精品解析：湖北武汉中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷

武汉中学2025级高一下学期数学3月月考试卷 考试时间：2026.3.8 一、单选题 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解. 【详解】根据题意，， 因为，所以，得. 故选：B 2. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简 ，再比较它们所对应角度的正弦值大小. 【详解】已知 ，可得： 根据二倍角的正弦公式，对于 ，则有： ， 由半角公式，对于 ，这里 ，则有： ， 因为正弦函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 . 3. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有三角函数的定义得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可. 【详解】将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为， 所以，所以， 所以， 故选：B. 4. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【详解】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 6. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可. 【详解】易知， 由二次函数的单调性可知时上式取得最小值， 即， 所以. 故选：C 7. 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共线，三点共线，三点共线，用表示，可求的值. 【详解】由三点共线，设， 由三点共线，设， 则有，解得， 所以， 由三点共线，设， 则有. 故选：B. 8. 如图，在平面斜坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则称有序数对为向量在该斜坐标系下的坐标．已知向量在该斜坐标系下的坐标分别为，，其中，．当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义，结合平面向量数量积的运算公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由已知得，，， 所以， 即， 又，所以， 当且仅当，即时取等号，的最大值为， 故选：A 二、多选题 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 10. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于  ，而  ，所以  ，其中  ， 不妨设  ，则Q点在直线BC上， 由于  与  同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以  的面积是  面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式得到，两边同除，即可得到，再利用基本不等式得到，再利用两角和的正切公式得到，根据不等式的性质判断C，根据对勾函数的性质判断D； 【详解】解：因为， 两边同除得，故A正确； 由均值不等式解得当且仅当时取等号， ，所以，故B正确； ，由，所以，所以得，故C正确； ， 由且在上单调递增，所以的最小值为，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 12. 已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】与的夹角为锐角，则且，与不共线，得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线， 所以，解得，即. 故答案为： 13. 已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数和的图象，可知为等腰三角形，即可求的面积. 【详解】作出函数和的图象，可知为等腰三角形， 且的底边长为，高为，则的面积为. 故答案为：. 14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为______. 【答案】 【解析】 【分析】由得或，设，则为增函数，由，故，解方程可得. 【详解】， 由得即， 故或， 设，则为增函数， 当时，，故， 化简得即，故，得， 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量，， （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求的值； （2）利用向量垂直的坐标形式可求的值，再利用公式可求向量与的夹角的余弦值. 【小问1详解】 向量，则， 由，得，解得. 【小问2详解】 ，由，有， 解得，则， . 所以向量与的夹角的余弦值. 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 【答案】（Ⅰ），，． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间. （Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ） ． 所以的最小正周期， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 因为为锐角，所以，， 又因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题． 17. .如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得 ， 又三点共线，所以存在实数，使得, 由于不共线，所以,解得. 故. 因为三点共线，所以存在实数，使得, 消去,得＋＝1. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； （3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 【答案】（1） （2）92.5m （3）；15.3 【解析】 【分析】（1）设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，根据求出各参数得解析式； （2）代入（1）中解析式计算可得； （3）结合，由甲的高度求得乙的高度，利用对称性或由求得两人距离地面高度相等的时刻． 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点P，因为转盘直径为110m，所以，以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为 由题意可得. H关于t的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）可知时， . 所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m. 【小问3详解】 如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后，此时乙距离地面的高度为 ， 两人距离地面高度相等的时刻， 方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相等因为转一周大约需要30min，，所以甲从最低点开始转动，转过，乙从最低点开始转动，转过， 此时时间为. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法二：即时，即， 可得，解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3 方法三：甲乙距离地面的高度差为 ， 利用，可得： ， 当时，，由题意可知：， 解得. 所以，两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可. （2）解法将向量通过模的运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值. （3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ， 为锐角，， 解法一： . 取的中点为，， . 解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系， ， ， ，， ， . 故小问1答案为：. 【小问2详解】 解法一：由题意知： ， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则， ， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 解法三： 设， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故小问答案为： 【小问3详解】 解法一：由题意知： 令，则原式 当且仅当即，等号成立，的最小值为 解法二：由题意知： 以为原点，以为轴，建立直角坐标系 三点共线 ， ， ， ， ， . 解法三：由题意知： ， ， ， 下同解法二. 故小问答案为：. 【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉中学2025级高一下学期数学3月月考试卷 考试时间：2026.3.8 一、单选题 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 6. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面斜坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则称有序数对为向量在该斜坐标系下的坐标．已知向量在该斜坐标系下的坐标分别为，，其中，．当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. 若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 10. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 11. 已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为4 三、填空题 12. 已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________. 13. 已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________. 14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为______. 四、解答题 15. 已知向量，， （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若为锐角且，满足，求． 17. .如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. 18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min. （1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度； （3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). （参考公式：) 19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线． （1）求的范围 （2）求的最小值， （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $