2026届全国1卷高考数学考前自测卷（3）

**基本信息** 聚焦数学眼光、思维与语言，通过“果圆”“半球挖圆柱”等创新情境及农业光照统计分析，实现知识整合与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8/40、多选3/18|集合、复数、立体几何、解析几何、函数|第4题“果圆”融合椭圆离心率，考查几何直观；第8题导函数单调性与奇偶性，体现推理能力| |填空题|3/15|函数图像、新定义、切线与数列|第14题切线构造数列，结合导数与求和，考查运算能力| |解答题|5/67|三角函数、统计、立体几何、圆锥曲线、函数创新|16题农业光照统计分析，结合回归与残差，体现数据观念；19题新定义“P”性质，考查逻辑推理|

2026年全国1卷高考数学考前自测卷（3）（解析版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ ，且函数在上单调递增，∴ ， 又，∴ . ∵ ，且函数的定义域为，在上单调递增， ∴ ，∴ . ∴ ，故选D. 2．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值. 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 4．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围. 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 5．已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将不等式转化为，根据余弦函数的性质求出的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解. 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得，，即，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 6．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合图形可得，在中用余弦定理求与的关系，进而在中用余弦定理求离心率. 【详解】由双曲线定义得：， 轴是的中垂线，在轴上，故， 设，由得，则， 因此. ，故， 在中由余弦定理可得：， 代入： ， 故，结合得：. 在中由余弦定理可得：， 代入， 化简得：，将代入可得： ， 化简得：， 故. 8．已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知前项和为的数列满足，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前18项和为 D．不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】对于A，作差得，再根据通项判断即可；对于B，由，再分组求和即可判断；对于C，运用裂项相消法求和即可；对于D，根据题意可得，即，进而可得与题干矛盾． 【详解】， ，() ，则， 又时，满足上式， 故数列是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确； ，则，故B正确； ， 则数列的前18项和为，故C错误； ，则， 若，，成等差数列， 则，即，， 即，又，，为正整数， ，即与题干矛盾， 即不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列，故D正确． 10．某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式分别计算各选项对应概率，判断正误即可. 【详解】由题意得：，，，. 对于A：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率，为，故A正确； 对于B：由乘法公式可得，故B错误； 对于C：由全概率公式可得，故C正确； 对于D：由条件概率公式可得，，显然，故D错误. 11．已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（     ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．以为直径的球的表面积为 D．若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量共线判断A；利用空间向量证明平面，进而结合棱锥的体积公式求解判断B；利用空间向量求出，进而可得以为直径的球的半径为，进而结合球的表面积公式求解判断C；连接分别交平面于点，连接，易得，进而结合相似求解判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设，，即， 则，设平面的一个法向量为， 则，取，得. 对于A，若平面，则，即存在非零实数使得， 则，无解，所以不存在点，使得平面，故A错误； 对于B，由于，则， 因为平面，所以平面， 而点为线段上的动点，则点到平面的距离为定值，而为定值， 则为定值，故B正确； 对于C，因为， 所以以为直径的球的半径为， 则以为直径的球的表面积为，故C正确； 对于D，由B知，平面，连接分别交平面于点， 连接，由于平面平面，平面，则， 由于，则，所以， 由C知，，则， 因此，若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 13．定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 14．已知函数，按如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与轴交点的横坐标为.若数列满足，.记数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，结合条件得到，进而可得数列是以为首项，公比的等比数列，从而将问题转化成对恒成立，再分为奇数和偶数，即可求解. 【详解】因为，则在点处作的切线为， 若，则，与轴平行，不合题意，所以， 令，得到，所以， 又， 则， 又，所以数列是以为首项，公比的等比数列， 则，， 又对恒成立， 即对恒成立， 当为奇数时，，又易知在上递增，时，，则， 当为偶数时，，即， 易知在上递减，时，，则， 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题 15．（13分）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值. （2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长. 【详解】（1）由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． （2）因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 16．（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 (1)求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【答案】(1)适合， (2) 0 1 2 【分析】（1）根据公式先求得，可得与的线性相关性很强，适合线性回归模型拟合，进而结合公式求解即可； （2）计算可得异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组，进而可得的所有可能取值为0，1，2，分别求出每一个对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】（1）由已知，得， ， 所以， 所以． 因为，说明与的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合． 因为， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）由（1）知，． 因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据， 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示． 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组， 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数的所有可能取值为0，1，2． 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则的数学期望. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) 见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接、，根据题意，得平面，由线面垂直即可得到线线垂直；   （2）根据题意建立空间直角坐标系，通过计算两个平面的法向量即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接 ，如图所示： 因为底面为菱形，所以， 且为和的中点，又为线段的中点，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）设的中点为，连接，， 因为底面为菱形，且，， 所以，，均为等边三角形， 所以，，又，，平面，所以平面， 以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由上得，又， 所以， 又，所以 故点在平面中的投影在的延长线上， 所以，， 由，得，， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则有，取，则， 设平面的法向量， 则有，取，则， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 18．（17分）已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切． (1)求的轨迹的标准方程． (2)的三个顶点均在上且的重心为原点，点的坐标为． （ⅰ）求直线的一般式方程（用、表示）； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设圆的半径为，结合已知条件表示，根据椭圆的定义求出，进而求出椭圆方程； （2）（ⅰ）设，，利用重心的性质得出，求出，进而得出，再代入点坐标求解； （ⅱ）求出直线在轴上的截距为，进而求出，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出，进而再利用重心的性质求出的面积． 【详解】（1）圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 动圆与圆外切，与圆内切，设圆的半径为 ，， ， 的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆， ，，， 的轨迹的方程为：． （2） （ⅰ）设，， 由的重心为原点， ，， 记的中点为， ， 又，， 直线的方程：，即， 直线的一般式方程； （ⅱ）令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆方程可得， 即，则，， ， ， 设坐标原点为，是的重心， ， 的面积是． 19．（17分）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数在区间单调递增； （2）根据新定义，转化为函数，在区间上单调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解； （3）首先根据新定义，转化为，再通过构造函数，，，转化为证明，转化为利用极值点偏移解决问题. 【详解】（1）函数和在上具有性质“”. 理由如下： 因为和在上均为偶函数，且在上单调递增， 所以只需考虑的情况， 令，则， 所以在区间上单调递增，且，所以恒成立， 则，即， 则，再根据函数是偶函数， 即，， 所以函数和在上具有性质“”. （2），在区间单调递增，在上单调递增， 设，若函数和具有性质“”， 则，整理为 设，由以上可知，在区间上单调递增， 即， 当时，恒成立， 令，，，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以； （3）由题意可知，存在，， ，又， 则，即， ，，设，， ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 设，，不妨设，，，且， 设， ， 所以在区间上单调递减，且，即， 即，即，则， 即，则，得，即证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国1卷高考数学考前自测卷（3） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则＝（   ） A． B． C． D． 2．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知前项和为的数列满足，则（ ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前18项和为 D．不存在互不相等的正整数，，，使得，，成等差数列 10．某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的，，各自产品中的次品率分别为，，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（    ） A． B． C． D． 11．已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（     ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．以为直径的球的表面积为 D．若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 13．定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 14．已知函数，按如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与轴交点的横坐标为.若数列满足，.记数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为_________. 四、解答题 15．（13分）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 16．（15分）某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 (1)求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望． 附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 0 1 2 每日光照时长 14 15 16 17 18 合格采收量 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 0 1 2 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，为线段的中点. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 18．（17分）已知圆，圆，动圆与圆外切，与圆内切． (1)求的轨迹的标准方程． (2)的三个顶点均在上且的重心为原点，点的坐标为． （ⅰ）求直线的一般式方程（用、表示）； （ⅱ）求的面积． 19．（17分）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”． (1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由； (2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围； (3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $