）． （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，另一交点在轴下方，轴的正半轴有一点满足，经过点的直线与椭圆在第一象限相切于点与公共部分的面积为，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，结合即可求解离心率； （2）根据直线与椭圆的位置关系，结合点到直线距离公式，两点之间距离公式，由与公共部分的面积为列出方程即可求解． 【小问1详解】 由题可知， ， 在中，，则 ． 【小问2详解】 由（1）知，，椭圆方程可写为：，即， 已知点， 则经过点且斜率为的直线的方程为：， 将代入椭圆方程求交点：， 整理得， ，解得，， 当时， ， 当时， ， 因此，点的坐标为，点的坐标为， 由题知，的坐标为， 经过点的直线与椭圆在第一象限相切于点， 设直线的方程为，由于切点在第一象限，直线斜率必为负， 将直线方程代入椭圆方程得， 整理得 ， 因为直线与椭圆相切，判别式 ， 解得，因为，所以， 所以直线的方程为， 为求切点的坐标，代入到切线方程对应的二次方程中： ，则 ， 代入直线方程，， 点的坐标为，在第一象限，符合题意， 现在我们有各点坐标：，，，， 则直线的方程为： ， 直线的方程为：，设直线与直线的交点为， 由直线的方程，联立得， 则点到直线的距离， ， 则，解得（负值舍去） 因此，，， 椭圆方程为． 19. 已知无穷数列中，、、…、构成以10为首项，以为公差的等差数列，、、…、构成首项为，公比为的等比数列，其中，． （1）当，时，求数列的通项公式； （2）若m是偶数且，求． （3）对一切正整数，都有.设数列的前项和为，判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，根据的取值利用分段数列的形式表示通项公式即可； （2）根据题意结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解； （3）由题意可知数列的周期，先将数列的前项和求出，然后利用周期性可得，构造函数，，利用定义法可求出的最大值，即可判断. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为m是偶数，， 所以 . 【小问3详解】 不存在，理由如下： 因为对任意的，都有成立， 所以数列的周期为， 由（1）可得， 又， 所以， 设，， 则， 当时，，即， 此时函数单调递增， 当时，，即， 此时函数单调递减， 所以时，， 所以的最大值为， 故不存在满足条件的实数，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键在于根据题意利用数列的周期性，表示出，进而利用单调性判断求解即可. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值； （3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）个实数根，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分和两种情况，结合隐零点问题，分析的单调性，确定使得对恒成立时正实数的值即可； （3）先结合隐零点问题的处理方法，求得的取值范围，再将原问题转化为求方程的实数根的个数，然后构造函数，并再次运用隐零点证明有唯一零点，进而得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 则曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 由题意知，，令， 所以， 因为，所以，而为正实数， 所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增，且， ①当时，在区间上恒成立， 所以函数在上单调递减，此时，符合题意； ②当时，，， 由零点存在定理知，，使得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，有，不符合题意， 综上，正实数的最大值为 【小问3详解】 方程实数根有且只有一个，理由如下： ， 所以，令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即， 两边同时取对数得，， 而在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以，在上单调递减，所以 因为，且， 所以方程的实数根等价于的实数根， 设，其中，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以，使得，即， 两边取对数得，，即， 又，且， 所以， 设，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即函数只有唯一零点， 故方程的实数根有且只有一个，即方程实数根有且只有一个. 【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨论得到的单调性， 第三问的关键是将方程的实数根等价于的实数根，构造函数，结合导数研究根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中高三年级第三次模拟试卷 数学（天津卷） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么 ·如果事件A，B相互独立，那么 ·锥柱的体积公式： 其中S为底面面积，为高 ·锥体的体积公式： 其中S为底面面积，为高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为 8. 如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为，，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线上的射影．若共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2.本卷共11题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，其中双空题，答对一个得3分． 10. 已知是虚数单位，复数 ______． 11. 在的展开式中，常数项为______． 12. 双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 13. 2026年，是我国进入“十五五”规划的开局之年，发展新质生产力以科技创新为第一引擎．某科创通信工程研究小组，执行某通信试验，在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．通信试验方案为三次传输．三次传输是指同一个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______． 14. 在矩形中，，点E是线段上一点，直线，交于点F，直线，交于点，则______，的最小值为______． 15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是____. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求； （3）若，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面， ，为的中点，在上，且， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点是线段上异于两端点的任意一点，若满足到平面距离为，求的长． 18. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为．已知（为原点）． （1）求椭圆的离心率； （2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，另一交点在轴下方，轴的正半轴有一点满足，经过点的直线与椭圆在第一象限相切于点与公共部分的面积为，求椭圆的方程． 19. 已知无穷数列中，、、…、构成以10为首项，以为公差的等差数列，、、…、构成首项为，公比为的等比数列，其中，． （1）当，时，求数列的通项公式； （2）若m是偶数且，求． （3）对一切正整数，都有.设数列的前项和为，判断是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对时，，求正实数的最大值； （3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $