第1章 6.2 探究φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 1 1.结合实例，了解φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响；掌握y＝ sin x与y＝ sin （x＋φ）图象间的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握函数y＝ sin （x＋φ）的有关性质及应用（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　上一节课我们研究了ω对函数y＝ sin ωx（ω＞0）图象和性质的影响. 【问题】　你知道参数φ对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象和性质有什么影 响吗？请借助函数y＝ sin x，y＝ sin 和y＝ sin 的图象加以 说明？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响 1. φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响 函数y＝ sin （x＋φ）与函数y＝ sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－ φ，即函数y＝ sin x图象上的点（0，0）平移到了点 ⁠. 函数y＝ sin （x＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝ sin x图象上的所 有点 （φ＞0）或 （φ＜0）平移 ⁠个单位长 度得到的. （－φ，0）　 向左　 向右　 ｜φ｜　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ sin （x＋φ）的性质 （1）周期T＝2π； （2）研究y＝ sin （x＋φ）的单调性、最值和对称性时，令u＝x＋φ，然 后按y＝ sin u的性质来求解，这是“整体代换”思想的运用. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. φ对y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影响 （1）函数y＝ sin （ωx＋φ）与函数y＝ sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ ＝0，得x＝－ ，即函数y＝ sin ωx图象上的点（0，0）平移到 点 .函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝ sin ωx图象上的所有点 （φ＞0）或 （φ＜0）平移 个单 位长度得到的； （2）在函数y＝ sin （ωx＋φ）中，φ决定了x＝0时的函数值，通常 称 为初相， 为相位. 　 向左　 向右　 φ　 ωx＋φ　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）将函数y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝ cos x的 图象. （　√　） （2）函数y＝ sin 的初相为 ，相位为x＋ . （　√　） （3）函数y＝ sin 的图象是由y＝ sin x的图象向右平移 个单位长 度得到的. （　√　） （4）要得到y＝ sin 的图象，只须把y＝ sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到. （　×　） √ √ √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 为了得到函数y＝ cos 的图象，只需把余弦曲线上所有的点 （　　） A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度 C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度 √ 解析：y＝ cos x y＝ cos （x＋ ）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝ sin 的周期和初相分别是T＝ 和φ＝ 　－ 　. 解析：由题意得周期T＝ ＝2π，φ＝－ . 2π － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝ sin 的简图，并指出这个函数 的周期、频率和初相. 解：（1）列表： x ​ ​ ​ ​ ​ x－ 0 ​ π ​ 2π y 0 1 0 －1 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）描点：在直角坐标系中描出点 ， ， ， ， . （3）连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （4）这样就得到了函数y＝ sin 在一个周期内的图象，再将这部 分图象向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度，得函数y＝ sin 的图象. 此函数周期为4π，频率为 ，初相为－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　“五点法”作图的关键是列表，一般有下面两种列表方法： （1）分别令ωx＋φ＝0， ，π， ，2π，再求出对应的x，这体现了整体 换元的思想； （2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－ ，再把x0作为五点中第一个点的横坐标， 依次递加一个周期的 ，就可得到其余四个点的横坐标. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数y＝ sin .利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭 区间上的简图. 解：下面用“五点法”画函数y＝ sin 在一个周期T＝4π内的图象. 令X＝ x＋ ，则x＝2X－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 先列表，后描点并画图. X 0 ​ π ​ 2π x － ​ ​ ​ ​ y 0 1 0 －1 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜图象平移变换 【例2】　函数y＝ sin 的图象，可以看作是由y＝ sin x的图象经过 怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝ sin 的图象，可以看作是把函数y＝ sin x图象上所有的 点向右平移 个单位长度而得到的. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函 数.再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方 向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 个单位长度. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 要得到函数y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 2x的图象（　） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为y＝ sin ＝ sin ， 所以将函数y＝ sin 2x的图象向左平移 个单位长度，就可得到函数y＝ sin ＝ sin （2x＋ ）的图象. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜函数y＝ sin （ωx＋φ）的性质与图象的应用 【例3】　设函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）图 象的一条对称轴是直线x＝ . （1）求此函数的解析式； 解：因为x＝ 是函数y＝f（x）的图象的对称轴，所以 sin ＝ ±1，所以 ＋φ＝kπ＋ （k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以φ＝－ .因此 y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝f（x）的单调递增区间. 解：由（1）知y＝ sin . 由题意得2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 即kπ＋ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］ （k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 函数y＝ sin （ωx＋φ）单调性问题的解题策略 　　求y＝ sin （ωx＋φ）的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值， 然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x 的范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝ sin （ωx＋φ） 在x∈（0，7π）内只取到 一个最大值和一个最小值，且当x＝π时最大值为1，当x＝6π时，最小 值为－1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （1）求此函数的解析式； 解：由题意得 T＝5π，所以T＝10π， 所以ω＝ ＝ ，则y＝ sin . 因为点（π，1）在此函数图象上，则 sin ＝1， 又因为0≤φ≤ ，有φ＝ － ＝ ， 所以y＝ sin . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求此函数的单调递增区间. 解：当－ ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，即－4π＋10kπ≤x≤π＋ 10kπ，k∈Z时，函数y＝ sin 单调递增. 所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]（k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到的图象所对应的函 数解析式是（　　） A. y＝ sin B. y＝ sin C. y＝ sin D. y＝ sin 解析：　函数y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象的 函数解析式是y＝ sin 2 ＝ sin .故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ sin 在区间 上的简图是（　　） √ 解析：当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，排除B、D. 当x＝ 时， y＝ sin ＝ sin 0＝0，排除C. 故选A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若将函数y＝2 sin 2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对 称轴为（　　） A. x＝ － （k∈Z） B. x＝ ＋ （k∈Z） C. x＝ － （k∈Z） D. x＝ ＋ （k∈Z） 解析：　将函数y＝2 sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y ＝2 sin ＝2 sin 的图象.由2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z）， 得x＝ ＋ （k∈Z），即平移后图象的对称轴为x＝ ＋ （k∈Z）. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若函数y＝ sin （ x－φ）（0≤φ≤π）是定义在R上的偶函数，则φ的值 是（　　） A. 0 B. C. D. π 解析：由题意，得 sin （－φ）＝±1，即 sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]， 所以φ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知函数y＝ sin ，则该函数的最小正周期、初相分别 是 ， ⁠. 解析：由函数y＝ sin 的解析式知，最小正周期为T＝ ＝ 10π，初相为 . 10π ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 函数y＝2 sin 的频率和初相分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，－ 解析：　函数y＝2 sin 的周期T＝ ＝π，频率为 ＝ ，初相 是 ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 将函数f（x）＝ sin 2x的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到 的图象所对应的函数的解析式为（　　） A. y＝ sin （2x＋ ） B. y＝ sin （2x＋ ） C. y＝ sin （2x－ ） D. y＝ sin （2x－ ） 解析：将函数f（x）＝ sin 2x的图象上所有的点向左平移 个单位长 度得到y＝ sin ［2（x＋ ）］＝ sin （2x＋ ）的图象.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 为了得到y＝ sin 2x，x∈R的图象，只需把y＝ cos 2x，x∈R图象上所 有的点（　　） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 √ 解析：由诱导公式可得y＝ cos 2x＝ sin ＝ sin 2 ，所以将函数图象上的点向右平移 个单位长度，即可得到y＝ sin 2x的图象.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如果函数f（x）＝ sin （ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为 ，则ω的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 解析：　相邻两个零点之间的距离为 ，则周期为T＝2× ＝ ，于是ω ＝ ＝6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕要得到函数y＝ sin x的图象，只需将y＝ sin 的图象（　） A. 先将图象向右平移 ，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来 的2倍 B. 先将图象向右平移 ，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来 的2倍 C. 先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右 平移 D. 先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右 平移 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　y＝ sin ＝ sin 2 向右平移 个单位长度，得y ＝ sin 2x，再将横坐标扩大2倍得到y＝ sin x，故A正确，B错误；y＝ sin 横坐标扩大2倍，得到 sin ，再向右平移 个单位长度得到 y＝ sin x，故C正确，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin 上一点P的横坐标为0，将y＝ f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P， 那么下列选项中，t可能取的值为（　　） A. B. π C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题可知P ，由f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单 位长度得到的函数g（x）＝ sin ，因为函数g（x）＝ sin 的图象也过点P ，所以 sin ＝ ，对A， sin ＝1，错误；对B， sin ＝ ，正确；对C， sin ＝ ，正确；对D， sin ＝－1，错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ cos ，则f（x）的最小正周期是 ；f （x）的对称中心是 .⁠ 解析：由f（x）＝ cos ，得T＝ ＝4π；令 ＋ ＝kπ＋ ， k∈Z，求得x＝2kπ＋ ，k∈Z，可得f（x）的对称中心是 ，k∈Z. 4π ，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数y＝2 sin （ －2x）＋1的单调递增区间为 .⁠ 解析：y＝2 sin （ －2x）＋1＝－2 sin （2x－ ）＋1，求它的单调递增 区间，即求函数y＝ sin （2x－ ）的单调递减区间.由2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 故所求函数的单调 递增区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］，k∈Z. ［kπ＋ ，kπ＋ ］，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 若将函数f（x）＝ sin 的图象向右平移φ个单位长度，所得图 象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ⁠. 解析：法一　f（x）＝ sin 的图象向右平移φ个单位长度得到函数 y＝ sin 的图象，由函数y＝ sin （2x＋ －2φ）的图象关于 y轴对称可知 sin ＝±1，即 sin ＝±1，故2φ－ ＝kπ＋ ，k∈Z，即φ＝ ＋ ，k∈Z，又φ＞0，所以φmin＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　由f（x）＝ sin ＝ cos 的图象向右平移φ个单位长 度所得图象关于y轴对称可知2φ＋ ＝kπ，k∈Z，故φ＝ － ，又φ＞ 0，故φmin＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：最小正周期T＝ ＝π， 由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， 所以函数f（x）的单调递增区间是 ［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 10. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）在区间 上的最小值和最大值，并求出取最值 时x的值. 解：令t＝2x－ ， 则由 ≤x≤ 可得0≤t≤ ， 所以当t＝ ， 即x＝ 时，ymin＝－ ， 当t＝ ，即x＝ 时，ymax＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝ f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，所得图象对应的函数为偶函 数，则φ的一个值是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　∵函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π， ∴ ＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝ sin （2x＋ ），∴将y＝f（x）的图 象向左平移｜φ｜个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝ sin ［2 （x＋｜φ｜）＋ ］＝ sin （2x＋2｜φ｜＋ ）.∵所得函数为偶函数， ∴2｜φ｜＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得｜φ｜＝ ＋ （k∈Z），∴当k ＝0时，｜φ｜＝ .故φ的一个值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 已知ω＞0，函数f（x）＝ sin 在 上单调递减，则ω的 取值范围是（　　） A. B. （0，2] C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　∵函数f（x）＝ sin （ω＞0）在 上单调递 减，∴周期T＝ ≥π，解得0＜ω≤2.∵f（x）＝ sin 的单调 递减区间满足 ＋2kπ≤ωx＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，即 ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z，∴存在k∈Z，使 ＋ ≤ ， ＋ ≥π均成立.此 时 ＋4k≤ω≤ ＋2k，k∈Z，∴ ≤ω≤ ，即ω的取值范围是 ， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）在一个周期内，当x＝ 时有最 大值1，当x＝ 时有最小值－1，则ω＝ ⁠. 解析：由题意知T＝2× ＝π，所以ω＝ ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函 数，其图象关于点M 对称，且在区间 上是单调函数，求φ 和ω的值. 解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x）， 即函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴f（x）在x＝0时取得最值.即 sin φ＝±1， 又0≤φ≤π，∴φ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由f（x）的图象关于点M对称， 可知 sin ＝0，解得ω＝ － ，k∈Z. 又∵f（x）在 上是单调函数， ∴T≥π，即 ≥π，∴0＜ω≤2. ∴当k＝1时，ω＝ ，当k＝2时，ω＝2， 综上，可知φ＝ ，ω＝ 或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕将函数f（x）＝ sin 的图象向右平移 个单位长 度，得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　） A. 函数g（x）的图象关于y轴对称 B. 函数g（x）的最小正周期为2π C. 函数g（x）在 上单调递减 D. 直线x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意g（x）＝ sin ＝ sin ＝－ cos 2x，g（－x）＝－ cos （－2x）＝－ cos 2x＝g（x），是偶函数， 图象关于y轴对称，A正确；最小正周期是T＝ ＝π，B错；x∈ 时，2x∈（0，π），y＝ cos 2x单调递减，g（x）单调递增，C错；g （π）＝－ cos 2π＝－1，x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴，D正 确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 将函数f（x）＝ sin （ωx＋φ） 图象上每一点 的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y＝ sin x的图象. （1）求函数f（x）的解析式； 解：将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝ sin 的图象，故f（x）＝ sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的取值范围. 解：令2kπ＋ ≤ x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），则4kπ＋ ≤x≤4kπ＋ （k∈Z），又x∈[0，3π]，所以x∈ ，f（x）单调递增，x∈ ，f（x）单调递减，x∈ ，f（x）单调递增，所以f（x）max＝1，f（x）min＝－1，当x＝0时，y＝ ，当x＝3π时，y＝－ .故使方程f（x）＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈ ∪{－1，1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $