1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质和图象（第3课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的性质，通过五点法作图回顾旧知，从y=sinx、y=cosx过渡到含参数函数，搭建学习支架，系统梳理定义域、值域、周期性等核心性质。 其亮点在于以整体换元思想为核心，结合典例与同步练习，如求值域、对称轴等问题，培养数学思维与推理能力。全课总结用对比表格整合知识，助力学生形成结构化认知，教师可高效开展教学，提升学生数学语言表达与应用能力。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第6节 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像 第3课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握y=Asin(ωx+φ) (A＞0,ω＞0)的性质. 2、掌握y=Acos(ωx+φ) (A＞0,ω＞0)的性质. 3、会把ωx+φ当做整体来解决y=Asin(ωx+φ) y=Acos(ωx+φ)问题. 1、掌握y=Asin(ωx+φ) (A＞0,ω＞0)的性质. 2、掌握y=Acos(ωx+φ) (A＞0,ω＞0)的性质. 1、会把ωx+φ当做整体来解决y=Asin(ωx+φ) y=Acos(ωx+φ)问题. 2 新 知 引 入 ωx+φ 0 π 2π x y=sin（ωx+φ） 0 1 0 -1 0 y=Asin（ωx+φ） - 0 A 0 -A 0 1、用五点法做出函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像。 x y - A A 学 习 新 知 x y - A A 1、定义域:__________. 2、值 域:__________. 3、周期性:__________. 5、奇偶性： 4、对称性：对称轴可由________________________; 对称中心的纵坐标是____，横坐标可由_______________________解得. R [-A,A] T= ωx+φ= +kπ ,k∈Z ωx+φ=kπ ,k∈Z 当φ=______________时为奇函数； 当φ=______________时为偶函数； 当φ≠______________时为非奇非偶函数. kπ,k∈Z kπ+,k∈Z ,k∈Z y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： 0 学 习 新 知 x y - A A 6、单调性：单调递增区间可由______________________________________解得； 单调递减区间可由______________________________________解得。 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ ,k∈Z 2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ ,k∈Z 7、最值性：当ωx+φ=__________________时，函数取最大值A; 当ωx+φ=_________________时，函数取最小值-A. 2kπ+,k∈Z 2kπ - ,k∈Z y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： 学 习 新 知 x y - A A y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： 两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期. 注意：1、 一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减 的整数倍达到目的. 研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要通过整体换元的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin x的性质. 形如y=|Asin(ωx+φ)|的函数周期为T= . 2、 3、 4、 新 知 引 入 ωx+φ 0 π 2π x y=cos（ωx+φ） 1 0 -1 0 1 y=Acos（ωx+φ） - A 0 -A 0 A 2、用五点法做出函数y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像。 x y - A A 学 习 新 知 y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： 1、定义域:__________. 2、值 域:__________. 3、周期性:__________. 5、奇偶性： 4、对称性：对称轴可由________________________; 对称中心的纵坐标是____，横坐标可由__________________________解得. R [-A,A] T= ωx+φ= kπ ,k∈Z ωx+φ=kπ+ ,k∈Z 当φ=______________时为偶函数； 当φ=______________时为奇函数； 当φ≠______________时为非奇非偶函数. kπ,k∈Z kπ+,k∈Z ,k∈Z 0 x y - A A 学 习 新 知 y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： x y - A A 6、单调性：单调递增区间可由_________________________________解得； 单调递减区间可由_________________________________解得。 2kπ- π≤ωx+φ≤2kπ ,k∈Z 2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π ,k∈Z 7、最值性：当ωx+φ=__________________时，函数取最大值A; 当ωx+φ=_________________时，函数取最小值-A. 2kπ,k∈Z 2kπ+π ,k∈Z 学 习 新 知 y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的性质： x y - A A 两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期. 注意：1、 一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减 的整数倍达到目的. 研究函数y=Acos(ωx+φ)的性质,主要通过整体换元的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=cosx的性质. 形如y=|Acos(ωx+φ)|的函数周期为T= . 2、 3、 4、 典 例 引 路 定义域 例1、函数y= 的定义域是（ ） A. R B. {x|x≠kπ,k∈Z} C. [-1,0)∪(0,1] D.{x|x≠0} 解:要使函数有意义,应有sinx≠0, 因此,x≠kπ(k∈Z). 故定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. B 同 步 练 习 练1、求下列函数的定义域: (1)y= (2)y=lg(2sinx-1) 解：依题意得：sinx≥0 ∴ 2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z 解：依题意得2sinx-1＞0 ∴ sinx＞ ∴ 2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z 典 例 引 路 例2、函数y=2sin(2x+)（- ≤x≤)的值域是_______. 解：∵ - ≤x≤ ∴ - ≤2x≤ ∴ 0≤2x+ ≤ ∴ 0≤sin(2x+ )≤1 ∴ 0≤2sin(2x+ )≤2 ∴ y∈[0,2] 值域 同 步 练 习 练2、求函数y=sin(2x+),x∈[0,]的值域. 解：∵ 0≤x≤ ∴ 0≤2x≤π ∴ ≤2x + ≤ ∴ - ≤sin(2x + )≤1 ∴ -1≤sin(2x + )≤ ∴ y∈[-1,] 典 例 引 路 周期性 例3、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=　　　　.  解：由题意设函数周期为 T， 则 = - = ∴ T = ∴ ω= = 同 步 练 习 练3、设φ∈R，函数y=sin(3x+φ)的图象与x轴的交点中，任意两个交点之 间距离的最小值为________. 解：∵ 由函数的解析式可知，由正弦函数的图象进行了左右平移 及伸缩变换，得到该函数。 ∴ 图象与x轴的交点中距离最小为周期的一半， ∵ 函数的周期为 ， ∴ 最小距离为 × = 典 例 引 路 对称轴 例4、函数y=sin(2x- )与y轴最近的对称轴方程是___________. 解：令 2x - = kπ+ (k∈Z) ∴ x = + (k∈Z) 由k=0,得x = ,由k = -1,得 x = - ∵ |- |＜|| ∴ x= - 同 步 练 习 练4、将函数f(x)＝sin（4x+)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关 于直线x＝,对称，则φ的最小值为________． 解:把函数f(x)＝sin（4x+ )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后可得 g(x) = sin[4(x+φ)+ ] = sin(4x+4φ+ )的图像 ∵ g(x)的图象关于直线x＝ 对称 ∴ 4× + 4φ + = kπ+ ,k∈Z ∴ φ= - .k∈Z ∵ φ＞0 ∴ φ的最小值为 典 例 引 路 对称中心 例5、函数y=3sin(x+)的图像的一个对称中心是（ ） A. (0,0) B. (,0) C. (- ,0) D. (3,0) 解：由x+ = kπ,得 x= kπ- , 令k=0,则x= - , 故（- ，0）是函数y=3sin(x + )的图像的一个对称中心。 C 同 步 练 习 练5、将函数f(x)=sin(2x+φ)(0＜φ＜π)的图像向左平移 个单位长度后， 得到的图像关于点（，0）对称，则φ=____________. 解：依题意得平移后的函数解析式为 g(x) = sin[2( x + )+ φ] = sin(2x + + φ) ∴ 0 = g(0) = sin(2×0 + + φ) = sin( + φ) ∴ +φ = kπ,k∈Z ∴ φ = kπ- ,k∈Z ∵ 0＜φ＜π ∴令k=1,得φ = 典 例 引 路 奇偶性 例6、（1）若将函数f(x)=sin(2x+)的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位后 所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值为______. 解:f(x)=sin(2x+ )的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位后可得g(x)=sin(2x-2φ+ ) ∵g(x)关于y轴对称, ∴ -2φ + = + kπ,(k∈Z),即φ=- π- ,(k∈Z) ∵φ＞0， ∴当k=-1时有φ的最小值为 （2）若将函数f(x)=sin(2x+)的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位后 得到函数g(x）的图象，若g(x)为奇函数，则φ的最小正值是______. 解:依题意得 g(x)=sin(2x-2φ+ ) ∵g(x)为奇函数, ∴ -2φ+ = kπ,(k∈Z),即φ=- π+ ,(k∈Z) ∵φ＞0， ∴当k=0时有φ的最小值为 . 同 步 练 习 练6、（1）把y=cos(x+)图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得函数为偶函数， 则φ的最小值是_____． 解：把y=cos(x+)图象向左平移φ(φ＞0)个单位所得函数为y=cos(x+φ+ ） ∵y=cos(x+φ+ ）为偶函数 ∴φ+ =kπ,k∈Z ∴φ=kπ- ,k∈Z ∵φ＞0， ∴φ的最小值为 （2）将函数y=3cos(2x+)的图象向右平移φ(0＜φ＜)个单位长度后， 所得函数为奇函数，则φ=__________. 解：函数y=3cos(2x+ )的图象向右平移φ个单位长度可得 y=3cos[2(x-φ)+]=3cos(2x-2φ+)的图像 ∵所得函数为奇函数， ∴-2φ+ =kπ+ (k∈Z)即φ= - - (k∈Z) ∵0＜φ＜ ∴ φ = 典 例 引 路 单调性 例7、把函数f(x)=sin(2x - )的图象向左平移 个单位得到函数f1(x)的 图象，则函数f1(x)在[0,π]上的单调减区间是________． 解：依题意得f1(x)=sin[2(x+) - ]= sin(2x + ) ∴ 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z ∴ 2kπ+ ≤ 2x ≤2kπ+ ,k∈Z ∴ kπ+ ≤ x ≤kπ+ ,k∈Z ∵ x∈[0,π] ∴ 令 k = 0,则 ≤ x ≤ ∴f1(x)在[0,π]上的单调减区间是[,] 同 步 练 习 练7、已知函数f(x)=2cos(2x+)，函数g(x)的图象由函数f(x)的图象向右平移 个 单位而得到，则当x∈[- , ]时，g(x)的单调递增区间是_____________. 解：依题意得g(x)=2cos[2(x - )+ ]= 2cos(2x - ) ∵ 2kπ-π≤ 2x - ≤ 2kπ,k∈Z ∴ 2kπ - ≤ 2x ≤ 2kπ+ ,k∈Z ∴ kπ- ≤ x ≤ kπ+ ,k∈Z ∵ x∈[- , ] ∴ 令k=0,则 - ≤ x ≤ ∴ g(x)的单调递增区间是[- ,] 典 例 引 路 最值性 例8、（1）函数y=2sin(2x+)+1的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：当 2x + = 2kπ+ 时，即x=kπ+ (k∈Z)时，最大值为3. C （2）求函数y=cos2x+cosx+1的最大值、最小值及取最值的x的集合。 解：令t=cosx,则t∈[-1,1] ∴y=t2+t+1,对称轴为t=- 当t= - ,即x∈{x|x=±+2kπ,k∈Z}时，ymin= 当t=1,即x{x|x=2kπ,k∈Z}时，ymax=3 同 步 练 习 练8、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜）的部分图象如图所示， 则y=f(x+)取得最小值时x的集合为________． 解：根据所给图象，可知 = - , ∴ T=π ∴π= ∴ω=2 ∴f(x)=sin(2x+φ) ∵ 图象经过点( ,0),∴ 2× + φ = kπ,k∈Z ∴ φ= kπ- , ∵ |φ|＜ ∴ φ= - ∴ f(x)=sin(2x- ) ∴y=f(x+ )=sin(2x+ ) ∴ 当2x+ = - +2kπ(k∈Z)即x=kπ- 时，y=f(x+ )取得最小值。 ∴ y=f(x+ )取得最小值时x的集合为{x|x= kπ- ,k∈Z} 典 例 引 路 例9、 画出函数y=cosx的图象，并讨论其基本性质. x y 0 π 2π 4π 3π - 1 1 解：(1)定义域：R (2)值域：[-1,1 ] (3)周期T = = 4π （4）单调性：单调递增区间是[4kπ-2π,4kπ],k∈Z. 单调递减区间是[4kπ,4kπ+2π],k∈Z. （5）最值性：当x∈{x|x=4kπ,k∈Z}时,函数取得最大值1. 当x∈{x|x=4kπ+2π,k∈Z}时,函数取得最小值-1. （6）对称性：对称轴为x=2kπ(k∈Z);对称中心为（kπ,0)(k∈Z). 同 步 练 习 练9、作出函数y=2sin(x- )+3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、 频率、初相、最值、单调区间。 x y 0 1 5 3 解：定义域为R；值域为[1,5]；周期为2π；频率为；初相为 - 最大值为5，最小值为1 单调递增区间：[2kπ - ,2kπ+ ](k∈Z) 单调递减区间：[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z) 同 步 练 习 全 课 总 结 A＞0,ω＞0 y=Asin(ωx+φ) y=Acos(ωx+φ) 定义域 R R 值域 [-A,A] [-A,A] 周期 对称轴 由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得 由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得 对称中心 (x0,0) ωx0+φ=kπ （k∈Z） (x0,0) ωx0+φ=kπ+ （k∈Z） 单调递增区间 由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）求得 由2kπ-π≤ωx+φ≤2kπ（k∈Z）求得 单调递减区间 由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）求得 由2kπ≤ωx+φ≤2kπ+π（k∈Z）求得 最大值 当ωx+φ=2kπ+ （k∈Z）时，ymax=A 当ωx+φ=2kπ （k∈Z）时，ymax=A 最小值 当ωx+φ=2kπ- （k∈Z）时，ymin=-A 当ωx+φ=2kπ- π （k∈Z）时，ymin=-A 奇偶性 当φ=kπ （k∈Z）时为奇函数； 当φ=kπ+（k∈Z）时为偶函数. 当φ=kπ （k∈Z）时为偶函数； 当φ=kπ+（k∈Z）时为奇函数. THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 30 $