精品解析：湖北武汉市第三中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

湖北武汉市第三中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、应位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 一、单选题 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 8. 如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、多选题 9. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 10. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D. 棱长为6cm的正四面体 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 三、填空题 12. 已知向量，若，则______． 13. 已知，则______． 14. 如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）求函数在上的单调区间； （2）当时，求函数的最小值及此时的值. 16. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 18. 如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为． （1）证明：平面与平面的交线平行于底面； （2）若圆锥母线长度为a，求面积的最大值. （3）求. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北武汉市第三中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、应位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 一、单选题 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故选：A. 3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用线面平行、垂直，面面平行、垂直判定和性质，逐个判断. 【详解】若，则或，故A错误； 当，若不相交，则推不出，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误. 故选：C. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 5. 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（ ） A. ，且直线是相交直线 B. ，且直线是相交直线 C. ，且直线是异面直线 D. ，且直线是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示，连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点， 所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线； 作于，连接，过作于． 连，平面平面． 平面，平面，平面， 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知， ．，故选B． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形． 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7. 已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是（   ） A. 两组数据的极差不可能相等 B. 两组数据的中位数不可能相等 C. 若，则两组数据的方差不可能相等 D. 若，两组数据的第百分位数可能相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各项的正误. 【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，A错误； B，不妨设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，B错误； C，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，C正确 D，在按从小到大的顺序排列的个数据中， 此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即， 删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第三个数，即或，而，则， 显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，D错误． 故选：C 8. 如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】如图：取的中点，连接， 因为是菱形，所以，又因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，所以，又因为平面，， 所以平面，因为平面，所以， ，当侧面底面时，三棱柱的体积最大， 此时三棱柱的高即为，. 故选：B 二、多选题 9. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，结合平移变换和伸缩变换的原则，即可求解. 【详解】由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到， 再将函数向左平移个单位，，得到， 所以A不正确，B正确. 由函数向左平移个单位，得到， 再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 10. 将一个直径为8cm的铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（ ） A. 底面直径为8cm，高为6cm的圆柱体 B. 底面直径为6cm，高为4cm的圆锥体 C. 底面边长为4cm，高为6cm的正四棱柱 D. 棱长为6cm的正四面体 【答案】BD 【解析】 【分析】根据球的几何性质，结合勾股定理，计算球心到选项中各几何体底面的距离，结合各几何体特征即可逐一求解. 【详解】对A：若圆柱的底面直径为8，此时球心到圆柱底面的距离为，故A错误； 对B：若圆锥的底面直径为6，则半径为3， 此时球心到圆锥底面的距离为， 故圆锥的高最大时为，故B正确； 对C：若正四棱柱底面边长为4，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四棱柱底面的距离为， 故正四棱柱的高最大时为，故C错误； 对D：法一：若正四面体的棱长为6，则底面外接圆半径为， 此时球心到正四面体底面的距离为， 棱长为6cm的正四面体的高为，由，故D正确 法二：若将各棱长均为的四面体放入到棱长为的正方体中， 此时正方体的外接球直径为，故D符合，故D正确. 故选：BD. 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据题意得所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值. 【详解】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先确定球心位置，再建立半径R的方程求解即可. 【详解】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查外接球问题，关键是利用球的性质确定球心位置. 四、解答题 15. 已知平面向量. （1）求函数在上的单调区间； （2）当时，求函数的最小值及此时的值. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）的最小值为此时. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算以及三角恒等变换化简，利用整体的思想以及结合正弦函数的图象即可求解单调区间； （2）利用整体的思想求解即可. 【小问1详解】 ， 令得； 令得； 得 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时,，此时， ， 的最小值为， 此时，即. 16. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，特举办数学竞赛活动，在活动中，共有19道题.从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的上四分位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1）；上四分位数为84. （2）总平均数；总方差. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可求解的值；根据频率分布直方图先明确样本成绩的第分位数所在的范围，再结合已知数据即可求解. （2）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【小问1详解】 因为频率之和为1，所以， 解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第分位数为，则， 由，得， 所以样本成绩的第分位数为84. 综上，；上四分位数为84. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 故这两组成绩的总平均数， 总方差. 综上，总平均数；总方差. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 18. 如图，圆锥顶点为，底面圆圆心为，其母线与底面所成的角为．和是底面圆圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为． （1）证明：平面与平面的交线平行于底面； （2）若圆锥母线长度为a，求面积的最大值. （3）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理，即可证明． （2）先根据圆锥的结构特征得，再求得，利用正弦函数的最值即可求解. （3）可证平面平面，则直线在面上的射影为，即，设，则，，在中，求得，最后利用二倍角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由公理可知，两面相交必交于一条直线，设平面与平面的交线为， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，平面与平面的交线为， 所以，又在底面上，在底面外，所以与底面平行， 即平面与平面的交线平行于底面； 【小问2详解】 由圆锥母线与底面所成的角为，可得， 故，当时，. 【小问3详解】 取的中点，连接，，则由等腰三角形性质得， 又，平面，所以平面， 因为底面，所以平面平面， 所以直线在面上的射影为，所以， 设，则，由题意，则， 而，，解得， 在中，， 所以. 19. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）通过证明结合平面平面可证明结论； （2）取中点，连接，，通过说明，可得为二面角的平面角，后由题目条件结合余弦定理可得答案； （3）当点M在F点时，由（2）可知答案；当M在点E时，过B作，且使，连接，，则由题目条件可得；当与，都不重合时，令，延长交的延长线于，连接，过作交于，连接，通过说明，可得.后综合三种情况可得答案. 【小问1详解】 证明：在梯形中，，，，，， ，，平面平面，平面平面，平面，平面. 【小问2详解】 解：取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角. ，，，， . 【小问3详解】 由（2）知： ①当与重合时，； ②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，； ③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，在平面与平面的交线上，在平面与平面的交线上，平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，，又，平面，， 平面，平面，. 又，平面ACH，，平面，，. 在中，，从而在中，， ，，.，. 综上所述，，. 【点睛】方法点睛：本题涉及利用几何方法求二面角的平面角大小，对于此类问题可在两半平面内过交线上一点作交线的垂线；也可找到与交线垂直的平面，则垂面与半平面交线所形成的角即为所求平面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $