湖北省荆州中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 荆州中学高一下5月月考数学卷，聚焦复数、立体几何、解三角形核心内容，通过多面体结构判断、正三棱柱线面证明等题，考查空间观念、推理能力与运算能力，适配高一下学期知识综合应用需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数根、圆台侧面积、空间几何体概念|基础概念辨析，如第3题棱台定义判断| |多选题|3/18|向量共线、线面平行判定|易错点辨析，如第10题线面平行命题判断| |填空题|3/15|单位向量坐标、复数模范围|空间向量运算，如第14题线面角余弦值范围| |解答题|5/77|多面体表面积体积、解三角形周长、正三棱柱线面证明|综合应用，如15题多面体结构证明与体积计算，18题线面垂直证明及线面角求解|

荆州中学2025～2026学年高一下学期5月月考 数学试题 （全卷满分 150分 考试用时120分钟） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.已知2i-3是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则p=( ) A.4 B.13 C.12 D.5 2.一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（ ） A． B． C． D． 3.下列说法正确的是( ) A.有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B.直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C.空间中，过三点有且只有一个平面 D.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4.已知P，Q，M，N分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若PM=，QN=，则AC2+BD2的值是(　　) A.20 B.10 C.5 D.不能确定 5.复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为(　　) A. B. C. D. 6.如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，,,，面对角线BD与截面AB1D所成的角为45°，则( ). A. B. C. D. 8.在三棱锥A-BCD中，，则三棱锥三棱锥A-BCD外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.下列说法不正确的是( ) A.与共线的单位向量是 B.在中，是为等腰或直角三角形的充要条件 C.存在唯一使是的充分不必要条件 D.在上投影向量的模为 10.已知直线l、m、a、b均不重合，平面α、β为不同平面，下列命题不正确的是( ) A.若直线a与l所成的角等于b与l所成的角，则a//b B.若a//b，b//α，则a//α C.若，则α//β D.若α//β，，则a//β 11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.与垂直的单位向量的坐标是. 13.已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为_____________. 14.如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则cosθ的取值范围是__________________. 四、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，正方体中，，点分别是棱的中点. (1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； (2)求多面体的表面积和体积. 16.在三角形ABC中，角，B，的对边分别为a，，c，已知，. (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长. 17．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； (3)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 18.如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19.如图正方体棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $荆州中学2025级高一下学期数学五月月考 2026.5.27 CBBA CADA ABD ABC ABD 55 「√6万 55 [2,8] 3’3 15.(1)几何体ADD-ECF是三棱台，证明如下： 因为点E,F分别是棱BC,CC1的中点，连接BC1,所以EF∥BC1∥AD1, 且a歌=BC=40,因此闪边形A职是梯形 2 延长AE,D,F相交于点G,因为G∈AE,AEC平面ABCD, 所以G∈平面ABCD,又因为G∈DF,DFC平面CDD,CG,所以G∈平面CDDC. 因为平面ABCD∩平面CDDC=CD,所以GECD, 所以直线AE,DC,DF相交于同一个点G.所以几何体G-ADD是三棱锥， 由于平面ECF/平面ADD,因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体ADD-ECF是三棱台. (2)因为AB=2,所以CE=CF=1,AE=DF=√5， 在等腰梯形AEFD中，EF=V2,AD=2W2,高h=5- 3√2 2 2 所以Sm5+2V)x35_9 22 又国为SME=4g方(2+10x2-3.Scr=S=方m=S=2 9 所以三棱台AD0-BCF的表面积是)+2+号+3+3=13， 2 因为三棱台ADD-ECF的高h=CD=2, 所以棱台ADD-ECF的体积 r+网+8)h日2+小2 16.(1)因为(b+c)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB), 由正弦定理可得(b+c)(c-b)=a(a-b),整理可得2+b2-c2=b, 由余弦定理得ad+b2-c2=2 abcosC,所以ab=2 abeosC,所以cosC=号 2 又因为ce(Q),所以c-行 因为c=2,由正弦定理得sind sinB sinc√55， 4 可得a=sA,b=5sinB，因为A+B+C=元 所以m4=n[a-(a+c小血a+c上血-哥引， 0<B< 又 2 Q子BgB+ 2π 6 23 63 3 2 a+b∈(2√3,4]，则周长的取值范围是e(23+2,6] 2》风%D=丽，白向角T分线机质定理得会品2，印62a 在三角形ABC中，c=2,由余弦定理得c2=G+6-b,a=2W5b-45 3 3 因为AD=2DB,所以CD-CA=2CB-CD),得CD=CA+2CB 12 所以c a+ L×16+4×4+2×2345_4 9 9 3 3 3 17.(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系. 则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),∴ED=(-3,6),AF=(6,2). ED·AF 由于∠DMF就是ED,AF的夹角.cos∠DMF= -18+12 ED4FV9+36V36+410’ ·∠Dr的余弦值为-2 10 (2)设M(x,y),.DM=(x,y-6),DM∥DE,.3(y-6)+6x=0,.2x+y-6=0①. :AM=(x,y),AF=(6,2）,AM/1AF,.2x-6y=0,x=3y②. 联0@得v=号9M引 (3)由题得丽=(3,2，M8 77 O当点P在AB上时，设Ps00≤s0,亚-(-s)】 n号号0号得刘小w-月2 7 @当P在c上时，设P60<y≤0.m=(兰v-》号2y号0y9 舍 综上.存在P华0w-丽 18.(1)在等边VABC中，因为D为AB的中点，可得CD⊥AB, 在正三棱柱ABC-AB,C中，可得AA⊥平面ABC, 又CDC平面ABC,所以CD⊥AA 因为AA∩AB=A,且A4,ABC平面ABBA,所以CD⊥平面ABBA, 又因为AEC平面ABBA,所以CD⊥AE (2)由(1)得CD⊥平面ABBA,因ADC平面ABBA,则CD⊥AD 又A4=AB=4,B,E=3EB,则AD=√42+22=2V5,BE=3, 4E=V4+37=5,DE=22+1P=5,所以AD+DE2=4E2,可得AD⊥DE, 因CDODE=D,CD,DEC平面CDE,故AD⊥平面CDE (3)由(2)得AD⊥平面CDE,所以∠ACD为直线AC与平面CDE所成的角. 又4D=25,4C=45,所以sim∠4CD=25-10 424 所以直线4C与平面CDB所成角的正弦值为 4 19.(1)过点E作EM1/DC交C1D于M,连接FM, 由正方体ABCD-ABCD的对角面ABCD是矩形，得DC//AB,则EM//A,B, ∠FEM即为直线AB与EF所成的角或其补角， 由CE=1,AF=2,得DM=1,FM=√5，EM=3√2，EF=√29， 因此cos∠FBM=BR+EM-。29+18-57V58 2EF.EM 2x√29×3√2-58 所以直线4B与BF所成角的余弦值为5⑧ 58 (2)(1)三棱锥G-ABD的体积不是定值. 假设三棱锥G-ABD的体积是定值，则线段EF上任意每一点到平面ABD的距离都相等， 又EFt平面ABD,于是EFI/平面ABD,由(1)知EMI1AB,且EME平面ABD, 则EMII平面ABD,而EF∩EM=E,EF,EMC平面EFM,则平面EFM/平面ABD, 又FMc平面EFM,因此M/I平面ABD,取C1D中点N,连接AN, 显然M为DN的中点，则FMI/AN,又AN与平面ABD交于点A, 于是FM与平面ABD相交，两者矛盾，假设不成立，所以三棱锥G-ABD的体积不是定值， 由图，线段EF在平面ABD的同侧，且在线段EF的所有点中，F到平面ABD的距离最小， 则当G与F重合时，三棱锥G-ABD的体积最小， 且%=片o=4m片2445所以三棱维G-AD体积的最小道为号 16 3， (ii)由B,D/BD,且B,Dc平面ABD,则B,D,/I平面ABD,同理B,C/1平面ABD, 而B,D∩B,C=B,BD,BCc平面B,CD,因此平面B,CD//平面ABD, 此时线段EFI平面BCD=G,满足CG/平面ABD, EGd 设B,r到平面BCD,的距离分别为4，d,则Gd ABC四是边长为4V5的等边三角形，则S6m- ×(4V22=85, 4 由n=符兮854写1k44,辩得4= 31 3 由以得8=日分2x4,解得4之 3 EG-4=1 所以Gd,2