2026年广东广州市初中学业水平考试-数学考前信息卷（二）

**基本信息** 以盾构机、春晚机器人等科技与社会热点为情境，覆盖代数几何统计核心知识，梯度设计适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数、三视图、统计量、因式分解、函数图像|第9题结合盾构机隧道求圆半径，体现科技情境与几何直观| |填空题|6/18|分式意义、逆命题、概率、动态几何、无限循环小数化分数|第15题类比化无限循环小数为分数，培养推理意识| |解答题|9/72|不等式、菱形证明、函数综合、纸张规格探究、消防抛物线模型|第24题消防水流抛物线建模，第23题纸张规格实践探究，发展模型意识与创新意识|

2026年广州市初中学业水平考试 数学考前信息卷（二） 本试卷共8页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写 在答题卡上。用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条 形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1.下列各数中，是有理数的是 (C) A. B.tan 60° D.π 2.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是 (B ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 主视图 俯视图 第2题图 第6题图 3.在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌。假设在全红蝉的某场跳水比赛 中，5位裁判给出的分数分别是9.5,9.3,9.5,9.1,9.1，则下列说法正确的是 (B) A. 平均数是9.2 B. 中位数是9.3 C. 众数是9.5 D. 方差是0.8 4.下列从左到右的变形，属于因式分解的是 (A ) A.x²+x=x(x+1) B.(x+2)(x-2)=x²-4 C.(x+1)²=x²+2x+1 D.x²-x+1=x(x-1)+1 5.若反比例函数 的图像经过点（2,-3)，则一次函数y=kx-k 的图像不经过 (C) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.如图，某停车场入口的栏杆AB, 从水平位置绕点0旋转到A'B′ 的位置，已知AO的长为4米。若 栏杆的旋转角∠AOA′=α, 则栏杆A端升高的高度为 (B) B.4 sinα 米 D.4cosα 米 7. 若( m+n)²=9,(m-n)²=1, 则 mn 的值为 (C) A.8 B.4 C.2 D.1 8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中 ，Q 为边 BC的中点，P 为对角线AC 上一动点，连接 PB, PQ, 则△PBQ 周长的最小值为 (C) A. B.3 C. +1 D.2 B 隧道 地面c A地下 ( 第8题图 )第9题图 9.盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全 球领跑的跨越。如图，高速公路隧道的有效高度AB为6.4 m, 隧道入口宽CD为9 . 6m, 该隧道 所在圆的圆心为0，则这个圆的半径是 ( B ) A.6m B.5m C.4m D.3m 10.点 M(x₁,y₁) 与点N(x₂,y₂) 在二次函数y=x²-2ax+c(a,c 为常数）的图像上，若 x₁<x₂, 则下列 说法正确的是 ( B ) A. 当x₁<a 时 ，y₁>y₂ B. 当x₁>a 时 ，y₁<y₂ C. 当 x₂<a 时，y₁<y₂ D. 当x₂>a 时，y₁>y₂ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.代数有意义时，x 应满足的条件是 x>6 12.已知命题：对顶角相等。写出它的逆命题： 相等的角是对顶角 ，该逆命题是 假 命题。 （填“真”或“假”） 13.2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》。小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率； 14.我们知道，四边形具有不稳定性。如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D', 当 变形后的图形面积是原图形面积的一半时，∠A′= 30 °. 第 1 4 题 图 第16题图 15.一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，如0.7=0.77…设0.7=x. 由 0.7=0.77…可知10x=7.77 … , 所以10x-x=7, 解得 类比上述方法，无限 循环小数1.41化为分数形式为 16.如图，在矩形ABCD中 ，AB=6, AD=2√3,E 为边 CD 上一动点，以BE 为边构造等边△BEF ( 点 F 位于AB下方），连接AF. 当 CE=BC 时 ，∠ABF= 15 °；点 E 在运动的过程中，AF的 最 小值为 三、解答题（本大题共9小题，满分72分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (4分）解不等式：3x-1>5. 解：移项，得3x>5+1. 合并同类项，得3x>6. 系数化为1，得x>2. 18. (4分）如图，在菱形ABCD 中，E,F 分别是边 CD,BC 上的点，CE=CF, 连接BE,DF 交于点G. 求证：BE=DF. 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC=DC. 在△BCE 和 △DCF 中， ∴△BCE≌△DCF(SAS).∴BE=DF. 19. (6分）已知 （1）化简A. （2）从条件①、条件②中选择一个作为已知，求A 的值。 条件①：若P(a,a+2) 是反比例函数图像上的点； 条件②：若a 是方程x²+x=8-x 的一个根。 (2） 选择①作为已知条件。 将 得， a(a+2)=8, 选择②作为已知条件。 20. (6分）如图，在△ABC中 ，AB=AC. （1）尺规作图：作边BC 上的中线A0; ( 保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，将中线A0 绕点0旋转180°得到DO, 连接BD,CD. 求证：四边形ABDC 是菱形。 (1）解：如图，AO 即为所求。 （2） 证明：∵AO 是边BC 上的中线，∴ OB=OC. 又∵OA= OD, ∴四边形ABDC 是平行四边形。 又∵AB=AC ,∴四边形ABDC 是菱形。 21. (8分）2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费 热”。某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售。 （1）若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资2.5万元。求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元； （2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术 升级，甲型机器人的进价每台降低a 万元，乙型机器人的进价每台降低0.8a 万元，所购甲 型机器人的数量是所购乙型机器人数量的 解：（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x 万元，y 万元。 依题意，解得 答：甲型机器人每台的进价为0.5万元，乙型机器人每台的进价为0.3万元。 （2）依题意，解，得a =0.25. 经检验，a=0.25 是原分式方程的解且符合题意。 答：a 的值为0.25. 22. (10分）如图，一次函数y=2x 的图像与反比例函数 .将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B,D 为 x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的 横坐标，连接BD,BD 的中点C 在反比例函数 （1）求n,k 的值。 （2）当m 为何值时，AB·OD 的值最大？最大值是多少？ 解：（1）将点A(4, n) 代入y=2x, 得n=8. ∴点A 的坐标为（4,8）. 将点 ，得k=32. （2）∵点B 的横坐标大于点D 的横坐标，∴点B 在点D 的右侧。 如图，过点C 作直线EF⊥x轴于点F, 交AB 于点E. 由平移的性质，得AB//x 轴，AB=m, ∴∠B=∠CDF. ∵C 为BD的中点，∴BC=DC. 在△ECB和△FCD中， ∴△ECB≌△FCD(ASA).∴BE=DF,CE=CF. ∵ AB// x 轴，点A的坐标为（4,8）, ∴EF=8.∴CE=CF=4. ∴点 C的纵坐标为4. 由（1）知，反比例函数的解析式为： ∴ 当y=4 时，x=8. ∴ 点C的坐标为（8,4). ∴点E 的坐标为（8,8），点F 的坐标为（8,0）. ∵点A(4,8) ,AB=m,AB/ /x 轴，∴点B 的坐标为（m+4,8). ∴BE=m+4-8=m-4.∴DF=BE=m-4. ∴OD=8-(m-4)=12-m.∴AB·OD=m(12-m)=-(m-6)²+36. ∴当 m=6 时，AB · OD的值最大，最大值为36. 23. (10分）综合与实践 主题：纸张规格的奥秘 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用。 目前在国际最常使用的是 ISO 所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如 A4,B5 等。在不同年代，全球各地也有当地通用 的纸张尺寸。在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活 的便利性。 探究：如图1,An 系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②A1 纸对裁后可以得到两张A2 纸 ，A2 纸对裁后可以得到两张 A3 纸，An 纸对裁后可以 得到两张 A(n+1) 纸，我们把符合这种形状的纸称为A 系纸。 （1）直接写出A 系纸长与宽的比： 2:1 （2）如图2，折叠 A 系纸片ABCD，点 B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF, 连接EF, 然后将纸片 展开。G为 AE 的中点，连接FG, 折叠纸片ABCD，点 B 落在 FG 上的点H 处，折痕为 FP, 连 接PH, 然后将纸片展开。过点P 作 PQ⊥EF 于点Q, 四边形纸片BFQP 是不是A 系纸片？ 如果是，请证明；如果不是，请求出长与宽的比。 （3）在图2中，四边形纸片CDEF 是不是A 系纸片？如果不是，请在纸片CDEF 中折出A 系纸 片，画出图形，并加以证明。 解：（2）四边形纸片 BFQP不是A 系纸片。 ( A2 )在长方形ABCD中， ( A1 )∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°, 且由折叠可得AE=AB,EF=BF ,∠AEF=90°, ( A3 )∴四边形ABFE 为正方形。 ( 图2 ) ( 图1 )∴AB=BF=EF=AE,∠BFQ=90° . ∵PQ⊥EF,∴∠PQF=90°.∴四边形BFQP 是矩形。 由折叠可得PH=PB,∠PHF=∠B=90° . 如图2，连接PG.设BF=m, BP=n. ∵S正方形ABFE=S△PAG+S△PBP+S △PFG+S △FEG, ∴ 四边形纸片BFQP不是A 系纸片，长与宽的比为（ +1）:2. (3）设AB=p, 则CD=BF= p. ∵四边形ABCD 是A 系纸片，∴ BC= AB= p. ∴CF=ED= p-p=( -1)p. ,∴ 四边形纸片 CDEF不是A 系纸片。 如图2，折叠纸片 CDEF，点C 落在EF 上的点T 处，折痕为FK, 连接TK，纸片 ETKD为 A 系纸片。 证明如下：由折叠可得FT=FC,∠FTK=∠C=90° . 由（2）知∠BFE=90°,∴∠BFE=∠FTK=∠C=90°.∴TK//BC,CK//EF. ∴四边形TFCK 是正方形，∠DKT=∠C=90°. 又∵∠ETK=180°-∠FTK=90°,∠D=90°,∴ 四边形ETKD是矩形。 ∴ED=KT=CK=FC=(√2-1)p. ∴DK=CD-CK=p-( -1)p=(2- )p. ,∴四边形纸片ETKD是A 系纸片。 24. (12分）【问题背景】数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出的水流呈抛物 线形状，并对相关问题进行研究。 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点0处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流在与原点0 的水平距离为6m 时达到最高点，最大高度为18m; 信息2：从点0处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与原点0的水平距离为8 m; 信息3：若消防员将水枪喷水口从点0处向右移动tm 至点B 处，但不改变消防水枪的喷水角 度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处 . （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 （1）求此次消防演练中点0处喷出的抛物线形状水流的解析式； （2）求信息3中t 的值。 【联系拓广】 （3）如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用上下边缘均为 抛物线形状。如图3，无人机的出水口点E 位于y 轴上，喷出水流的上沿抛物线解析式 下沿抛物线的解析式为 ( h 为出水口点E 到地面的高度)，高 楼外墙与y 轴仍相距8m. 当点E 沿y 轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出 的水流恰好覆盖4.9m 长的火带 CD处 ( 即CD 两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线 上且CD=4.9m)? 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由。 ( 图2 ) ( 图3 ) ( y/mA 高楼 of B 地面 x/m 图1 ) 解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x- 6)²+18(a≠0). 将点（0,0）代入，得a× (0-6)²+18=0，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）当x= 8 时，,∴点A的坐标为（8,16). 抛物线向右移动t m 后的解析式为 将点A(8,16 ）代入，得，解得t₁=4 ,t₂=0 （舍去）. ∴t 的值为4. （3）当x=8 时，两条抛物线的纵坐标分别为 ∵y₁-y₂= (-6.4+h)-(-12.8+h)=6.4>4.9, ∴点E 需要向右移动。 设顶点E 向右平移n m，平移后的上沿抛物线解析式为 ，下沿抛物线的解析式为 当x= 8 时 ,解得n₁=1, n₂=15 ( 不合题意，舍去） . ∴无人机的出水口点E 需向右移动1 m. 25. (12分）如图，在梯形ABCD中 ，AB//CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,E 为线段CD 上 一 动点（不与点C重合）,△BCE关于BE 轴对称的图形为△BFE, 连接CF. （1）若∠CBE=30°, 求证：△BCF 是等边三角形。 （2）若⊙0为△CEF 的外接圆，设⊙0的半径为r. ①求r 的取值范围 ②直线AD 能否与⊙0相切？如果能，求CE的长；如果不能，请说明理由。 (1）证明：由轴对称的性质，得 ∠FBE=∠CBE,BF=BC. ∵∠CBE=30°, ∴∠CBF=2∠CBE=60° . ∴△BCF是等边三角形。 (2）解：①∵AB//CD,∴∠BCE+∠ABC=180°,∴∠BCE=180°-∠ABC=90° . 由轴对称的性质，得∠BFE=∠BCE=90°,CE=FE,CB=FB. ∴∠BFE+∠BCE=180°,BE垂直平分CF. ∴∠CEF+∠CBF=360°-180°=180° . ∴B,C,E,F 四点共圆，且BE 是直径。 在 Rt△BCE中，由勾股定理，得BE= √BC²+CE². 又∵BC=4,0<CE≤5,∴ 4<BE≤√ 41. ∴ ②直线AD能与◎0 相切。 如图，由①可知圆心0是BE 的中点，过点0分别作PQ//DC 交AD 于点P, 交BC于点Q, 作OM⊥AD 于点M, 过点D 作DH⊥AB交BA 的延长线于点H. 设CE=x, 则易得 ,PQ=4. ∴ ∵PQ//CD,AB//CD, ∴PQ//AB. ∴∠OPM=∠DAH. ∵OM⊥AD,DH⊥AH,∴∠OMP=∠DHA=90° . ∴△OMP∽△DHA.∴ 由图易知四边形HBCD是矩形，∴HB=CD=5,HD=BC=4. ∴AH=HB-AB=2. ∴AD=√AH²+HD²=2√5. ,解得x=-32±20√ 3. 又∵CE>0,∴CE=-32+20√ 3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广州市初中学业水平考试 数学考前信息卷(二) 本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写 在答题卡上.用2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条 形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.下列各数中，是有理数的是 ( ) A. B.tan 60° D.π 2.某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 主视图 俯视图 第2题图 第6题图 3.在2024年巴黎奥运会中，“中国梦之队”首次包揽了8枚金牌.假设在全红蝉的某场跳水比赛 中，5位裁判给出的分数分别是9.5,9.3,9.5,9.1,9.1,则下列说法正确的是 ( ) A. 平均数是9.2 B. 中位数是9.3 C. 众数是9.5 D. 方差是0.8 4.下列从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A.x²+x=x(x+1) B.(x+2)(x-2)=x²-4 C.(x+1)²=x²+2x+1 D.x²-x+1=x(x-1)+1 5.若反比例函数 的图像经过点(2,-3),则一次函数y=kx-k 的图像不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.如图，某停车场入口的栏杆AB, 从水平位置绕点0旋转到A'B′ 的位置，已知AO的长为4米.若 栏杆的旋转角∠AOA′=α, 则栏杆A端升高的高度为 ( ) B.4 sinα 米 D.4cosα 米 7. 若( m+n)²=9,(m-n)²=1, 则 mn 的值为 ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中 ，Q 为边 BC的中点，P 为对角线AC 上一动点，连接 PB, PQ, 则△PBQ 周长的最小值为 ( ) A. B.3 C.+1 D.2 B 隧道 地面c A地下 ( 第8题图 )第9题图 9.盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”,我国盾构机已实现从依赖进口到全 球领跑的跨越.如图，高速公路隧道的有效高度AB为6.4 m, 隧道入口宽CD为9 . 6m, 该隧道 所在圆的圆心为0,则这个圆的半径是 ( ) A.6m B.5m C.4m D.3m 10.点 M(x₁,y₁) 与点N(x₂,y₂) 在二次函数y=x²-2ax+c(a,c为常数)的图像上，若 x₁<x₂, 则下列 说法正确的是 ( ) A. 当x₁<a 时 ，y₁>y₂ B. 当x₁>a 时 ，y₁<y₂ C. 当 x₂<a 时，y₁<y₂ D. 当x₂>a 时，y₁>y₂ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.代数有意义时，x 应满足的条件是 12.已知命题：对顶角相等.写出它的逆命题： ,该逆命题是 命题. (填“真”或“假”) 13.2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》《惊蛰无声》.小明和小亮各自随机选择其中一部 观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是 14.我们知道，四边形具有不稳定性.如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D', 当 变形后的图形面积是原图形面积的一半时，∠A'= °. ( 第16题图 )第14题图 15.一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，如0.7=0.77…,设0.7=x. 由 0.7=0.77…,可知10x=7.77 … , 所以10x-x=7, 解得 类比上述方法，无限 循环小数1.41化为分数形式为 16.如图，在矩形ABCD中 ，AB=6,AD=2,E 为边 CD 上一动点，以BE 为边构造等边△BEF ( 点 F 位于AB 下方),连接AF. 当 CE=BC 时 ，∠ABF= °;点E 在运动的过程中，AF的最 小值为 三 、解答题(本大题共9小题，满分72分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (4分)解不等式：3x-1>5. 18. (4分)如图，在菱形ABCD 中，E,F 分别是边 CD,BC 上的点，CE=CF, 连接 BE,DF 交于点G. 求证：BE=DF. 19. (6分)已知 (1)化简A. (2)从条件①、条件②中选择一个作为已知，求A 的值. 条件①:若P(a,a+2) 是反比例函数图像上的点； 条件②:若a 是方程x²+x=8-x 的一个根. 20.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC. (1)尺规作图：作边BC 上的中线A0; ( 保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，将中线A0 绕点0旋转180°得到DO, 连接BD,CD. 求证：四边形ABDC 是菱形. 21. (8分)2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费 热”.某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售. (1)若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型 机器人5台，共耗资2.5万元.求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元； (2)在(1)的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术 升级，甲型机器人的进价每台降低a 万元，乙型机器人的进价每台降低0.8a 万元，所购甲 型机器人的数量是所购乙型机器人数量的 22. (10分)如图，一次函数y=2x 的图像与反比例函数 .将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B,D 为 x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的 横坐标，连接BD,BD 的中点C 在反比例函数 (1)求n,k 的值. (2)当m 为何值时，AB·OD 的值最大?最大值是多少? 23. (10分)综合与实践 主题：纸张规格的奥秘 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用. 目前在国际间最常使用的是 ISO 所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如 A4,B5 等.在不同年代，全球各地也有当地通用 的纸张尺寸.在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活 的便利性. 探究：如图1,An 系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②A1纸对裁后可以得到两张 A2 纸，A2 纸对裁后可以得到两张 A3 纸，…,An 纸对裁后可以 得到两张 A(n+1) 纸，我们把符合这种形状的纸称为A 系纸. (1)直接写出A 系纸长与宽的比： (2)如图2,折叠 A 系纸片ABCD,点 B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF, 连接EF, 然后将纸片 展开.G为 AE 的中点，连接FG, 折叠纸片ABCD,点 B 落在 FG 上的点H 处，折痕为 FP, 连 接 PH, 然后将纸片展开.过点P 作 PQ⊥EF 于点Q, 四边形纸片BFQP 是不是 A 系纸片? 如果是，请证明；如果不是，请求出长与宽的比. (3)在图2中，四边形纸片CDEF 是不是A 系纸片?如果不是，请在纸片CDEF 中折出A 系纸 片，画出图形，并加以证明. ( 图2 )图1 24. (12分)【问题背景】数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出的水流呈抛物 线形状，并对相关问题进行研究. 【数据收集】 信息1:如图1,以消防水枪喷水口点0处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流在与原点0 的水平距离为6 m 时达到最高点，最大高度为18m; 信息2:从点0处喷出的水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与原点0的水平距离为8m; 信息3:若消防员将水枪喷水口从点0处向右移动tm 至点B 处，但不改变消防水枪的喷水角 度与水压(即水流的抛物线形状与大小不变),此时水流未达到最高点但恰好到达点A处 . (以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状) 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点0处喷出的抛物线形状水流的解析式； (2)求信息3中t 的值. 【联系拓广】 (3)如图2,此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用上下边缘均为 抛物线形状.如图3,无人机的出水口点E 位于y 轴上，喷出水流的上沿抛物线解析式 为 下沿抛物线的解析式为 为出水口点E 到地面的高度),高 楼外墙与y 轴仍相距8m. 当点E 沿y 轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出 的水流恰好覆盖4.9 m 长的火带CD处 ( 即CD 两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线 上且 CD=4.9m)? 若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由. ( 图1 ) ( 图2 )图3 25. (12分)如图，在梯形ABCD中 ，AB//CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=5,E 为线段CD 上一动点(不与点C 重合),△BCE关于BE 轴对称的图形为△BFE, 连接CF. (1)若∠CBE=30°, 求证：△BCF 是等边三角形. (2)若⊙0为△CEF 的外接圆，设⊙0的半径为 r. ①求r 的取值范围. ②直线AD能否与⊙0相切?如果能，求 CE的长；如果不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $