精品解析：辽宁朝阳市建平县实验中学2025-2026学年高一下学期5月期中测试数学试题

建平县实验中学高一年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据三角函数的定义，若角终边上一点，则， 所以． 2. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度. 【详解】由得， 所以圆心角为. 3. 已知向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以. 4. 设为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则. 6. 若，，且，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，则， 而，， 则，， 所以 . 7. 在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求，或者利用数量积的运算律可求. 【详解】法1：以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，可得， 所以，， 因为，且，，所以， 因为，所以，所以 ； 法2：因为，可得， 因为，可得， 所以，所以， 由，且相似比为，可得， 所以，因为， 所以 ． 8. 将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过图象变换得到的解析式，再根据的范围结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由题意得，，因为在上没有零点， 所以，解得， 当时，，所以， 解得， 又因为，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. ，则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面向量共线、线性运算以及数量积定义即可逐个选项判断． 【详解】对于A，当时，满足，，但不一定成立，故选项A错误； 对于B，由，则， 即， 所以，即，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，因为是常数，则表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，故选项D错误． 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，，所以A正确； 选项B，，所以B错误； 选项C，因 ，则， 即，所以C正确； 选项D， ，故D错误. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 从计时开始再次接触水面需用时15秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时， ，点P距水面的高度为2米，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则k的值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，故，故. 13. 已知等腰三角形一个底角的正弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角关系以及三角函数公式求等腰三角形顶角的余弦值. 【详解】设等腰三角形的底角为，顶角为，则，因， 则. 14. 已知函数 图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，然后令，得到 的最小值即可求解. 【详解】已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得， 因此， 因为，所以，所以， 令，因为不等式在上恒成立， 所以 在上恒成立， 所以，又， 所以当时，有，所以，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用得 ，解方程即可； （2）由与的夹角为钝角得到，且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ，解得或. 【小问2详解】 与夹角为钝角， 当与共线反向时， 即， 且， 综上：的取值范围 16. 已知 （1）化简； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可； （2）由计算得的值，结合 知 ，故结果取负数. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 17. 设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间及对称中心； （3）求的解集． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为， 的对称中心为 （3） 【解析】 【小问1详解】 由图知，， 由，得， 又，所以， 因为的图象过点， 所以 ，解得， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 由， 得， 所以的单调递增区间为， 由，得， 所以的对称中心为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以 ， 解得 ， 所以的解集为． 18. 设向量，且函数 （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）已知，，求的值； （3）若函数在上有两个零点，求实数m的范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质即可求解； （2）由，得，进而求，再由即可求解. （3）函数在上有两个零点，得 的图象与的图象有两个交点，作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以 所以最小正周期 令， 所以 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以， 所以 ； 【小问3详解】 因为函数在上有两个零点，所以在上有两个根， 所以的图象与的图象有两个交点，如下图所示： 因为，所以， 所以，此时，，， 若的图象与的图象有两个交点，则． 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 （1）如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解． 【小问1详解】 由正方形的边长为4，则，，． 由极化恒等式可得： ． 【小问2详解】 如图，连接． 因为，， 所以． 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以． 因为，所以，所以， 即的取值范围是． 【小问3详解】 令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高一年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 设为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. ，则 C. D. 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需用时5秒 C. 从计时开始再次接触水面需用时15秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为2米 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设向量，，若，则k的值是_________． 13. 已知等腰三角形一个底角的正弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为_________． 14. 已知函数 图象的相邻两个对称中心之间的距离为，若不等式在上恒成立，则实数的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 16. 已知 （1）化简； （2）若，，求的值． 17. 设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间及对称中心； （3）求的解集． 18. 设向量，且函数 （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）已知，，求的值； （3）若函数在上有两个零点，求实数m的范围. 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 1．极化恒等式：，公式推导：； 2．平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3．三角形模式：如图，在中，设为的中点，则．推导过程：由 （1）如图，在边长为4的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； （2）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （3）已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $