精品解析：2026年山东聊城市文轩初级中学等校初三年级下学期考前模拟考试数学试题

初三年级第三次模拟考试数学试题 时间：120分钟 分值：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题 卡上．答案写在本试卷上无效． 一 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结果计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 10. 如图，的顶点、分别在轴、轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，x的值可以是_______． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是_____度． 13. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 14. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 15. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2）先化简 ，再从，，中选取一个合适的数代入求值． 17. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 18. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 19. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 20. 如图，已知，是一次函数反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于. （1）求一次函数解析式及的值； （2）是线段上的一点，连、，若和面积相等，求点坐标. 21. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 23. 已知抛物线过点，其中m，n 为常数． （1）若该抛物线与y 轴交于点 ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级第三次模拟考试数学试题 时间：120分钟 分值：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题 卡上．答案写在本试卷上无效． 一 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 中国邮政计划于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将中文单位“万”转换为标准数字形式，再将其写成科学记数法的标准形式。科学记数法的形式为，其中，为整数，特别注意指数的确定方式。 【详解】解：“万”表示， 2668万 5. 下列结果计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则，即单项式乘单项式、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂的除法，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： 选项A、，计算正确，符合题意； 选项B、，计算错误，不符合题意； 选项C、，计算错误，不符合题意； 选项D、，计算错误，不符合题意； 6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，5，7中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故选：B． 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到为直径，再利用勾股定理求出的长，然后根据圆和扇形面积公式可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图2，连接， 由题意，，， ∴为圆O的直径，则， ∵， ∴， ∴废料（即图2中阴影部分）的面积为． 9. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，即可判断A、B；由函数图象即可判断C、D． 【详解】解：由题意得，， 当时，则，故A正确； 当时，，故B正确； 由图象可得，水流速度越大时，水流的力越小，故C错误； 当时， 由函数图象可得，随着的增大而减小， ∴时，，故D正确． 10. 如图，的顶点、分别在轴、轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每4次一循环，即可得到本题答案． 【详解】解：，， ， 如图，过点作轴于点， ． ， ． ． ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转得到的坐标为， 第二次旋转得到的坐标为， 第三次旋转得到的坐标为， 第四次旋转得到的坐标为， 第五次旋转得到的坐标为， 可以发现的坐标四次一循环， ∴第2026次旋转结束时：， ∴坐标为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，x的值可以是_______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握“二次根式中被开方数必须是非负数”这一核心性质． 根据二次根式有意义的条件，先列出被开方数的不等式；再解此一元一次不等式，通过移项、系数化为1求出的取值范围为；最后从该取值范围内选取任意一个符合条件的值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数非负，即， 移项得， 两边同时除以2得， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平角的度数及平行线的性质．首先通过平角计算邻补角，再利用平行线的内错角相等，将已知角转化为与相关的角最终求和得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：． 13. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 14. 发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的运用，根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数的解析式为，代入计算可得解析式，再把时，代入解析式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 15. 如图，点是内一动点，且．连接，分别取的中点，连接．若，则线段长度的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2）先化简 ，再从，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先分别计算二次根式乘法、立方根和三角函数值，再合并同类二次根式； （2）先对括号内通分化简，再把除法变乘法，通过因式分解进行约分，最后根据分式分母不为的条件，选合适的代入求值． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ， 当时，的分母为，不可取， 当时，原式的分母为，不可取， 则取，． 17. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】（1）50，见解析 （2）78，108 （3）小敏能参加决赛，见解析 【解析】 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）按照规则计算最后得分即可解答． 【小问1详解】 解：此次活动共抽取学生数为：名； ∴B等级的人数为：名， 补全频数直方图如下， ． 【小问2详解】 解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：小敏最后得分：， 小敏能参加决赛． 18. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作边的垂直平分线交于点E，即可； （2）过点A作于点F，在中，，，由作法得：点E为的中点，可得，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作法得：点E为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点F， 在中，，， ∴，， 由作法得：点E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 20. 如图，已知，是一次函数反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于. （1）求一次函数解析式及的值； （2）是线段上的一点，连、，若和面积相等，求点坐标. 【答案】（1），；（2）点P的坐标为. 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点B的坐标代入反比例函数中，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）根据A、B点的坐标可以找出C、D点的坐标，由此可得出线段AC、BD的长度以及直线AC、BD的函数解析式，设点P的坐标为（m，），根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可以得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P点的坐标即可得出结论． 【详解】解：（1）将，代入一次函数解析式中，得， 解得：.故一次函数的解析式为. 将代入反比例函数解析式中，得， 解得：. （2）∵，，且轴于，轴于， ∴，，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为. ∵面积和面积相等， ∴， 解得：， 点P的坐标为. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）用到了待定系数法求函数解析式，这个是考试必考内容之一，在日常做题中应多加练习；（2）巧妙的利用点到直线的距离代替了高，减少了运算量． 21. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到，在中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 23. 已知抛物线过点，其中m，n 为常数． （1）若该抛物线与y 轴交于点 ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围； （2）若对于任意实数x，都有，此时抛物线与直线交于M，N两点，求的长． 【答案】（1）； 或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据待定系数法将、代入中，得到m、n的值，从而确定解析式； ②根据二次函数的对称轴得到B点的对称点，再根据二次函数的增减性得到t的取值范围； （2）根据条件求出m、n的值，从而确定解析式，再根据二次函数与直线相交，求出交点M，N的横坐标，就可以得到的长． 【小问1详解】 解：①将、代入中，得 ，解得，∴； ②将代入中，得，∴， 的对称轴为直线，即y轴， ∴关于对称轴y轴的对称点为， ∵，都有， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解：不等式可化为， ∵对于任意实数x，上面式子恒成立， ∴， 将代入中，得， 将代入中，得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与直线交于M，N两点， ∴， 解得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $