江苏扬州市新华中学2025-2026学年高一下学期自主练习（二）数学试题

高一数学自主练习二 单选题 1.cos2 -sin2=() 12 12 A.克 B.② c. 2 D.1 2.方形ABCD的边长是2，点E在边CD上，且D正=3EC,则AE.BD=（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.设m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，下面正确的是() A.若a⊥B,B⊥y,则a11y B若a⊥B,mCax,ncB,则m⊥n C.若aIIB,y∩a=m,y∩B=n,则ml∥nD.若m/a,nc,则mWn 4.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个 测量基点C和D.现测得ax=75°，B=60°，CD=20m,在点C处测得 塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为（). A.30√5m B.20/6m c.30√2m D.10v2m A c.22 D.-22 3 3 6.已知ama+月=2，则sina+2sin2a的值为() A吕 B 8 c号 D. 4 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2,4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（) A.万 B.10 C.i D.√3 8.已知角a,B满足加(a+B)=行咖(a-P)-子，则cosa+snB的值为() A是 B. c子 D. 二、多选题 9.已知向量ā=(3，-1)，5=(1,2)，则下列结论中正确的是) A.a与b可以作为所在平面的一组基底 B.a+=19 c.{5a-)1b os6,-方 D. 10.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，下列叙述正确的有（) A.若acos A:=bcos B,则△ABC为等腰三角形 B.若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC为钝角三角形 C.若A=45°，a=√2，b=2,则△ABC有两解 D,若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M为B,C的中 点，P为线段B,D,上动点（包括端点），则下列说法中正确的是( A.三棱锥P-ABD的体积为定值 D B.连接BM,则直线BM与平面BDD,B成角正弦值为 5 C.若点N为线段BC上的动点（包含端点），则N+DN的最小值为√7 D.点2在正方体表面上运动（包含边界），且MQ⊥AC,则点Q的轨迹长度为6√2 三、填空题 12.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a4,b=6,∠C=120°，若点D在AB边 上，且CD为∠C的角平分线，则CD=, 14.已知等边△ABC的边长为4W3,AD是BC边上的高，以AD为折痕将△ACD折起，使 ∠BDC=60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为一 四、解答题 15.已知a,,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2) (若=(6,1)，且a∥6，求： (2)若日=2，且(a+©)1(a-2c),求c在a上的投影向量的坐标. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB=BC=1,AD=2,AB⊥BC,BCII 平面PAD. (I)求证：四边形ABCD为梯形： (2)求证：平面PAC⊥平面PCD. A 17. 已知a∈ (1)求cos2a,tan2a的值： (2)若sin(a+B)=- 2W5 ,B为锐角， 求sin(a-)的值， 18.在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD,SA=SB=√6，底面ABCD为菱形，AB=2, MBC=号，B,F分别是SA,BC的中点. (1)求证：EF/1平面SCD (2)求二面角S-CD-B的余弦值. 3)求点B到平面SCD的距离： 19.己知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+V5 csinA-b-a=0. )求C的大小： (②)若AB=BC=2,在△ABC的边AC和BC上分别取点D,E,将ACDE沿线段DE折叠到平面ABE 后，顶点C恰好落在边AB上（设为点P).设PB=n,CE=m,回答以下问题： 2 (D当m=亏时，求m的长度： (i)当m取最小值时，求△PBE的面积 高一数学自主练习二参考答案 一、单选题 1.cos27-sim2没=（) 12 12 A:方 B. 2 C. 2 D.1 【答案】C 2.正方形ABCD的边长是2，点E在边CD上，且DE=3EC,则A正.BD=（) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 3.设m,n是两条不同的直线，C,B,Y是三个不同的平面，下面正确的是（) A.若a⊥B,B⊥y,则a1Iy B.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n C.若a/IB,y∩c=m,y∩B=n,则m∥nD.若m/la,nca,则ml∥n 【答案】C 4.如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D,现测得 a=75°，B=60°，CD=20m,在点C处测得塔顶A的仰角0=60°，则塔高AB为() A.303m B.20v6m C.30/2m D.102m 【答案】C 【详解】在△BCD中，∠CBD=180°-75°-60°=45°， CD BC 20 BC 由正弦定理得 sin∠C8 Dsinp,即25，所以BC=10N6, 22 在Rt△ABC中，AB=BC.tan0=10V6×V5=305. 5. 已知sin A B号 c29 D.-22 3 【答案】B 【详】因为：月引-9，所以oma+引i-2和+引1-2×号 所以如(29-司(2a+号-引-个0+到引-号 6.已知ama+-2,则s如a+2sn2a的值为（) c. 13 4 B. 13 D. 13 【答案】A 【详解】由三角恒等变换可知tan Q+ 2 tana+1 =2,解得tana= i-tana sin'a 4sinacosa 1 原式=sin'a+4 sino +4× -cos'a cos'a tan a+4tana 13 sin2a+cos2a sin'a,cos'a tan'a+1 10 cos'a'cos'a +1 3 7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2,4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（) A.万 B.√而 C.i D.3 【答案】C 【详解】在正四棱台ABCD-ABCD中，作AE⊥AC于E,则AE即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得7-写2++2.平)48=28，解得45=3， 腰梯形ACC4中，4=2,2+3”=，所以该正四棱台的侧棱长为 8.已知角a,B满足sin(e+P)-3sin(a-P）子，则cos'a+sin2B的值为() A B 【答案】D 【详解】角么，月满足m(a+)=如e-A}, cos@+sin-(+c0s2a)+-(-c0s2)l+(cos2a-c0s2P) =1+号{cos(a+)+(a-I-cos(a+月-(a-B刚} =1+t2ae+saa-=l号号 二、多选题 9.已知向量a=(3,-1),五=（1,2)，则下列结论中正确的是（) A.a与可以作为所在平面的一组基底B.a+=√⑨ c.(5a-1i D.os(a,)-月 【答案】AC 10.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，下列叙述正确的有（) A.若acos A=bcosB,则△ABC为等腰三角形 B.若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC为钝角三角形 C.若A=45°，a=√2，b=2,则△ABC有两解 D.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB 【答案】BD 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M为B,C,的中点，P为线段B,D上动点（包 括端点)，则下列说法中正确的是（) A.三棱锥P-ABD的体积为定值 D 9 M B.连接aM,则直线BM与平面BDD,B成角正弦值为 B 5 C.若点N为线段BC上的动点（包含端点），则MN+DN的最小值 D 为7 B D.点2在正方体表面上运动（包含边界），且MQ⊥AC,则点的轨迹长度为6√2 【答案】ACD D 【详解】对于A,连接A,C, C D】 A B 四边形ABCD,为正方形，∴AC⊥BD, :BB⊥平面AB,C,D,ACC平面AB,CD,∴.A,C⊥BB, DY C BB,BDC平面BB,DD,BB,∩BD=B,∴A,C⊥平面BB,D,D, B :点4到平面PBD的距离d=。AG=V2, 又Sm=号8D-8B,=x20x2=2E, ÷4o==3am×厅-手，即三校锥P-ABD的体积为定值，A正确： 对于B,连接AC,则AC,⊥B,D，由BB⊥平面AB,CD,AC,C平面A,B,CD, 得AC⊥BB,又BB,∩BD=B,BB,B,DC平面BDDB,则AC⊥平面BDDB, 过M作MEIIAC交BD,于E,连接BE,于是ME⊥平面BDD,B, 25是直线则与平面0风所成的角，烟-4C=号，BM=2+-5。 2 sin∠MBE=ME-V ,B错误； BM 10 对于C,把正方形ABCD与正方形BCC,B,置于同一平面内，且在直线BC两侧， 连接DM,则MN+DN的最小值为DM=√4？+12=√7，C正确： D C N M B B 对于D,BD⊥AC,BD⊥AA,AA∩AC=A,AA,ACC平面ACCA, ∴BD⊥平面ACCA,又ACc平面ACCA,.BD⊥A,C: 同理可证得：BC⊥A4,C, BDBC=B,BD,BCC平面BDC,∴AC⊥平面BDC; 取C,D,BB,中点G,R,连接MG,MR, 'MGIB,D,IIBD,MG平面BDC,BDc平面BDC,.MG∥平面BDC, ,MRIIBC,MR平面BDC,BCc平面BDC,.MR∥平面BDC, MG∩MR=M,MG,MR丈平面GMR,∴.平面GMR∥平面BDC, 作出平面GMR截正方体ABCD-ABCD所得的截面MGHSTR,其中H,S,T分别为DD,AD,AB 的中点，则截面MGHSTR/∥平面BDC; D G C H ,AC⊥平面BDC,∴.AC⊥平面MGHSTR, R D 则当MgC平面MGHSTR时，AC⊥MQ, ∴.点Q的轨迹即为正六边形MGHSTR,.点2的轨迹长度为6MG=6√2，D正确 三、填空题 12.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为 【答案】2π 【详解】依题意知母线长I=2,底面半径r=1,由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π. 故答案为：2π 13.在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b=6,∠C=120°，若点D在AB边 上，且CD为∠C的角平分线，则CD=一 【答案)号 【详解】在△ABC中，由CD为∠C的角平分线，得ACD=BCD=6O°， 由8am+8an-.ec,得b,CDe如6w+aC0n6w-bsn120, 2 则6CD+4CD=4×6,所以CD=12 14.已知等边△ABC的边长为45，AD是BC边上的高，以AD为折痕将△ACD折起，使 ∠BDC=60°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得AD⊥DB,AD⊥DC,又BDODC=B,BD,DCc平面BDC, 则易得AD⊥平面BDC. 设O为ABDC外接圆圆心，过O做平面BDC垂线， 则垂线上所有点到△BDC顶点距离相等，又垂线与AD平行，从而垂线与AD共面， 过A做垂线的垂线，垂足为O2,则易得四边形AO,OD为矩形 取OO2中点为O,则OD=OA,从而O为三棱锥A-BCD外接球球心 易得4D=0,0,=6→00，=3，由正弦定理可得2D0=BC2W5 =4→D0=2 sin 3 32 则外接球半径0D满足OD=√OD2+O,02=√3. 则外接球的表面积为4π×(3=52π. 故答案为：52π. 四、解答题-问答翘 15.已知a,6,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2) (1若6=(6,1，且ā6，求： 2)若月=2，且(a+©)1(a-2),求在a上的投影向量. 【答案10Q号 【详解】（①因为a/6,所以2=1x1,所以1=方万-行， 所-，+=点， …6分 (2)因为(a+)1(a-2c),所以(a+c)(a-2c)=0, 即a-2-ac=0,又|园=VP+2=5,=2, 所以5-8-ac=0,所以ac=-3, 所以在上的投影向叠为同同-号2习=（号令.…l3分 a.c.a3 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB=BC=1,AD=2,AB⊥BC,BC/I 平面PAD B (I)求证：四边形ABCD为梯形； (2)求证：平面PAC⊥平面PCD, 详解】(1)因为BC/I平面PAD,BCc平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD, 所以BC/IAD,且BC=1≠AD=2, 所以四边形ABCD是梯形； 6分 (2)由条件可知，△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC=1,所以AC=√2， 且AD=2,∠CAD=45,△ACD中，CD=2+4-2x2x2x2=2, 所以AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD, 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PA⊥CD,PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC, 所以CD⊥平面PAC,且CDc平面PCD, 所以平面PCD⊥平面PAC. 15分 17.已知a∈ 3 4 10 (1)求cos2a,tan2a的值； 2若sin(e+)=25 ,B为锐角，求sin(a-P)的值. 【答案1学子⑧) 25 【详解】(1)因为a∈ 3 元π， 可得cosa<0, 又因为sina= 10 所以saa-- 10 所以sin2a=2 s=2xf@x-3i01.3 10 5 cos2a=1-2sin2a=1-2×( 10= 4 10 所以tan2a= sin 2a 3 cos2a A .7分 (2)因为a∈ 小，且户为税角，可得a+9得 区因为如a+325。可得sa+=-sa+仞=1-名衫与因 5 sin(a-B)=sin[2a-(a+B)]=sin 2a cos(a+B)-cos2a sin(a+B) 5 25 .15分 18.在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD,SA=SB=√6，底面ABCD为菱形，AB=2, ∠ABC=写，品，F分别是S1,BC的中点. B (I)求证：EF/1平面SCD (2)求二面角S-CD-B的余弦值. (3)求点B到平面SCD的距离； 【答案】(1)证明见解析( 6 330 【详解】(1)证明：法1：取SD的中点M,连接ME,MC, S A B 因为E,F分别为SA,BC的中点，且四边形ABCD为菱形， 则EMIlAD且EM=AD,FCIlLAD且FC=】AD, 所以EMIIFC且EM=FC, 所以四边形EFCM是平行四边形，则EF∥MC, 又MCc平面SCD,EFt平面SCD, 所以EF∥平面SCD. 5分 (2)取AB的中点O,连接SO,C0,因为SA=SB=√6，则S0⊥AB, 因为平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,SOc平面SAB, 所以O⊥平面ABCD,因为OC⊥CD,可证SC⊥CD 因为SC⊥CD,OC⊥CD,OCc平面BCD,SCc平面SCD, 所以∠SCO为二面角B-CD-S的平面角， 在RaS0C中，cos∠SOC=0C=5-Y6 S℃2W24 即二面角B-CD-S的余弦值为Y 4 11分 (3)Sac-CCD2 CCDsin25, 2 3 设点B到平面SCD的距离为h, 根据，m=业m,则Swh=8n50,解得有=而。 3 4 即B到平面SCD的距离为30 17分 19.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+√3 csinA-b-a=0. E (1)求C的大小； (2)若AB=BC=2,在△ABC的边AC和BC上分别取点D,E,将△CDE沿线段DE折叠到平面ABE 后，顶点C恰好落在边AB上（设为点P),设PB=,CE=m,回答以下问题： 2 ①D当n=亏时，求m的长度， (iⅱ)当m取最小值时，求△PBE的面积 【答案】0C-号因①m=告()16w5-24 【分析】(1)根据正弦定理：一4=6 =2R和三角形内角之间的关系： sinA sinB sinC sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C,化简原方程式，再根据两角差的正弦公式： sin(a-B)=sina cos B-cosasin B,结合三角形角的取值范围(O,π)，确定角的大小 (2)()根据余弦定理，结合题给条件和（1)中结论，列出关于m的方程，解方程即可. (i)根据余弦定理，列出关于m,n的方程，根据基本不等式a+b≥2√ab(a>0,b>0,当且仅 当a=b时等号成立)确定m的最小值，进而求出相应的其他参数，代入三角形面积公式即可求解 【详解】(1)已知cosA+5csin4-b-a=0,根据正弦定理。=b。=C。=2RR为三角形 sin A sin B sinC ABC外接圆半径)， 则有a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 RsinC. 代入原式可得：2 Rsin Ccos4+v5×2 Rsin CsinA-2 Rsin B-2 Rsin A=0，化简得 sin Ccos+3 sin Csin4-sin B-sin A=0. 因为B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, sin Ccos4+3 sin CsinA-sin AcosC-cos A sin C-sin 4=0. 化简得：√5 sin CsinA-sin AcosC.-sinA=0. 因为∠A∈(0，)，所以simA≠0，所以V5sinC-cosC-1=0. 上式可变形为： 所以(c-引 又照为ce0,所以c-音(》，则c名-名，即c-号 3 5分 (2)()因为AB=BC=2,由(1)知，C=，所以△4BC是等边三角形. 3 由折叠可知：PE=CE=m,BE=2-m、 在△PBE中，根据余弦定理：PE2=BE2+PB2-2BE,PBcos B, 已知PB=n =克则m---22-小号 3’c0sB=cos元=1 m2=4-4m+m2+4_4+2m10n-28 9333 m= 9 14 解得m= 15 故n=名时，m 14 15 ……10分 (i)在△PBE中，根据余弦定理： m=(2-m+-2x(2-m测mx2令m=4-4m+m+r-(2-m)n令 m=4+m2-2n_4-m2-6(4-n)+12 4-n 4-n 26 令1=4-n(0<t<4),则m=t+ 根据基本不等式：a+b≥2√ab（a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立)， 对于1+号，有号≥2-45，当且仅当：-吕，即125时成立 此时m取最小值：m=4√3-6， 则n=4-2W5,BE=2-m=8-45. APBB的面积：a-, 因为咖B=6如于-5，B=n=4-25,B=8-45, 2 则双w=8-454-29-456-3a月=14/3-24 故m取最小值时，△PBE的面积为：14V5-24. …17分