精品解析：天津市第四十七中学2026届高三年级第二学期高考校级模拟数学试题

天津市第四十七中学2025—2026第二学期高三年级 高考校级模拟数学试卷 第Ⅰ卷（满分45分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算易得. 【详解】由题意，得，所以， 又，则. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义和特殊角的三角函数值即可判断答案. 【详解】若，则； 若，则或，即不一定为， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和排除错误选项即可. 【详解】由得，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，所以，排除C. 4. 若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，则的位置关系可以是平行或相交或异面，故A错误； 对于B，若，则的位置关系可以是平行或或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则的位置关系可以是平行或相交或异面，故D错误. 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据1，3，5，7，9，11的第50百分位数为5，中位数为6； ②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等； ③若随机变量满足，则，； ④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好； A. 3个 B. 2个 C. 4个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数及平均数定义计算判断①，应用方差计算判断②，应用数学期望及方差性质判断③，应用残差及拟合效果判断④. 【详解】对于①，该组数据从小到大排列为1，3，5，7，9，11，由， 可知第50百分位数为第三项与第四项的平均数，为， 而中位数也是第三项与第四项的平均数，即6，故①错误； 对于②，因一组数据的方差为， 若，则 ，即这组数据中的所有数值均相等，故②正确； 对于③，根据随机变量的期望与方差的性质：（） ，因，可得，，故③ 正确； 对于④ ，在回归模型中，根据残差的意义可知，残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，残差平方和越大，则拟合的效果越差，故④错误. 6. 函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C. 图象的对称中心是 D. 图象的一条对称轴方程是 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像易得，从而可得出，再将点代入求得，从而得到函数的解析式，再根据正弦函数的性质逐一判断即可得出答案. 【详解】由图像可得， ，， ，将点代入可得 ， 又，，所以函数， 令，解得，， 故函数的增区间为，，故A错误； 由 ，所以是函数的一条对称轴，故D正确； 令，解得，所以函数的对称中心为，，故C错误； 将函数的图像向左平移个单位，得到 ，该函数为偶函数，故B错误. 7. 已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出，接着由指数函数性质研究分析的单调性和最值即可求解. 【详解】由题可设等比数列的公比为， 因为，，所以或， 所以，， 所以为单调递增数列，为单调递减数列， 所以单调递增，故， 故若恒成立，则的最小值为. 故选：D 8. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，可判断的范围，即可进行选择. 【详解】由，易知函数为增函数， 因为，且由零点存在定理，可知． 由，易知函数为增函数 因为，．且 由零点存在定理，可知． ， 因此， 故选：B. 【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，涉及指数函数和对数函数的单调性，属综合基础题. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，延长交于点，利用平行关系得出对应线段成比例，在直角三角形中，结合双曲线定义得出各边之间的关系，在三角形中，利用余弦定理求得结果. 【详解】如图，过点作，延长交于点， 因为，，，所以， 设，则，， 因为，所以，所以， 在直角三角形中，，所以，即， 所以. 在三角形中，由余弦定理得， 所以，整理得， 所以. 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，故. 11. 在的展开式中项的系数为______. 【答案】25 【解析】 【详解】因为的展开式中含的项为， 所以的展开式中项的系数为25. 12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出点坐标及直线的方程，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】由抛物线的准线方程为，得，解得， 抛物线方程为，设点，由，得，解得，， 点，而，直线的方程为，即， 由直线与圆相切，得. 故答案为：3 13. 举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，则；； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 14. 在梯形中，，，，与交于点，且，则______，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，求得的值，得到，在中，利用余弦定理，求得，进而得到得到大小，以为坐标原点，得到和，求得，再由，得到，结合向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，且，所以， 由，且，可得，可得，所以， 在中，， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为且，可得点到轴和轴的距离分别为，即， 又因为，且，所以， 因为且，可得，可得， 又因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 由，可得，， 可得， 又由，则， 设向量和的夹角为，则， 当时，取得最大值，最大值为， 即的最大值为. 故答案为：；. 15. 已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知，当时将方程变形可得，再由函数与方程思想可知与有两个交点，再由函数对称性可得，代入表达式再由二次函数性质求解即可. 【详解】易知，因此1是函数的一个零点， 当时，令，可得； 令， 显然此时； 所以函数关于对称， 若要函数有3个零点， 则须满足方程有两个实数根，即函数与有两个交点，且两交点关于对称， 又，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案. （2）由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积． （3）由正余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以． 因为角C为钝角，所以角A为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1），由余弦定理，，， 得，所以， 解得或， 而，得，这与为钝角矛盾，不合题意舍去， ∴， 故的面积为. 【小问3详解】 因为，， 所以 . 17. 如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）利用向量求线面角； （3）利用向量求面面角. 【小问1详解】 由平面，，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设面的法向量为， 则，取可得， 此时， 所以，又面， 所以平面； 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设面的法向量为，， 则，取可得， 设平面与平面夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程去求解； （2）设的角平分线所在直线与轴的交点为，利用点到直线的距离公式求出点坐标即可求出； （3）设直线：，联立椭圆方程，根据韦达定理求证即可. 【小问1详解】 依题意知：，解得，，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题可得，，因为点在第二象限且轴， 所以，解得：或（舍去），则点 所以， 则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然， 则，解得：； 所以，则， 所以的角平分线所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线：，，， 联立，得， 则，，. 则 ， 得：，则. 故直线与直线关于直线对称. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． （1）求10以内的“归一数”； （2）已知，求m的值； （3）将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）或 （3）显然偶数“归一数”必为形如 的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设 ， 若为“归一数”，则 且 ， 即 且 ，当 且 时， ，当 时， ，所以 且 ， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间 存在唯一的奇数“归一数”， 所以 且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为 ，所以所有的奇数“归一数”的倒数为 ， 因为，所以， ， 即 【解析】 【分析】（1）根据“归一数”概念，结合列举法求解. （2）分析题意可知 必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解. （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 根据定义逐个计算的​： （奇）： ，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）： ，得 ，不是； （偶）： ，得，是归一数； （奇）： ，得，是归一数； （偶）：，得 ，不是； （奇）： ，得 ，不是； （偶）： ，得，是归一数； （奇）： ，得 ，不是； （偶）：，得 ，不是. 【小问2详解】 由题意可知 为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得 ，即 ， 因为 ，且 ，所以 ， 或 ，或 ，解得或， 所以 ，或 ， 所以的值为或. 【小问3详解】 略 20. 已知函数. （1）当m =1时，求函数在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知是的零点，是的零点. ①证明：； ②证明：. 【答案】（1） （2）当时，和在上的单调区间相同在上的单调区间相同 （3）①证明见解析； ②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可求得切线方程； （2）结合导数与函数单调性的关系，分与进行讨论即可得； （3）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得结论；②构造函数，，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得，从而可得，结合的范围即可得解. 【小问1详解】 当时，，求导可得，所以， 又，所以函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由题意得，，， 当时，，，所以和在上都单调递增，符合题意； 当时，若和在上的单调区间相同， 则和有相同的极值点，即，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以无解， 综上，当时，和在上单调区间相同； 【小问3详解】 ①由题意，有两个零点，， 若，则，所以在上单调递增，不符合题意， 若，则当时，，所以在单调递减， 当时，，在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，解得，得证； ②令，，得， 由于，故则， 则, 令，， 则，， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在同一坐标平面内作出函数与的图象， 两函数图像有公共点，如图所示， 故，且有， 由，得，即，又， 在单调递减，故， 由，得，即，又， 在上单调递增，所以， 由，得，即， 故，又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2025—2026第二学期高三年级 高考校级模拟数学试卷 第Ⅰ卷（满分45分） 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若为两条直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列说法正确的有（ ） ①数据1，3，5，7，9，11的第50百分位数为5，中位数为6； ②若一组数据的方差为0，则这组数据中的所有数值均相等； ③若随机变量满足，则，； ④在回归模型中，残差平方和越大，则回归拟合的效果越好； A. 3个 B. 2个 C. 4个 D. 1个 6. 函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 C. 图象的对称中心是 D. 图象的一条对称轴方程是 7. 已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知i是虚数单位，复数z满足，则______． 11. 在的展开式中项的系数为______. 12. 已知抛物线的焦点为，准线方程为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，且．若直线与圆相切，则___________． 13. 举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是________． 14. 在梯形中，，，，与交于点，且，则______，点在线段上，满足，平面内有一动点满足，则的最大值为______. 15. 已知函数有3个零点，且，则的最小值为__________. 三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且为钝角． （1）求； （2）若，，求的面积； （3）求． 17. 如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． （1）求10以内的“归一数”； （2）已知，求m的值； （3）将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 20. 已知函数. （1）当m =1时，求函数在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知是的零点，是的零点. ①证明：； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $