专题04 三角恒等变换（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 以公式应用为核心，从基础变换到综合应用的递进式专项训练，突出重点题型与跨模块结合，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|题型一/二/五（18题）|考查和差、二倍角公式正逆用及积化和差等基础变换|从单一公式到公式变形，构建恒等变换基础能力| |重点综合应用|题型三/四/六/九（26题）|聚焦给值求值/角、辅助角公式及与三角函数结合|整合多公式应用，强化条件转化与综合运算能力| |拓展应用|题型七/八（11题）|涉及三角形形状判断及实际问题建模|连接几何与实际情境，发展模型意识与应用能力|

专题04 三角恒等变换 题型一 和差公式的正用和逆用 题型六 辅助角公式及三角函数式化简（重点） 题型二 二倍角公式的正用和逆用 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 题型三 给值求值问题（重点） 题型八 三角恒等变换的实际应用（难点） 题型四·给值求角问题（重点） 题型九 三角恒等变换与三角函数（重点） 题型五·积化和差、和差化积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 和差公式的正用和逆用 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得： . 2．tan（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 3．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，则，即①， 因为，所以②， 联立①②解得，， 所以. 4．在中，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】，所以， ，所以， 所以. 5．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 6．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    题型二 二倍角公式的正用和逆用 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，又，得， 则， 所以“”是“”的充分条件； 若，且，则，所以， 若，则，可得， 若，则，可得. 故“”不是“”的必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 8．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得，， 由，，得，， 所以，， . 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 又， 所以， 所以， 又 . 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 11．已知∈（0，），且满足，，则______. 【答案】/ 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 12．已知，则______． 【答案】/ 【详解】因为， 所以，所以，所以， 则. 题型三 给值求值问题 13．，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。 14．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，因为，可得， 所以， 所以. 15．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 将上面两式相加得，所以， 将上面两式相减得，所以， 所以． 16．已知，则______． 【答案】 / 【详解】注意到，令，已知， 由二倍角公式，代入得. 17．已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵，，∴， ∴； （2）∵，，∴， ∵，∴， ∴ ． 题型四·给值求角问题 18．若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 19．已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2），即， . （3）因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 20．已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 21．已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 22．已知. (1)若，求的值. (2)若，，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， ，. （2）依题意，由，可得，， . ，， 又,， ，. 题型五·积化和差、和差化积 23．的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 24．（多选）已知函数，若，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由， 则， 即， 而，， 则， 即， 则或. 当时，， 所以； 当时，， 即，解得. 故选：ABC 25．已知，则________． 【答案】11 【详解】因为 而， 代入可得：. 26．已知，则_____________________． 【答案】 【详解】解法一：由已知及和差化积公式： ， ， 得①， ②， ①②，得 ，． 解法二：由，，得 ， ， 由于，故两式相除可得. 故答案为：． 27．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． (1)证明：． (2)运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由于， 且， 将两式相加，得， 两边同时除以2，得． （2）（i）由（1）可知 ， 结合已知条件可得． （ii） 由于，， 所以，原式 ， 当且时取到最大值，最大值为． 题型六 辅助角公式及三角函数式化简 28．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 29．当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据辅助角公式，，其中，， 当，时，取得最小值，， 所以. 30．已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将代入， 得， 令， 因为，所以， 所以， 所以， 所以原方程即为， 解得或(舍)， 所以，， 所以， 解得. 31．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，函数， 由，得， 则函数的图象关于点对称，即， 当时，；当时，，BD是， 不存在整数，使得，AC不是. 32．函数的单调增区间为______. 【答案】 【详解】 . 由，得， 所以函数的单调增区间为. 33．函数的最大值为_____. 【答案】1 【详解】 ， 设，即， 因此当，即时,. 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 34．在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】考虑为到的斜率， 因为， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 35．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 36．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 【答案】C 【详解】因为，故， 故，故， 而，故即，故三角形为等腰三角形， 故选：C. 37．在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】因, 故，， 则，即， 整理得，，因，故，故是直角三角形. 故选：C. 38．在中,如果,那么的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【详解】解:由题知,因为中, 所以 , 故,即均为锐角, 但无法确定大小,故的形状不能确定. 故选:D 39．（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】BC 【详解】由 因为，且， 可得， 所以，可得或， 因为，所以或，所以为直角或等腰三角形. 故选：BC. 题型八 三角恒等变换的实际应用 40．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 41．如图，有一块矩形铁皮ABCD，其中米，阴影部分是一个半径为3米的扇形．这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米．则当取最大值时，________． 【答案】 【详解】过作，垂足为，由题意得：，， 故，， 则， 令，，所以，且， ， 由在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，， 时，， 故当，即时，取得最大值， 则. 42．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 43．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由图可知在中有在中有           由得， （2）由，在中有       令，则，其中，      故且           当即时的周长 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正确利用三角函数表示面积和周长，第二问中，有和时，利用换元法，结合同角三角函数平方关系式，表示为函数求最值. 44．某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 【答案】(1)， (2)当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 当在点时，此时最小，又，所以，所以， 当在点时，此时最大，又，所以， 由上可知，； 因为，所以， 又因为，且， 所以， 所以， 所以，定义域为； （2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需最小即可， 由（1）可知：且， 设，且，所以， 所以， 又因为，且， 且，， 所以， 令，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以的最小值为，此时，所以，所以， 综上所述，当米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为元. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值. 题型九 三角恒等变换与三角函数 45．（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【详解】由函数， 对于A，函数的最小正周期为，所以A正确； 对于B，函数的最大值为，所以B正确； 对于C，令，可得， 其中不是的解，所以不是的对称轴，所以C错误； 对于D，由，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减，所以D错误. 46．（多选）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为函数的一个零点是，所以. 即，展开化简得， 即，所以，即. 由于，所以. 所以. 当时，，所以，A错误； ，B正确； 所以. 因为，所以令，即， 所以，即， 因为方程的相邻的两根分别为，，则，C正确； ，由于， 所以，所以，所以. 所以当时，，此时取最大值为1， 所以的最大值为，D正确. 47．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或． 48．已知函数. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)已知函数的最小值为1，求的值； (3)若，且，，求，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1） ， 令. （2） ， 令，则， 对称轴，开口向上， 当时，最小值为，舍去； 当时，最小值，负值舍去； 综上. （3）， ， 令， 则，即， 即，① 因为，所以，即得， 又因，所以，即，因，故， 代入①可得，解得， 又，所以，即，故. 49．正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波，叠加而成，即，图中所示为的部分图象.    (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若，求角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由图可得， 可得，解得， 可得，得， 因为，所以， 所以， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为． （2） 所以函数的值域为 （3） 若，则：． 所以，两式平方相加可得：， 即， 同理可得：，两式平方相加可得：， 即． 又，则， 所以，则所求的． 50．已知函数． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择①②，则函数的单调递增区间为； 选择①③，则函数不存在； 选择②③，则函数的单调递增区间为. 【分析】 【详解】（1），解得. （2）， 其中为辅助角，. 选择①②，则由条件②可知的最小正周期为，所以， 则， 由条件①函数的最大值为可得，解得 ，或（舍去） 所以，， 由，得， 故的单调递增区间为； 选择①③，则由条件③函数满足可知为上的奇函数， 则，那么，， 此时，， 与条件①：函数的最大值为相矛盾，函数不存在； 选择②③，则由条件②可知的最小正周期为，那么， 则， 由条件③函数满足可知为上的奇函数，则， 由，可得， 此时，， 由，得， 故的单调递增区间为. 51．给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解. 已知函数，，______ (1)求的值； (2)求的表达式； (3)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得 ， 若选条件①，直线，是函数图象的任意两条对称轴， 且的最小值为，则，解得，则. 若选条件②，则，则，， 因此，，又，所以，则. 若选条件③，对任意的，， 则有，，解得，， 又，所以，则. （3）将函数的图象向右平移个单位， 得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 由，，得，， 即函数的单调递增区间为，， 又，则函数在上单调递增，在上单调递减； 且，，，. 因为关于x的方程在区间上有且只有一个实数解， 所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点， 则或. $专题04 三角恒等变换 题型一 和差公式的正用和逆用 题型六 辅助角公式及三角函数式化简（重点） 题型二 二倍角公式的正用和逆用 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 题型三 给值求值问题（重点） 题型八 三角恒等变换的实际应用（难点） 题型四·给值求角问题（重点） 题型九 三角恒等变换与三角函数（重点） 题型五·积化和差、和差化积 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 和差公式的正用和逆用 1．（   ） A． B． C． D． 2．tan（    ） A．0 B． C．2 D． 3．已知，，则（     ） A． B． C． D． 4．在中，，，则（    ） A． B． C．或 D． 5．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 6．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 题型二 二倍角公式的正用和逆用 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知∈（0，），且满足，，则______. 12．已知，则______． 题型三 给值求值问题 13．，则（   ） A． B． C． D． 14．若，且，则（    ） A． B． C． D． 15．已知，，则（   ） A． B． C． D． 16．已知，则______． 17．已知，，，． (1)求； (2)求． 题型四·给值求角问题 18．若，并且均为锐角，且，则________． 19．已知函数. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，，且，均为锐角，求的值. 20．已知 (1)求 的值; (2)求的值. 21．已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 22．已知. (1)若，求的值. (2)若，，且，求的值. 题型五·积化和差、和差化积 23．的值为（    ） A．1 B． C． D．2 24．（多选）已知函数，若，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 25．已知，则________． 26．已知，则_____________________． 27．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： ， ， ， ． (1)证明：． (2)运用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值． 题型六 辅助角公式及三角函数式化简 28．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 30．已知，且为关于t的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 31．（多选）已知函数的图象关于点对称，则的值可以是（   ）. A． B． C． D． 32．函数的单调增区间为______. 33．函数的最大值为_____. 题型七 应用三角恒等变换判断三角形形状 34．在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 36．在中，已知，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形 37．在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 38．在中,如果,那么的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 39．（多选）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型八 三角恒等变换的实际应用 40．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 41．如图，有一块矩形铁皮ABCD，其中米，阴影部分是一个半径为3米的扇形．这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米．则当取最大值时，________． 42．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为__________. 43．如图，矩形花园中，，，是的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以为直角顶点的，其中、分别落在线段和线段上．分别记为（），的周长为，的面积为．    (1)试求的取值范围； (2)为何值时的值为最小，并求的最小值． 44．某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 题型九 三角恒等变换与三角函数 45．（多选）在音乐合成中，两个简单的声波可以叠加形成新的波形.已知某合成波形对应的函数为，下列关于该函数说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 46．（多选）已知函数的一个零点是，函数，则（     ） A．在区间上的值域为 B． C．若方程的相邻的两根分别为，，则 D．函数的最大值为 47．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 48．已知函数. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)已知函数的最小值为1，求的值； (3)若，且，，求，的值. 49．正弦波是频率成分非常单一的信号，其波形是数学上的正弦曲线，任何复杂信号，如光谱信号，声音信号等，都可由多个不同的正弦波复合而成，现已知某复合信号由三个振幅、频率相同的正弦波，叠加而成，即，图中所示为的部分图象.    (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若，求角． 50．已知函数． (1)若，求的值； (2)从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 51．给出以下三个条件：①直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的，. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解. 已知函数，，______ (1)求的值； (2)求的表达式； (3)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围. $