1.6 第1课时 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换，通过课前自主预习（ω对周期、φ对平移、A对振幅的影响）搭建基础，课堂以梯度进阶式教学（平移伸缩变换、五点法作图、由图象定解析式）连接三角函数基础与复杂变换，构建学习支架。 其亮点是采用“课前-课堂-检测”梯度结构，结合具体实例（如平移变换例1、五点法例3），培养学生数学抽象（参数意义）、逻辑推理（变换规律）、模型意识（图象与解析式互化）。学生能深化对变换本质的理解，教师可借助系统题型示例提升教学效率。

§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义. 2.能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.ω对y=sin ωx的图象的影响 (1)一般地,对于ω>0,函数y=sin ωx的最小正周期T=_____. (2)函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的______(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标不变)得到的. (3)频率:通常称周期的倒数=_____为频率. 2.φ对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 (1)函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0,得x=-,即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到点___________. (2)函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的. (3)φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相, ______为相位. ωx+φ 3.A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的_______伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的____倍(横坐标不变)得到的. (2)A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的________和________,通常称A为振幅. 纵坐标 A 最大值 最小值 函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换: A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”. |微|点|助|解| 4.三角函数图象变换的方法 从y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的常用方法有两种: 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,能得到函数y=sin的图象. ( 　) (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可得到函数y=sin 2x的图象. ( 　) (3)把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得到y=6sin的图象. ( 　) × × √ 2.函数y=sin在区间上的简图是(　　) √ 3.函数y=2sin的最小正周期、振幅依次是(　　) A.4π,-2 B.4π,2 C.π,2 D.π,-2 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　三角函数图象的变换 考向1　平移变换 [例1]　(1)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:函数y=2sin的周期为T==π,向右平移个周期,即向右平移个单位长度后,得到图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D. √ (2)要得到y=cos的图象,只要将y=sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ 解析:y=sin 2x=cos=cos=cos=cos. 若设f(x)=sin 2x=cos,则f=cos,∴向左平移个单位长度. 　　三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时,首先要将解析式化为同名三角函数形式,然后再确定平移方向和平移距离. |思|维|建|模| 考向2　伸缩变换 [例2]　(1)为了得到函数y=sin的图象,需将函数y=sin的图象(　　) A.纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变 C.横坐标变为原来的,纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的,横坐标不变   √  解析:只需将函数y=sin的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变, 便得到函数y=sin的图象,故选C. (2)函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为 (　　) A.2 B. C.4 D. √ 解析:由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=. 　　三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点: (1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是|φ|和,但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的. |思|维|建|模| 针对训练 1.写出由y=sin x的图象变换到y=3sin的图象的不同方法步骤. 解:法一:先平移再伸缩,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象; ②把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象; ③将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 法二:先伸缩再平移,过程如下: ①把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象; ②把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象; ③把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. 题型(二)　“五点(画图)法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 [例3] 用“五点(画图)法”作函数y=3sin的简图,并指出这个函数的振幅、最小正周期、频率和初相. x x- 0 π 2π y 0 3 0 -3 0 解:(1)列表: (2)描点:在直角坐标系中描出点,,,,. (3)连线:将所得五点用光滑的曲线顺次连起来, 如图所示. (4)这样就得到了函数y=3sin在一个周期内的图象,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度,得函数y=3sin的图象. 此函数振幅为3,最小正周期为4π,频率为,初相为-. 　　用“五点(画图)法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步:列表. |思|维|建|模| ωx+φ 0 π 2π x - - - - - y 0 A 0 -A 0 第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线顺次连接这些点,形成图象. 针对训练 2.用“五点(画图)法”作出函数y=2sin的图象,并指出函数的单调区间. x - 2x+ 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 解:(1)列表: (2)描点: (3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,所得图象如图所示,为该函数在一个周期内的图象,然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象. 由图象知在一个周期内,函数在上单调递减,又因为函数的最小正周期为π,所以函数的单调递减区间为(k∈Z).同理,单调递增区间为(k∈Z). [例4]　如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象,由图中条件, 写出该函数的解析式. 题型(三)　由函数的图象确定函数的解析式 解:法一:(最值点法)由题图可得A=2,ω=, 将最高点坐标代入y=2sin, 得2sin=2. 所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+(k∈Z). 又因为|φ|<π,所以φ=. 所以此函数的解析式为y=2sin. 法二:(起始点法)由题图可得ω=,x0=-,φ=-ωx0=-×=. 又因为A=2, 所以此函数的解析式为y=2sin. 　　[变式拓展] 将“例4”中的图象变为如图所示,试求函数的解析式. 解:法一:根据题意,A=3,T=-=π, ∴ω==2.将点M代入y=3sin(2x+φ)中, 得3=3sin, ∴sin=1.∴+φ=,即φ=, 从而所求函数解析式为y=3sin. 法二:由题图知A=3,又图象过M,N,根据“五点(画图)法”的原理(M,N可视为“五点(画图)法”中的第二点和第四点), 有解得 从而所求函数解析式是y=3sin. 　　由y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式的常用方法 方法一:最值法 (1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定|A|,|A|=. (2)ω:因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线及其与x轴的交点来确定T,注意相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点(最低点)之间的水平距离为T. (3)φ:以“五点(画图)法”中的最高点作为突破口,即当ωx+φ=+2kπ,k∈Z时,y有最大值,或者由“五点(画图)法”中的第一个点作为突破口,从图象的升降情况找准第一点的位置. |思|维|建|模| 方法二:“五点”对应法 依据“五点(画图)法”的原理,点的序号与式子的关系如下:“第一点” (即图象第一次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)横坐标满足ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)横坐标满足ωx+φ=;“第五点” (即图象第二次上升时与x轴的交点)横坐标满足ωx+φ=2π. 3.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的 图象的一部分,则函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式为(　　) A.f(x)=sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=sin 针对训练 √ 解析:由题图可知,=-=, ∴T=π,ω=2.∵2×+φ=2kπ,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-.而f(0)=Asin=-1, A>0,∴A=.∴f(x)=sin.故选A. 4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) 的部分 图象如图所示,则f(x)的函数解析式为____________________. f(x)=3cos 解析:由题图可知函数的最值A=3,函数的最小正周期T=4×=4π,则ω==,当x=时,ωx+φ=×+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|<,令k=0,得φ=.所以函数的解析式为f(x)=3cos. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin的图象. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=sin的图象向左平移个单位长度得到(　　) A.y=sin B.y=-sin C.y=-cos D.y=cos 解析:y=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin=cos. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.[多选]函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π) 在一个周期内的图象如图所示,则 (　　) A.A=4 B.ω=2 C.φ= D.k=1 解析:由题图知,函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k的最大值为3, 最小值为-1,所以A=2,k=1,A错误,D正确.由图象,可得T=2×=π,所以=π.又因为ω>0,所以ω=2,B正确.所以f(x)=2sin(2x+φ)+1.又f=3,所以2sin+1=3,即sin=1.又因为0<φ<π,所以φ=. 所以f(x)=2sin+1,C错误. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=,则x2+x4等于(　　) A. B.π C. 　 D.2π 解析:由“五点(画图)法”的原理知,x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=,故x1与x5的中点是x3,x2与x4的中点是x3,所以x2+x4=2x3=x1+x5=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(　　) A. B. C.0 D.- √ 解析:得到的偶函数解析式为y=sin=sin,显然φ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)要得到函数y=sin的图象,可把函数y=sin(-x)的图象向______平移__________个单位长度. 右 解析:y=sin=sin, 可把y=sin(-x)的图象向右平移个单位长度. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数y=sin 2x的图象上每个点向左平移φ个单位长度得到函数y=sin的图象,则φ的值为__________. 解析:由题意,得2φ=,则φ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)将函数y=sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为_________________. y=3sin 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ), 如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=, 则f(π)=__________. - 解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知, ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4,又f=sin=0, ∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件, ∴f(π)=sin=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)将函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则φ=__________. 解析:把函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,得到y=cos(2x-π+φ)的图象,与函数y=sin的图象重合, 则cos(2x-π+φ)=sin,即sin=sin. 所以-+φ=-+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的图象 与y轴交于点,与x轴交于点,则ω+φ=_________. 解析:由题意,得且ω>0,0≤φ<2π, 所以φ=或φ=,且ω+φ=kπ,k∈Z. 当φ=时,ω=kπ-,k∈Z,故ω=-1,k∈Z,当φ=时,ω=kπ-,k∈Z, 故ω=,k∈Z. 由题图知,T=>>T=,可得<ω<.综上,当且仅当k=2时,ω=-1=2,满足题意, 此时φ=,故ω+φ=2+. 2+ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点(画图)法”画出它在一个 周期内的闭区间上的简图. + 0 π 2π x - f(x) 3 6 3 0 3 (2)描点画图: 解:(1)列表: 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)某同学用“五点(画图)法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表: x - x1 x2 ωx+φ 0 π 2π sin(ωx+φ) 0 1 0 -1 0 f(x) 0 0 y2 0 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)请利用上表中的数据,写出x1,y2的值,并求函数f(x)的解析式;(5分) 解:由表格根据五点作图的规律, 可得-=x1-,y2=-,A=, T=-=4π,得x1=,ω==. ∴×+φ=0,解得φ=. 综上,x1=,y2=-,f(x)=sin. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.(5分) 解:将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得y=sin= sinx,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得g(x)=sin x. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;(4分) 解:因为ω>0,根据题意有 解得0<ω≤. 所以ω的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R且a<b)满足y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.(6分) 解:由题意知f(x)=2sin 2x, g(x)=2sin+1=2sin+1. 由g(x)=0,得sin=-, 解得x=kπ-或x=kπ-,k∈Z, 即g(x)的零点距离间隔依次为和, 故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,则b-a的最小值为14×+15×=. 15 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 解析: $