精品解析：江苏扬州市新华中学2025-2026学年高一下学期自主练习（二）数学试题

高一数学自主练习二 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由二倍角的余弦公式得. 2. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，选择正方形相邻的两边作为基底，利用数量积运算计算即可． 【详解】因为为边长为2的正方形，故，且； 故以为一组基底，点在边上，且， 故，； 故． 3. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 4. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得，即，所以， 在中，. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：B. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 原式. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台体积公式求出棱台的高，再利用正四棱台的结构特征求出侧棱长. 【详解】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 故选：C 8. 已知角满足，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及积化和差公式求解即可. 【详解】. 根据积化和差公式，. 因此. 二、多选题 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为 C. 若点N为线段BC上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 点Q在正方体表面上运动（包含边界），且，则点Q的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据体积可确定A正确；作出辅助线，找到是直线BM与平面所成的角即可求得B正确；把正方形ABCD与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM即可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， ∵四边形为正方形，∴，， ∵平面，平面，∴． ∵，平面，，∴平面， ∴点到平面PBD的距离．又， ∴，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，连接，则， 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 过M作交于E，连接BE，于是平面， 是直线BM与平面所成的角， 在直角三角形中，，，则，B错误； 对于C，如图把正方形ABCD与正方形置于同一平面内，且在直线BC两侧， 连接DM，则的最小值为，C正确； 对于D，∵，，，，平面， ∴平面，又平面，∴； 同理可证， ∵，BD，平面，∴平面； 取，中点G，R，连接MG，MR， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，平面，平面，∴平面， ∵，MG，平面GMR，∴平面平面， 作出平面GMR截正方体所得的截面MGHSTR，其中H，S，T分别为，AD，AB的中点，则截面 平面； ∵平面，∴平面MGHSTR， 则当平面MGHSTR时，， ∴点Q的轨迹即为正六边形MGHSTR，故点Q的轨迹长度为，D正确． 三、填空题 12. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式，代入已知数据计算即可. 【详解】依题意知母线长，底面半径，由圆锥的侧面积公式得. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得. 【详解】在中，由为的角平分线，得， 由，得， 则，所以. 故答案为： 14. 已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【解析】 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求； （2）若，且，求在上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，结合投影向量的定义求解. 【小问1详解】 由，得 ，解得， ， 所以. 【小问2详解】 由 ，得 ， 即 ，又，， 则，解得， 所以在上的投影向量为 . 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. （1）求证：四边形为梯形； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，证明，再结合梯形的定义，即可证明； （2）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面，即可证明面面垂直. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面平面， 所以，且， 所以四边形是梯形； 【小问2详解】 由条件可知，是等腰直角三角形，且，所以， 且，，中，, 所以，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 17. 已知. （1）求的值； （2）若为锐角，求的值. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得的值，进而求得的值； （2）求得，得到，结合，利用两角差的正弦公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得， 又因为，所以， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 因为，且为锐角，可得， 又因为，可得， 所以 . 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 【答案】（1）取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB的中点O，连接SO，CO，AC， 因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 19. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的大小； （2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）;（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理：和三角形内角之间的关系：，化简原方程式，再根据两角差的正弦公式：，结合三角形角的取值范围，确定角的大小. （2）（ⅰ）根据余弦定理，结合题给条件和（1）中结论，列出关于的方程，解方程即可. （ⅱ）根据余弦定理，列出关于m，n的方程，根据基本不等式（，,当且仅当时等号成立）确定m的最小值，进而求出相应的其他参数，代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 已知，根据正弦定理(R为三角形ABC外接圆半径)， 则有，，. 代入原式可得：，化简得 . 因为，所以， 所以. 化简得：. 因为，所以，所以. 上式可变形为：， 所以. 又因为，所以，则，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由（1）知，，所以是等边三角形. 由折叠可知：,. 在中，根据余弦定理：. 已知，，则 解得. 故时，. （ⅱ）在中，根据余弦定理： 令，则. 根据基本不等式：（，,当且仅当时等号成立）， 对于，有，当且仅当，即时成立. 此时取最小值：， 则，. 的面积：, 因为，,， 则. 故m取最小值时，的面积为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学自主练习二 一、单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 正方形的边长是2，点在边上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知角满足，则的值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为 C. 若点N为线段BC上的动点（包含端点），则的最小值为 D. 点Q在正方体表面上运动（包含边界），且，则点Q的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为______. 13. 在中，角的对边分别为，其中，，，若点在边上，且为的角平分线，则______. 14. 已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题 15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求； （2）若，且，求在上的投影向量的坐标． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，平面. （1）求证：四边形为梯形； （2）求证：平面平面. 17. 已知. （1）求的值； （2）若为锐角，求的值. 18. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点B到平面SCD的距离． 19. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的大小； （2）若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $