8.4.1平面课件(1)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1平面 温州科技高级中学 张明 前面我们是从整体的角度对许多几何体进行了认识，下面我们主要是从局部角度对几何体进行认识。局部角度就是从构成几何体的基本元素：点、直线、面来认识。我们从整体到局部，从局部到整体，这也是符合认识的规律。 初中学习了点、直线概念。到高中我们首先要学习概念：平面。 前面我们也初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系. 一、平面的含义 在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉？ 几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. ①平 1.平面的特征： ②无厚薄 ③无限延展的 2.平面的画法： 3.平面的表示： ①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等, 并写在平行四边形一个角内. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. 平面 ①水平放置： ②竖直放置： A B C D α β 常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形. 判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( ) 2、平面有边界； ( ) 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ) 4、菱形的面积是 4 cm 2； ( ) 5、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集，以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合. 立体几何中位置关系常用三种语言来描述： 文字语言； 图形语言； 符号语言。 A B α B · · A · . . m 直线 在平面α内表示为 直线 在平面α外 表示为 点A在平面α内 表示为A∈α， 点B在平面α外 表示为B∈α 点A在直线l上 点B在直线l外 A B l 直线b与平面α平行 直线c与平面α相交于点C c b C 中国人的思维缺陷 1、不证而论 比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往往不证而论，只有论点，没有论据。 2、以“经典、经验、想当然”作为论据 参考文章：《中国人思维的五大缺陷》作者：芦笛 总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。 西方人思维优点 擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这论据要么是公理要么是定理、性质、推论。最后形成严密的公理化系统，注意是严密，或严密的逻辑系统。逻辑学就是发达于西方. 学习数学有点就是学习西方人如何思维,高考大部分考西方的思维方式。只有算法是考中国人思维方式 引入 二、平面的基本性质 下面，我们来研究平面的基本性质. 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢?我们用日常生活中看到的现象来研究. 自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验说明什么？ 过不在一条直线上 的三个点，有且只 有一个平面. 也可以简单说成 “不共线的三点确定一个平面”. 不在一条直线上三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC. 基本事实1给出了 确定一个平面的依据 α A B C 1.基本事实1 文字语言： 图形语言： 点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B∉l. 点A在平面α内,记作A∈α；点P在平面α外,记作P∉α. 如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢? 直线上有无数个点,平面内有无数个点， 直线、平面都可以看成是点的集合. 因此， α A B P l 在实际生活中，我们有这样的经验:如果一根台球杆上任意两点在桌面上，那么台球杆就在桌面上，上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实: 二、平面的基本性质 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”,由基本事实1,给定不共线三点A、B、C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB、BC、CA，由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直 α l 利用基本事实2可以判断 直线是否在平面内 2.基本事实2 文字语言： A B 平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α. 图形语言： 符号语言： A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α. 二、平面的基本性质 线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. 利用信息技术工具，可以方便地作出这个图形，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程， 想象直线和平面的关系. A B C 利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. α a A α α b a b a P 二、平面的基本性质 不共线的三点、一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线，都能唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时也会用到. 经过A、B、C三点确定一个平面α.由基本事实2， α l A B C 现在我们来证明一下推论1，如右图. 在直线l上任取两点B和C，由基本事实1得， 直线l也在平面α内,则平面α经过直线l和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面. 用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗? 推论1~3给我们提供了确定“一个平面的另外几种方法. 如右下图,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？ 可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内, 否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2. 二、平面的基本性质 如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.教室里相邻墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实: B α 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 3.基本事实3 文字语言： 图形语言： 如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面. α l P 二、平面的基本性质 基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个 公共点,那么这两个平面一定相交于过这个公共 点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实， 使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”. α l P 平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l. 符号语言： P∈α，且P∈β ∩β=l,且P∈l. 在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(如下图). α A B α A B 上述三个关于平面的基本事实,是人们长期观察与实践总结出来的,是几何推理基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础. 二、平面的基本性质 例1 如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确， 并说明理由. 三、典型例题 (1)直线AC1在平面CC1B1B内( ) (2)平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1( ) (3)由A、O、C确定一个平面( ) (4)由A、C1、B1确定的平面是平面ADC1B1( ) (5)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一 平面( ) D B C A D1 C1 B1 A1 O O1 三、典型例题  l A 例2 根据下列语句画出图形，并用符号表示. (1)点A在平面内，点B不在平面内，点A、B都在直线l上； (2)平面与平面相交于直线m，直线n在平面内，并且平行 于直线m. B   n m 解：(1) (2) 同学们，书上只介绍了三个基本事实即公理，为什么？ 那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性质等。 有的同学马上想知道这三个事实即三个公理还有推导到底用在哪里？ 公理系统是什么？我们前面提过。 什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不能证明的。 同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很显然但证明却是不容易。 定理：两条平行线一条垂直一个平面另一条也垂直这个平面 这样的定理很多。 同学们注意，以上的定理其实我们都是不知不觉无意识的在使用它们了，在中国这是显然的经验，在使用这些定理时我们自己都没有意识到。西方人不这么干，他把这些不知不觉无意识使用的经验拿出来用公理化思想证明,形成一个极其严密不是松散的系统。这造就了西方发达的科技。 如果我们不学习其实同学们在证明命题时自己自动会使用它们，连自己都没有意识到。因为太显然了，比公理还显然，太常识了，以至于我们没有注意它们,是熟视无睹啊。 我们为什么要学习这几个定理就是让无意识的东西进入我们的意识。 例3：如果一条直线与两条平行线都相交，那这三条直线是否共面？ 已知a∥b，直线c使a∩c=A，b∩c=B，求证a、b、c三直线共面 分析：同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来的性质，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使用。注意我们证明题目时的论据都是来自于教材，教材之外的不会考到，虽然教材之外补充了许多定理、性质。 同学们有没有发现西方人没事找事做，吃饱了撑着？正因为西方人的这种刨根究底的精神造就了西方发达的科学。在中国这些是经验，没有证明的迹象。 虽然结论很明显，但证明却不太容易。 证：∵a∥b，∴a、b唯一确定一个平面 。（公理1、2中的推论3） ∵A∈a，∴A∈ ；∵B∈b,∴B∈ 。 ∵A、B∈c，∴c (公理2) 例4：已知长方体ABCD-A′B′C′D′中E、F为DD′、BB′中点或一点，求△AEF与下底面的交线 书上习题： 平面的基本性质 概念与表示 性质 平；无大小；无厚度；可以无限延展。 画法：平行四边形 记法：希腊字母；四个顶点；一条对角线。 公理2： 公理3： 公理1： A B C 公理2： A l B 公理3： 推论1： A B C 推论2： a b p 推论3： b a 课堂小结： $