精品解析：吉林省长春市第一〇八学校2025-2026学年下学期九年级5月中考模拟数学试题

数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 2. 下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 3. 学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（ ） A. 调查全体走读生 B. 调查校篮球队全体队员 C. 调查七年级全体学生 D. 调查各年级中的部分学生 【答案】D 【解析】 【分析】抽取样本时需保证样本具有广泛性和代表性，能够反映全校学生的总体情况． 【详解】解：∵调查目的是了解全校学生最喜欢的午餐菜品，样本需要代表全校不同群体学生的喜好， A选项仅调查走读生，遗漏住校生群体，样本不具有代表性，方法不合理； B选项仅调查校篮球队队员，样本群体特殊，不具有全校代表性，方法不合理； C选项仅调查七年级学生，遗漏其他年级学生，样本不具有广泛性，方法不合理； D选项调查各年级中的部分学生，样本覆盖不同年级群体，具有代表性和广泛性，方法合理； 故选：D． 4. 将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则，不等式组的解集为， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算与二次根式的加减运算，根据对应运算法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 7. 如图所示，该图案的设计思路可以为（ ） A. 用一个平行四边形平移得到 B. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 C. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 D. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 【答案】D 【解析】 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 5的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法即可完成因式分解． 【详解】解：． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 12. 苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵是菱形，， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为半圆的直径，、分别切于、两点，切于点，与相交于，与相交于，连接、，下列结论正确的是___________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用切线长定理和等量代换即可求出①的答案；利用切线的性质得到条件证三角形全等；得到和，根据四个角之和为从而解出答案；直接套用梯形面积公式，进行等量代换求出答案；利用三角形相似对应边成比例进行求解． 【详解】解：∵、分别切于、两点，切于点， ∴， 又∵， ∴，①正确； 连接，如图所示： ， 在和中，， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴，②正确； ， ∵，， ∴，③正确； ∵切于点， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，④错误； 综上，正确的结论有①②③． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4.5 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简，然后把给定的值代入计算． 【详解】解： ， ， ， ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，主要考查了完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式以及合并同类项法则． 16. 把六张仅有编号不同的卡片分成两组，组的三张卡片编号分别是1，2，3，组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出抽到的编号都是偶数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下： A组 B组 4 5 6 1 1，4 1，5 1，6 2 2，4 2，5 2，6 3 3，4 3，5 3，6 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中抽到的编号都是偶数的有2种情况，则抽到的编号都是偶数的概率为． 17. 一艘轮船在静水中的最大航速，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．求江水的流速． 【答案】 【解析】 【分析】设江水的流速为，利用路程速度时间，列出方程运算即可． 【详解】解：设江水的流速为，则顺流速度为，逆流速度为， 由题意可得： 解得：， 经检验，当时，，，所以是原方程的解， 答：江水的流速为． 18. 如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】通过全等三角形判定得出△AEB≌△AFC，可得EB＝FC，∠ABE＝∠ACF，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，从而得到∠EBC＝∠FCB，根据平行四边形的判定可得四边形EBCF是平行四边形，从而得到EB∥FC，根据平行线的性质可得∠EBC＋∠FCB＝180°，可得∠EBC＝∠FCB＝90°，继而可证明四边形EBCF是矩形． 【详解】证明：∵AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△AEB≌△AFC， ∴EB＝FC，∠ABE＝∠ACF， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠EBC＝∠FCB， ∵EB＝FC，EF＝BC， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴EB∥FC， ∴∠EBC＋∠FCB＝180°， ∴∠EBC＝∠FCB＝90°， ∴四边形EBCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．熟记各个知识点是解题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，使； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点，再在的边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 【答案】（1）解：点M即为所求； （2）解：点N即为所求； （3） 解：与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）取格点J，连接交于点M，即为所求； （2）在网格上找P，Q两点，连接，与交于点N，即为所求； （3）与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为10分，评分均为整数）．规定：评分大于等于6分为“通过面试”，评分大于等于9分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． a．甲、乙得分折线统计图 b．甲、乙得分统计如下表： 平均数/分 中位数/分 方差 通过率 优先录取率 甲 7.3 3.21 乙 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）通过计算得出___________． （3）甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 【答案】（1），， （2） （3）①乙的方差更小，成绩更稳定；②乙的通过率更高． 【解析】 【分析】（1）根据折线图中数据，以及中位数，平均数的计算公式求出，再结合优先录取率定义算出，即可解题； （2）直接根据方差公式计算即可； （3）从方差和通过率分析即可． 【小问1详解】 解：由折线图可知，甲的分数为， ， 乙的分数为， ， ； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 （3）①乙的方差更小，成绩更稳定； ②乙的通过率更高． 21. 汽车出发前油箱内有油50，行驶一段时间在加油站加油若干升，汽车出发后，油箱中的剩余油量（单位：L）与行驶时间（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式； （2）如果加油前、加油后汽车都以60的速度匀速行驶，加油站距离目的地240，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】（1） （2）油箱中的油不够用，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结合图象设加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式为，将点代入解析式求解，即可解题； （2）根据图象信息分别算出加油站到目的地所用时间、汽车每小时耗油量、油所跑时间，再对时间比较分析，即可解题． 读懂题目信息并准确识图，观察出油箱中的油量的变化是解题的关键． 【小问1详解】 解：结合图象设加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式为， 过点， ， 解得， 加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式为． 【小问2详解】 解：油箱中的油不够用，理由如下： 加油站到目的地所用时间：， 汽车每小时耗油量为：， 油所跑时间为：， ， 油箱中的油不够用． 22. 问题探究 （1）如图①，在中，，是内部的一个动点，且满足． （i）求证：； （ii）用圆规和无刻度的直尺，在图①中作出点的运动轨迹：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （iii）线段的最小值为___________； 问题解决 （2）如图②，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知m，m．直接写出的最小值．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】（1）（i）见解析；（ii）见解析；（iii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据垂直的定义，以及等量代换推出，再结合三角形内角和定理分析求解，即可解题； （ii）作的垂直平分线交于点，连接，利用直角三角形性质可知，再以为圆心，为半径画弧，即可作出点的运动轨迹； （iii）记的中点为，连接，交点的运动轨迹于点，利用勾股定理求出，再根据分析求解，即可解题； （2）作与的延长线交于点，连接，记的中点为，连接，过点作于点，利用矩形性质证明，进而得到，结合直角三角形性质求出，根据，为定长，推出当三点共线时，最小，证明，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题． 解题的关键在于找出当三点共线时，最小． 【小问1详解】 （i）证明：， ， ， ， ； （ii）解：所作点的运动轨迹如下图所示： （iii）解：记的中点为，连接，交点的运动轨迹于点， ， ， ， ， 线段的最小值为； 【小问2详解】 解：作与的延长线交于点，连接，记的中点为，连接，过点作于点， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， m，， ， ， ，为定长， 当三点共线时，最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 23. 如图，中，，点是的中点．点在边上（点不与、重合），连接，作点关于直线的对称点，连接． （1）点到的距离为____________． （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当点落在的内部时，连接，求线段的长度范围； （4）当时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，利用线段中点特点，以及解直角三角形计算求出，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）当点与点重合时，由轴对称性质可知，垂直平分，利用解直角三角形的计算求出的长，进而即可求出线段的长； （3）由点关于直线的对称点为，可知在以为圆心，长为半径的圆弧上，记圆弧交于点，交于点，连接，交圆弧于点，连接，有，利用轴对称性质，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理分别算出，作于点，于点，再结合相似三角形的性质和判定计算出，最后比较分析，即可求出线段的长度范围； （4）过点作交于点，证明，利用相似三角形性质推出，再根据，分两种情况①当在上方时，记交于点，②当在下方时，记交于点，结合相似三角形性质和判定，以及轴对称性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，点是的中点， ， ， ，即点到的距离为； 【小问2详解】 解：当点与点重合时， 由轴对称性质可知，垂直平分， ， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：由点关于直线的对称点为，可知在以为圆心，长为半径的圆弧上， 记圆弧交于点，交于点，连接，交圆弧于点， 连接， 有， 由（1）知，，， ， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 作于点，于点， ， ， ， 与重合，，， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， ， 线段的长度范围为； 【小问4详解】 解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ①当在上方时， 记交于点， ， ， 由轴对称性质可知，， ， ， ； ②当在下方时， 记交于点， 由轴对称性质得到，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：线段的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，纵坐标为的点在直线上．连接，将线段绕点顺时针旋转得线段． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上时，求的值； （3）以、为邻边作正方形． ①该抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小或随增大而增大时，直接写出的取值范围； ②设线段与抛物线相交与点，连结、，若与的面积比为时，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）①或； ②或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式，代入求解即可； （2）设直线交x轴于点，过点作，垂足为，根据“”，易得，从而可得，，代入解析式，列出方程，求解即可； （3）①分类讨论：当时，求出当点在抛物线上时m的值，结合图形，即可求解；当时，求出点在抛物线上时m的值，并求出抛物线的顶点坐标，结合图形，即可求解；②作轴，轴，垂足分别为、，根据面积之比可得底之比，从而可得，再根据相似三角形的性质，可得，进而可得，代入解析式，列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， ； 【小问2详解】 解：如图，设直线交x轴于点，过点作，垂足为， 纵坐标为的点在直线上，即， ，， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，， ， ，轴， ， ， ， ， ，， 如图1，当时，，， 如图2，当时，，， 则， 点在抛物线上时， ，解得或， 综上所述：或； 【小问3详解】 解：①如下图，当时，点在抛物线上时， ，正方形， 同（2）得， ，解得或（舍去）， 由图可知，当时，该抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小； 当时，该抛物线不经过正方形内部，不满足题意； 如下图，当时，点在抛物线上时， 由（2）可知， ， 顶点坐标为， 当时，该抛物线在正方形内部的点的纵坐标随增大而增大； 当时，该抛物线在正方形内部的点，当时点的纵坐标随增大而减小，当时点的纵坐标随增大而增大，不满足题意； 综上所述：满足条件的的取值范围为或； ②如下图，作轴，轴，垂足分别为、， 正方形，与的面积比为时， ，则， 轴，轴， ， ， ， ，正方形， 同（2）得，即，， ，， 当时，，； 当时，，； ， 点在抛物线上时， ， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 3 C. 3 D. 2 2. 下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ） A. B. C. D. 3. 学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（ ） A. 调查全体走读生 B. 调查校篮球队全体队员 C. 调查七年级全体学生 D. 调查各年级中的部分学生 4. 将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图所示，该图案的设计思路可以为（ ） A. 用一个平行四边形平移得到 B. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 C. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 D. 用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 5的平方根是__________． 10. 因式分解：__________． 11. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 12. 苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心，则______． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为 ________． 14. 如图，为半圆的直径，、分别切于、两点，切于点，与相交于，与相交于，连接、，下列结论正确的是___________． ①；②；③；④． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 把六张仅有编号不同的卡片分成两组，组的三张卡片编号分别是1，2，3，组的三张卡片编号分别是4，5，6，若分别从这两组卡片中各随机抽取一张，求抽到的编号都是偶数的概率． 17. 一艘轮船在静水中的最大航速，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．求江水的流速． 18. 如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，使； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点，再在的边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 20. 学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为10分，评分均为整数）．规定：评分大于等于6分为“通过面试”，评分大于等于9分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． a．甲、乙得分折线统计图 b．甲、乙得分统计如下表： 平均数/分 中位数/分 方差 通过率 优先录取率 甲 7.3 3.21 乙 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________． （2）通过计算得出___________． （3）甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 21. 汽车出发前油箱内有油50，行驶一段时间在加油站加油若干升，汽车出发后，油箱中的剩余油量（单位：L）与行驶时间（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求加油前油箱中剩余油量与行驶时间之间的关系式； （2）如果加油前、加油后汽车都以60的速度匀速行驶，加油站距离目的地240，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 22. 问题探究 （1）如图①，在中，，是内部的一个动点，且满足． （i）求证：； （ii）用圆规和无刻度的直尺，在图①中作出点的运动轨迹：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （iii）线段的最小值为___________； 问题解决 （2）如图②，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知m，m．直接写出的最小值．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 23. 如图，中，，点是的中点．点在边上（点不与、重合），连接，作点关于直线的对称点，连接． （1）点到的距离为____________． （2）当点与点重合时，求线段的长； （3）当点落在的内部时，连接，求线段的长度范围； （4）当时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，纵坐标为的点在直线上．连接，将线段绕点顺时针旋转得线段． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上时，求的值； （3）以、为邻边作正方形． ①该抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小或随增大而增大时，直接写出的取值范围； ②设线段与抛物线相交与点，连结、，若与的面积比为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $