8.4.1 平面 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间点、直线、平面的位置关系，核心内容包括平面的概念、画法、表示法及三个基本事实与推论。课前通过问题链（如直线相交符号表示、直尺与桌面关系等）衔接平面几何与空间几何，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动自主学习，结合正方体模型开展合作探究，通过平面概念辨析、点线共面等典例培养直观想象、数学抽象和逻辑推理素养。类题通法总结助学生形成解题策略，教师可利用丰富例题提升教学效率，学生则增强空间观念与推理能力。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面　 素养目标 思维导图 借助长体,在直观认识空间点、直线、平 面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直 线、平面的位置关系的定义,了解3个基本 事实.(直观想象、数学抽象、逻辑推理) 课前自主学习 问题1.如图所示,直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记为a∩b={A}? 提示:一般不记作a∩b={A},而记作a∩b=A,这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合. 问题2.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系? 提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上. 问题3.两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗? 提示:不一定,当三点在同一条直线上时,不能判断两个平面重合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个平面,两平面重合. 问题4.观察正体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),平面AB1D1与平面BCC1B1只有公共点B1吗? 提示:因为平面是可以无限延展的,所以平面AB1D1与平面BCC1B1不只有公共点B1,而是有一条公共直线. 【核心概念】 1.平面的概念 (1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念. (2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平面的局部形象. 2.平面的画法 常常把水平的平面画成一个___________,并且 其锐角画成____,且横边长等于邻边长的__倍 一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感, 被遮挡部分用_____画出来 平行四边形 45° 2 虚线 3.平面的表示法 (1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ. (2)用表示平面的平行四边形的_________的大写字母表示,如平面ABCD. (3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_____表示,如平面AC,平面BD. 希腊字母 四个顶点 顶点 4.基本事实1 文字语言 过_______的三点,有且只有一个平面 图形语言 符号语言 A,B,C三点_______⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α 作用 确定平面 证明四点共面 不共线 不共线 5.基本事实2 文字语言 如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在此平面内 图形语言 符号语言 A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α⇒____ 作用 判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面 两个点 l⊂α 6.基本事实3 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 过该点的公共直线 图形语言 符号语言 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l 作用 确定平面相交 证明三线共点或三点共线 7.推论 推论1　经过一条直线和这条直线外_____,有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条_________,有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条_________,有且只有一个平面(图③). 一点 相交直线 平行直线 课堂合作探究 探究点一　平面的概念及表示 【典例1】(1)下面说法中正确的是(　　) A.任何一个平面图形都是一个平面 B.平静的太平洋面是平面 C.平面就是平行四边形 D.在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【思维导引】根据平面的概念,逐项判断. 【解析】选D.对于A,平面是无限延展的,所以一个平面图形不是一个平面,所以A不正确;对于B,平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,所以B不正确;对于C,平面可以用平行四边形表示,但平面不是平行四边形,所以C不正确;对于D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面,所以D正确. √ (2)三个平面将空间分成7个部分的示意图是 (　　) 【思维导引】根据空间中平面位置关系逐项判断. 【解析】选C.对于A,三个平面将空间分成4个部分,不符合题意;对于B,三个平面将空间分成6个部分,不符合题意;对于C,三个平面将空间分成7个部分,符合题意;对于D,三个平面将空间分成8个部分,不符合题意. √ (3)用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”,正确的是 (　　) A.A∉m,m⊂α　 B.A∉m,m∈α C.A⊄m,m⊂α　 D.A⊄m,m∈α 【思维导引】根据点、线以及线、面的位置关系用符号表示,即得答案. 【解析】选A.由题意用符号表示“点A不在直线m上,直线m在平面α内”, 即A∉m,m⊂α. √ 【类题通法】 三种语言的转换法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. (3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“∉”反映的是点与线,点与面的关系,而“⊂”或“⊄”反映的是直线与平面的关系. 【定向训练】 1.下列各图符合立体几何作图规范要求的是(　　) A.直线在平面内 B.平面与平面相交 C.直线与平面相交 D.两直线异面 √ 【解析】选D.若直线在平面内,应将直线画在平面内,A错误; 平面与平面相交时,两个平面相交于直线,而不是点,B错误; 直线与平面相交,看不到的部分应当画虚线,C错误; 对于D,两直线异面满足作图规范. 2.用符号表示下列语句,并画出图形. (1)点A在平面α内且在平面β外; (2)直线a经过平面α内一点A,α外一点B; (3)直线a在平面α内,也在平面β内. 【解析】(1)A∈α,A∉β.如图①所示. (2)A∈a,B∈a,A∈α,B∉α.如图②所示. (3)α∩β=a.如图③所示. 探究点二　确定平面及点、线共面问题 【典例2】(1)有下列四个结论: ①两条相交直线确定一个平面; ②两条平行直线确定一个平面; ③三个点确定一个平面; ④一条直线和一点确定一个平面. 正确的个数为(　　) A.1　 B.2　 C.3　 D.4 √ 【思维导引】根据平面的有关概念进行分析,从而确定正确答案. 【解析】选B.两条相交直线确定一个平面,两条平行直线确定一个平面,①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面,③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面,④错误.所以正确的有2个. (2)四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线　　　　时,才是一个平面图形.  【思维导引】应用空间想象,讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论. 【解析】当两条对角线不相交时,四边形的四个顶点不共面,故不是平面图形,如图, 对角线BD,AC不相交,即ABCD为空间四边形; 当两条对角线相交时,四边形的四个顶点共面,是平面图形,如图, 对角线BD,AC相交,即ABCD为平面四边形. 答案:相交 (3)(一题多问) 已知正体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BC的中点,P为线段CC1上一动点(不含C),过M,N,P的正体的截面记为α,解决下列问题. ①当P为CC1的中点时,截面α是什么平面图形? ②当≤时,截面α是什么平面图形? ③当截面α为四边形时,该四边形是什么平面图形? 【问题解读】①延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST,结合图形即可判断; ②延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',判断截面α的形状,求出即可判断; ③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,判断四边形A1MNC1的形状即可. 【解析】①如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接并延长N'P交C1D1于T,取A1D1的中点S,连接M'S交AA1于P',连接AC,A1C1,ST, 此时六边形STPNMP'为截面α, 所以截面α为六边形. ②如图所示,延长MN交DA的延长线于M',交DC的延长线于N',连接N'D1交CC1于P,连接M'D1交AA1于P',此时截面α为五边形, 因为CD∥C1D1,所以△CPN'∽△C1PD1, 所以==,即=, 所以当≤时,截面α为五边形. ③当截面α为四边形时,点P与点C1重合,如图, 易得,MN∥A1C1,所以四边形A1MNC1即为截面α, 设正体的棱长为1,则NC1=,MA1=,所以NC1=MA1, 所以四边形A1MNC1是等腰梯形. 【类题通法】 证明点线共面的常用法 (1)纳入平面法:先由基本事实1或其推论确定一个平面,再由基本事实2证明有关点线在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 【定向训练】 1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线 必过(　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 【解析】选D.对于A,B,易得A,B∉β,故必不在γ与β的交线上,故A,B错误;对于C,D,因为过 A,B,C三点的平面记作γ,所以平面ABC与γ是同一个面,因为直线AB∩l=M,所以M∈AB⊂平 面ABC,则M∈γ,又C∈平面ABC,则C∈γ,所以MC⊂γ;因为AB∩l=M,α∩β=l,所以M∈l⊂β,又 C∈β,所以MC⊂β,所以β∩γ=MC,所以γ与β的交线必过点C和点M,故C错误,D正确. 【题后反思】本题主要是利用点线面的位置关系证得MC⊂γ与MC⊂β,从而得到β∩γ=MC. √ 2.已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交,求证A,B,C,D,E这五个 点在同一平面上. 【解析】如图,设CA∩BD=M,CE∩BD=N,因为CA∩CE=C, 所以CA,CE确定一个平面α,因为M∈CA,所以M∈α, 同理N∈α,所以直线MN即直线BD⊂α,所以B∈α,D∈α, 所以A,B,C,D,E这五个点在同一平面上. 探究点三　点共线、线共点问题 【典例3】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为A1D1的中点,经过BE的截 面与棱DD1,A1B1分别交于点F,G,直线BG与EF不平行.证明:直线BG,EF,AA1共点. 【思维导引】先设BG与EF有一公共点,再根据基本事实3证明该 公共点在直线AA1上即可. 【证明】因为B,E,F,G四点共面,BG不平行于EF,所以设BG∩EF=P, 又因为BG⊂平面ABB1A1,EF⊂平面ADD1A1,BG,EF均不平行于AA1, P为平面ABB1A1与ADD1A1的公共点, 因为平面ABB1A1∩平面ADD1A1=AA1, 所以根据基本事实3可得P∈AA1,所以直线BG,EF,AA1共点. 【类题通法】 证明多点共线的法 (1)选择两点确定一条直线,然后证明其他点在这条直线上; (2)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上. 【定向训练】 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β. 求证:AB,CD,l共点. 【证明】如图,梯形ABCD中,因为AD∥BC, 所以AB与CD必交于一点, 设AB交CD于点M,则M∈AB,M∈CD, 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β, 又因为α∩β=l,所以M∈l, 所以AB,CD,l共点. 课堂学业达标 1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 (　　) A.平面MN B.平面NQP C.平面α D.平面MNPQ 【解析】选A.MN是平行四边形MNPQ的一条边,不是对角线, 所以不能记作平面MN. √ 2.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是 (　　) 【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR, 即在此三个图形中,P,Q,R,S共面. √ 3.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH与EF交于 一点P,则 (　　) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或BD上 D.P既不在直线BD上,也不在AC上 【解析】选B.由题意知GH⊂平面ADC,GH与EF交于一点P,所以P∈平面ADC. 同理,P∈平面ABC. 因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上. √ 4.命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是　　　　命题.(填“真”或“假”)  【解析】因为过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,当三点共线时可以确定无数个平面,所以命题为假命题. 答案:假 5.看图填空: (1)AC∩BD=　　　　　;  (2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1=　　　　　;  (3)平面A1C1CA∩平面ABCD=　　　　　;  (4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=　　　　　　.  答案:(1)O　(2)A1B1　(3)AC　(4)OO1 $