1.6 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数\( y = A \sin(\omega x + \varphi) \)的图象及变换，从物理简谐运动、交流电情境导入，通过问题引导学生探究\(\omega\)、\(\varphi\)、\(A\)对图象的影响，搭建从\( y = \sin x \)到目标函数的变换学习支架。 其亮点是以现实问题驱动探究，结合例题变式与逆变换训练培养数学思维，小结明确变换差异构建知识体系。通过数学眼光观察物理现象，用数学思维推理变换逻辑，帮助学生发展抽象能力与推理意识，教师可借助分层训练提升教学效率。

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的 图象及变换 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考　在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图1所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．   将测得的图象放大到如图2所示，可以看出它和正弦曲线相似，那么此类曲线能否由正弦曲线y＝sin x经过不同的变换得到呢？ 提示：曲线y＝A sin (ωx＋φ)可以由正弦曲线y＝sin x经过伸缩变换、平移变换、振幅变换得到． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 y＝sin 2x 新知学习 探究 返回导航 (－φ，0) |φ| 新知学习 探究 返回导航 φ ωx＋φ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 纵坐标 A 最大值 最小值 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：三角函数图象的伸缩变换、平移变换、振幅变换． 2．须贯通：用三种变换方法得到函数图象． 3．应注意：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．　2.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系． eq \f(ω,2π) eq \a\vs4\al(一　ω对y＝sin ωx的图象的影响) 1．一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,ω))) .根据周期函数的定义，T＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________是函数y＝sin ωx 的最小正周期． 2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \o(□,\s\up1(2)) __________(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 eq \o(□,\s\up1(3)) ____________倍(纵坐标不变)得到的． 3．频率：通常称周期的倒数 eq \f(1,T) ＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ____________为频率． eq \f(2π,ω) eq \f(1,ω) eq \f(1,ω) 　(对接教材例1)(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,3) ，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin x B．y＝ eq \f(1,3) sin x C．y＝sin 3x D．y＝sin eq \f(1,3) x 【解析】　由y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,3) ，纵坐标不变，得到y＝sin 3x，故选C. y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3))) (2)将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________． 【解析】　将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(π,3))) . 对于函数y＝sin x，若将图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，则得到函数y＝sin eq \f(x,ω) 的图象，即横向伸缩是反比例伸缩变换． [跟踪训练1] (1)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． eq \f(1,2) C．4 D． eq \f(1,4) 解析：所求的解析式为y＝sin eq \f(1,2) x＝sin ωx，所以ω＝ eq \f(1,2) .故选B. (2)把y＝sin eq \f(1,2) x的图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,4) (纵坐标不变)得到的图象的解析式是____________． eq \a\vs4\al(二　φ对y＝sin （x＋φ）的图象的影响) 1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________． 2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 eq \o(□,\s\up1(2)) ________个单位长度得到的． 3．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－ eq \f(φ,ω) ，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点 eq \o(□,\s\up1(3)) ________．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 eq \o(□,\s\up1(4)) __________个单位长度得到的． 4．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称 eq \o(□,\s\up1(5)) ________为初相， eq \o(□,\s\up1(6)) ________为相位． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(φ,ω)，0)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) 　函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 【解】　函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) 的图象，可以看作是将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度得到的． 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例中y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) 改为y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)＋\f(π,2))) ＝sin (x＋ eq \f(π,3) )，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度得到的． 2．(综合变式)将本例改为：函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？ 解：y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) ＝sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))) ，可由y＝sin 2x的图象向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度得到． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数．再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) 个单位长度． [跟踪训练2] (1)将函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则(　　) A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) B．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) D．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 解析：函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到y＝ sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ，即y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) 的图象，故选D. (2)要得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) 的图象，只要将y＝sin eq \f(1,2) x的图象(　　) A．向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度 C．向左平移 eq \f(2π,3) 个单位长度 D．向右平移 eq \f(2π,3) 个单位长度 解析：因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) ＝sin eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3))) .所以要得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3))) 的图象，只需将函数y＝sin eq \f(1,2) x 的图象向右平移 eq \f(2π,3) 个单位长度．故选D. 三　A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的 eq \o(□,\s\up1(1)) __________伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的 eq \o(□,\s\up1(2)) ________倍(横坐标不变)得到的． 2．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的 eq \o(□,\s\up1(3)) ____________和 eq \o(□,\s\up1(4)) ____________，通常称A为振幅． 　(对接教材例2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的 eq \f(2,3) ，所得图象的解析式是y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))) ，求f(x)的解析式． 【解】　y＝2sin ( eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,3) ) eq \o(――――――――→,\s\up24(纵坐标伸长到原来的\f(3,2)倍)) y＝3sin ( eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,3) ) eq \o(―――――――→,\s\up24(横坐标缩短到原来的\f(1,2))) y＝3sin (x＋ eq \f(π,3) ) eq \o(―――――→,\s\up24(向左平移\f(π,6)个单位长度)) y＝3sin (x＋ eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,3) )＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))) ＝3cos x． 所以f(x)＝3cos x． [跟踪训练3] 将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ＋1的图象？ 解：方法一：①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ，得到y＝2sin 2x的图象； ③将所得图象沿x轴向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度，得到y＝2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8))) ＝2sin (2x＋ eq \f(π,4) )的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ＋1的图象． 方法二：①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) 的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) 的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) 的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ＋1的图象． 1. 简谐运动y＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,3))) 的初相是(　　) A．4 B． eq \f(π,3) C．－ eq \f(π,3) D．5x－ eq \f(π,3) 解析：相位是5x－ eq \f(π,3) ，当x＝0时的相位为初相，即－ eq \f(π,3) .故选C. 2．已知函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ，若将f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6))) B．g(x)＝sin 4x C．g(x)＝sin x D．g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) 解析：将函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，可得函数y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 的图象； 再把y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) 的图象． 3．将函数y＝sin x的图象向左平移 eq \f(π,4 ) 个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是______________________． y＝sin (x＋ eq \f(π,4) )＋2 解析：由题知y＝sin x的图象向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，可得y＝sin (x＋ eq \f(π,4) )的图象，再将图象向上平移2个单位长度可得y＝sin (x＋ eq \f(π,4) )＋2的图象． eq \f(π,4) 4．将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 的图象向左平移φ(0≤φ≤ eq \f(π,2) )个单位长度后，得到函数y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) 的图象，则φ＝______． 解析：将函数y＝sin (2x＋ eq \f(π,6) )的图象向左平移φ(0≤φ≤ eq \f(π,2) )个单位长度得到y＝sin [2(x＋φ)＋ eq \f(π,6) ]＝sin (2x＋2φ＋ eq \f(π,6) )的图象，y＝cos (2x＋ eq \f(π,6) ) ＝sin (2x＋ eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,2) )，又0≤φ≤ eq \f(π,2) ，所以2φ＝ eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,4) . $