1.6 函数y=Asin(wx+φ)的性质和图象（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦函数y=sinωx、y=sin(x+φ)的图像变换及“五点法”作图，通过回顾y=sinx、y=cosx的五点坐标与图像，结合物理周期性现象（如电流、单摆）引出新知，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以引例推导（如sin2x周期推导、sin(x±π/2)平移变换）为核心，通过“五点法”与图像变换双路径教学，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观），同步练习（如例2图像平移问题）强化应用，帮助学生形成逻辑推理习惯，教师可借助清晰脉络提升教学效率。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第6节 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像 第1课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握y=sinx与y=sin ωx（ω>0）,y=sin(x+ φ)的图象间的关系,会进行函数图象的变换. 2、会用“五点法”作函数y=sin ωx（ω>0）, y=sin(x+φ)的图象 3、明确ω,φ的物理意义. 1、掌握y=sinx与y=sin ωx（ω>0）,y=sin(x+ φ)的图象间的关系,会进行函数图象的变换. 2、会用“五点法”作函数y=sin ωx（ω>0）, y=sin(x+φ)的图象 1、掌握y=sinx与y=sin ωx（ω>0）,y=sin(x+ φ)的图象间的关系,会进行函数图象的变换. 2 y x o 1 -1 新 知 引 入 最高点：______________ 最低点：____________ 与x轴的交点：__________、__________、_____________ 1、用“五点作图法”作出y=sinx,x∈[0,2π]的图像。 （ ，1） （ ，-1） （0,0） （π，0） （2π，0） 新 知 引 入 2、用“五点作图法”作出y=cosx,x∈[0,2π]的图像。 最高点：___________、___________ 最低点：____________ 与x轴的交点：__________、__________. （，1） （2π，1） （π，-1） （ ,0） （ ，0） O x y π 2π 新 知 引 入 3、在物理学问题中,常见的电流、单摆、光波、机械波等都具有周期性,函数关系都是形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的形式,这类函数的图像与y=sinx的图像有什么关系呢？ 学 习 新 知 引例1：画出函数y=f(x)=sin2x在一个周期内的图像。 ∵ sin(2x+2π)_____sin2x，即sin2(x+π)______sin2x，即f(x+π)_____f(x) ∴ y=f(x)=sin2x是周期为_____的函数。 = = = π 2x 0 π 2π x y=sin2x 列表如右： 0 π 0 1 -1 0 0 x y 0 1 -1 π 2π 描点连线： 学 习 新 知 引例2：画出函数y=f(x)=sinx在一个周期内的图像。 ∵ sin(x+2π)_____sinx，即sin(x+4π)______sinx，即f(x+4π)_____f(x) ∴ y=f(x)=sinx是周期为_____的函数。 = = = 4π x 0 π 2π x y=sinx 列表如右： 0 1 -1 0 0 0 π 2π 3π 4π 描点连线： x y 0 1 -1 π 2π 3π 4π 学 习 新 知 x y 0 1 -1 π 2π x y 0 1 -1 π 2π y=sin2x y=sinx x y 0 1 -1 π 2π 3π 4π y=sinx 观察图像可得： （1）y=sinx的周期为______,y=sin2x的周期为______, y=sinx的周期为_____. π 2π 4π 函数y=sinωx（ω＞0）的周期为 T = . 注意：1、 2、 周期的倒数称为频率，记作f，即f=. ω控制y=sinωx的周期. 学 习 新 知 x y 0 1 -1 π 2π x y 0 1 -1 π 2π y=sin2x y=sinx x y 0 1 -1 π 2π 3π 4π y=sinx 观察图像可得： （2）y=sin2x的图像是将y=sinx图像上所有点的横坐标缩 短到原来的_____（纵坐标不变）倍得到的. y=sinx的图像是将y=sinx图像上所有点的横坐标伸 长到原来的_____（纵坐标不变）倍得到的. y=sinωx（ω＞0）的图像是将y=sinx图像上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变）得到的. 2 学 习 新 知 y=sinx y=sinωx 画出y=sinωx的图像有两种方法： 一、五点法 二、图像变换 所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍. 纵坐标不变 这种变换称为周期变换。 注意：1、 2、 3、 这种变换也称为左右伸缩变换。 y=cosωx的图像画法与y=sinωx的图像画法类似。 ωx 0 π 2π x 0 y=sinωx 0 1 0 -1 0 学 习 新 知 引例3：画出函数y=f(x)=sin（x+）在一个周期内的图像。 ∵ sin(x++2π)_____sin（x+），即f(x+2π)_____f(x) ∴ y=f(x)=sin（x+）是周期为_____的函数。 x+ 0 π 2π x y=sin（x+） 列表如右： 描点连线： 0 1 -1 0 0 - = = 2π x y 0 1 -1 π 2π - 学 习 新 知 引例4：画出函数y=f(x)=sin（x- ）在一个周期内的图像。 ∵ sin(x- +2π)_____sin（x- ），即f(x+2π)_____f(x) ∴ y=f(x)=sin（x- ）是周期为_____的函数。 x - 0 π 2π x y=sin（x- ） 列表如右： 描点连线： 0 1 -1 0 0 = = 2π x y 0 1 -1 π 2π - 学 习 新 知 x y 0 1 -1 π 2π y=sinx x y 0 1 -1 π 2π y=sin（x） x y 0 1 -1 π 2π y=sin（x） - 观察图像可得： （1）y=sin(x+)的图像的形状与y=sinx图像的形状_________. y=sin(x- )的图像的形状与y=sinx图像的形状_________. 相同 相同 学 习 新 知 x y 0 1 -1 π 2π y=sinx x y 0 1 -1 π 2π y=sin（x） x y 0 1 -1 π 2π y=sin（x） - 观察图像可得： （2）y=sin(x+)的图像可以看做是将y=sinx图像的所有点向 _____平移_____个单位长度得到的. y=sin(x-)的图像可以看做是将y=sinx图像的所有点向 _____平移_____个单位长度得到的. 左 右 函数y=sin(x+)的图像，可以看做将y=sinx图像上的所有点向左（＞0）或向右（＜0）平移||个单位长度得到的. 注意：1、 在函数y=sin(ωx+)中，决定了x=0时的函数值，通常称为初相，ωx+为相位. 学 习 新 知 y=sinx y=sin（x+φ） 画出y=sin（x+φ）的图像有两种方法： 一、五点法 二、图像变换 注意：1、 2、 3、 所有点向左（＞0）或向右（＜0）平移||个单位长度. y=sinωx （ω＞0） y=sin（ωx+φ） 所有点向左（＞0）或向右（＜0）平移||个单位长度. 这种变换称为相位变换. 变换的口诀是“左加右减”.务必谨记是在x后面加减 ||. y=cos（x+φ）的图像画法与y=sin（x+φ）的图像画法类似。 x- 0 π 2π x + π+ + 2π+ y=sin(x-) 0 1 0 -1 0 学 习 新 知 y=sinx y=sin（x+φ） y=sin（ωx+φ） （ω＞0） y=sin（ωx+φ） （ω＞0） 所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长 （0＜ω＜1）到原来的倍，纵坐标不变 y=sinωx （ω＞0） 所有点向左（＞0） 或向右（＜0）平移 ||个单位长度 所有点向左（＞0）或向右（＜0） 平移||个单位长度. 所有点的横坐标缩短 （ω＞1）或伸长 （0＜ω＜1）到原来 的倍，纵坐标不变. 典 例 引 路 例1、（1）函数f(x)=sin(x - )的最小正周期是（     ） A．3π B．2π C．π D. B （2）正弦型函数y=sin( x - )的相位是_______________. x - 同 步 练 习 练1、（1）y=sin( x - )的频率和初相分别为（      ） A. 4π, B. , C. , - D. 4π, - C （2）若f(x)=sin(ωx+φ) (ω＞0,0≤φ＜)的最小正周期为4π， 且 f() = ,则φ=（ ） A. 0 B. C. D. 解：由 = 4π，得 ω= ，∴f(x)=sin(x+φ) ∴ = f() = sin( × +φ)=sin(+φ) 又∵0≤φ＜ ， ∴≤ +φ＜ ，∴+φ= ，∴φ = B 典 例 引 路 例2、（1）要得到函数y=cos(2x+)的图象，只需将函数y=cos2x的图象（     ） A．向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 C （2）为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos( 2x- )的图象上所有 点（    ） A．向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 D 同 步 练 习 练2、（1）要得到函数y=sin(2x+) 的图象，需要把函数y=sin2x的图 象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 C (2）要得到函数y=sin(2x+）的图象，只需将函数y=sin(2x+） 的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 B 典 例 引 路 例3、将函数y=sin(2x-)的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有 点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（    ） A．y=sin(x+) B. y=sin(4x-) C. y=sin4x D. y=sin(4x+) C 同 步 练 习 练3、（多选题）以下四种变换方式，能将函数y=sinx的图象变换为 y=sin(+)的图象的是（     ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 AD 典 例 引 路 例4、把函数f(x)=sin(2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移 个单位 后，得到一个偶函数的图象，则φ=（ ） A. B. C. D. 解:函数f(x)=sin(2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后， 得到的图象对应的解析式是：y=sin[2(x-)+φ]=sin(2x+φ-) ∵该函数为偶函数，∴ φ - = kπ+ ,k∈Z ∴ φ = kπ+ ,k∈Z 又∵0＜φ＜π ∴ φ = D 同 步 练 习 练4、将函数f(x)=cosx(2x+)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后， 所得图象对应的函数为奇函数，则φ=( ) A. B. C. D. 解:由题意有f(x-φ)=cos[2(x-φ)+ ] = cos[2x+( -2φ)] ∵ f(x-φ)为奇函数 ∴ - 2φ= +kπ,k∈Z ∴ φ= - ,k∈Z 当k=0时，φ= A 同 步 练 习 全 课 总 结 一、周期变换 二、相位变换 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 26 $