第二章　相交线与平行线 复习课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了相交线与平行线的核心知识，涵盖垂直性质、平行线判定与性质、角的互补互余关系及距离计算等，通过A组三基练习夯实基础、B组能力提升整合应用、C组满分冲刺拓展探究，构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于采用分层设计与跨学科融合，如A组第5题结合光线折射考查平行线性质，B组第11题联系物理凸透镜折射培养应用意识，C组通过“过点作平行线”的辅助线方法发展几何直观与推理能力。这种设计既巩固知识又提升核心素养，助力教师精准实施分层教学，帮助学生全面掌握单元内容。

第二章　相交线与平行线 第7课时　平行线的判定与性质综合 1. 如图，已知∠1＝∠2，还需再添加一个条件： ，可知AB∥EF. 第1题图　　　　　　 ∠D＝∠DGF(答案不唯一) A组 三基练习 七年级下册数学 2. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦 力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α＝25°，则摩擦 力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　C　) A. 155° B. 125° C. 115° D. 65° 第2题图 C A组 三基练习 七年级下册数学 3. (北师教材P50改编)如图，一束平行光线AB与DE射向 一个水平镜面后被反射，此时，∠1＝∠2，∠3＝∠4， 反射光线BC与EF也平行吗？说明理由. 解：平行.理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠4. ∴BC∥EF. 解：平行.理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠4. ∴BC∥EF. A组 三基练习 七年级下册数学 4. 如图，BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC和 ∠BCD. 试说明：AB∥CD. 解：∵BE∥CF， ∴∠1＝∠2. ∵BE，CF 分别平分∠ABC 和∠BCD， ∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2. ∴∠ABC＝∠BCD. ∴AB∥CD. 解：∵BE∥CF， ∴∠1＝∠2. ∵BE，CF 分别平分∠ABC 和∠BCD， ∴∠ABC＝2∠1，∠BCD＝2∠2. ∴∠ABC＝∠BCD. ∴AB∥CD. A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求 ∠AGD的度数. 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3. ∴AB∥DG. ∴∠BAC＋∠AGD＝180°. ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝180°－70°＝110°， 即∠AGD的度数为110°. 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3. ∴AB∥DG. ∴∠BAC＋∠AGD＝180°. ∵∠BAC＝70°， ∴∠AGD＝180°－70°＝110°， 即∠AGD的度数为110°. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，将直角三角尺放置在长方形纸片上，若∠1＝ 35°，则∠2的度数为(　A　) A. 55° B. 45° C. 35° D. 30° 第6题图　　　　　　 A B组 能力提升 七年级下册数学 7. 如图是某购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平 行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的 ，∠2的度数 是 ⁠. 第7题图　　　　　　　 55° B组 能力提升 七年级下册数学 8. (北师教材P54T9改编)某乡要修建一条灌溉水渠，如 图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏 西25°方向到C村，水渠从C村沿 ⁠方向 修建，可以保持与AB的方向一致. 第8题图 北偏东65° B组 能力提升 七年级下册数学 9. 如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝ 140°，求∠BCD的度数. 解：如图，过点C作CF∥AB. 解：如图，过点C作CF∥AB. ∴∠BCF＝∠ABC＝70°. ∵AB∥DE， ∴CF∥DE. ∴∠DCF＝180°－∠CDE ＝180°－140°＝40°. ∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－40°＝30°. B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°. (1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； 解：(1)BF∥DE. 理由如下： ∵∠AGF＝∠ABC， ∴GF∥BC. ∴∠1＝∠CBF. ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠CBF＋∠2＝180°. ∴BF∥DE. 解：(1)BF∥DE. 理由如下： ∵∠AGF＝∠ABC， ∴GF∥BC. ∴∠1＝∠CBF. ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠CBF＋∠2＝180°. ∴BF∥DE. B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°. (2)若DE⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数. 解：(2)∵DE⊥AC， ∴∠DEA＝90°. ∵BF∥DE， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°. ∵∠1＝180°－∠2＝180°－150°＝30°， ∴∠AFG＝∠AFB－∠1＝60°. 解：(2)∵DE⊥AC， ∴∠DEA＝90°. ∵BF∥DE， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°. ∵∠1＝180°－∠2＝180°－150°＝30°， ∴∠AFG＝∠AFB－∠1＝60°. B组 能力提升 七年级下册数学 11. 如图所示，直线m∥n，点A，D在直线m上，点 B，C在直线n上，且AB∥CD，∠ABC＝60°，DP平 分∠ADC交直线n于点P，连接AP. (1)∠ADC的度数为 ⁠； (2)若∠APD＝75°，求∠BAP的度数； 60° (2)∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP＝ ∠ADC＝30°. ∵m∥n， C组 满分冲刺 七年级下册数学 ∴∠ADP＝∠DPC＝30°. ∵∠APD＝75°， ∴∠APC＝∠APD＋∠DPC＝75°＋30°＝105°. ∴∠APB＝180°－105°＝75°. ∴∠BAP＝180°－60°－75°＝45°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 11. 如图所示，直线m∥n，点A，D在直线m上，点 B，C在直线n上，且AB∥CD，∠ABC＝60°，DP平 分∠ADC交直线n于点P，连接AP. (3)将三角形PCD向右平移，当AP最小时，求此时 ∠APD的度数. (3)当AP⊥BC时，AP最小， ∴∠APC＝90°. 由(2)可得∠DPC＝30°， ∴∠APD＝90°－30°＝60°. (3)当AP⊥BC时，AP最小， ∴∠APC＝90°. 由(2)可得∠DPC＝30°， ∴∠APD＝90°－30°＝60°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第2课时　两条直线的位置关系(2)——垂线 1. 下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺的摆法正确 的是(　C　) A B C D C A组 三基练习 七年级下册数学 2. (2025·陕西)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD. 若 ∠1＝40°，则∠2的度数为(　B　) A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° B A组 三基练习 七年级下册数学 3. 如图，在一次立定跳远测试中，小强从点B起跳，落 到了点A处，若AB＝2.46 m，则小强的跳远成绩可能为 (　A　) A. 2.37 m B. 2.46 m C. 2.51 m D. 2.56 m A A组 三基练习 七年级下册数学 4. 如图，在铁路旁边有一李庄，现要建火车站，使李庄 的人乘火车最方便(即距离最近)，请你在铁路边上选一点 来建火车站，并说明理由. 解：如图所示，火车站即为所求. 理由是垂线段最 短. 解：如图所示，火车站即为所求. 理由是垂线段最 短. A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，在钝角∠AOB中，点D在射线OB上. (1)画直线DE，使DE⊥OB，垂足为D； 解：(1)如图所示，直线DE即为所求. 解：(1)如图所示，直线DE即为所求. A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，在钝角∠AOB中，点D在射线OB上. (2)画直线DF，使DF⊥OA，垂足为F. 解：(2)如图所示，直线DF即为所求. 解：(2)如图所示，直线DF即为所求. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足 为O，∠BOD＝28°. (1)求∠AOM的度数； 解：(1)∵OM⊥CD， ∴∠MOC＝90°. ∵∠AOC＝∠BOD＝28°， ∴∠AOM＝90°－28°＝62°. 解：(1)∵OM⊥CD， ∴∠MOC＝90°. ∵∠AOC＝∠BOD＝28°， ∴∠AOM＝90°－28°＝62°. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥CD，垂足 为O，∠BOD＝28°. (2)若OA平分∠MOE，求∠BOE的度数. 解：(2)∵OA平分∠MOE， ∴∠AOE＝∠AOM＝62°. ∵∠BOE＋∠AOE＝180°， ∴∠BOE＝180°－62°＝118°. 解：(2)∵OA平分∠MOE， ∴∠AOE＝∠AOM＝62°. ∵∠BOE＋∠AOE＝180°， ∴∠BOE＝180°－62°＝118°. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 如图，纸片的一边为AB，P为纸片内一点，小亮通过 折叠折出过点P且与AB垂直的折痕，他发现这样的折痕 只能折出一条，理由是(　C　) C A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短 B组 能力提升 七年级下册数学 8. (应用意识)如图，点P，Q分别代表两个村庄，直线l 代表两个村庄中间的一条公路.根据居民出行的需要，计 划在公路l上的某处设置一个公交站. (1)若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村 庄P最近的公交站，请在公路l上画出公交站的位置(用 点M表示)，依据是 ⁠； 解：(1)如图所示，点M即为所求. 垂线段最短 解：(1)如图所示，点M即为所求. B组 能力提升 七年级下册数学 8. (应用意识)如图，点P，Q分别代表两个村庄，直线l 代表两个村庄中间的一条公路.根据居民出行的需要，计 划在公路l上的某处设置一个公交站. (2)若考虑到修路的费用问题，希望公交站的位置到村庄 P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出公交站的 位置(用点N表示)，依据是 ⁠. 两点之间，线段最短 解：(2)如图所示，点N即为所求. B组 能力提升 七年级下册数学 9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB. (1)∠COM的补角为 ⁠； (2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理 由； ∠DOM (2)ON⊥CD. 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°. ∴∠1＋∠AOC＝90°. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠AOC＝90°，即∠CON＝90°. ∴ON⊥CD. B组 能力提升 七年级下册数学 9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB. (3)若∠1＝ ∠BOC，则∠MOD的度数为 ⁠. 150° B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平 分∠AOC，OF平分∠BOC. (1)若∠BOC＝50°，试探究OE与OF之间的位置关系； 解：(1)OE⊥OF. 理由如下： ∵∠BOC＝50°， ∴∠AOC＝180°－50°＝130°. ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴∠COE＝ ∠AOC＝65°，∠COF＝ ∠BOC＝25°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 ∴∠EOF＝∠COE＋∠COF＝65°＋25°＝90°. ∴OE⊥OF. C组 满分冲刺 七年级下册数学 10. 如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平 分∠AOC，OF平分∠BOC. (2)若∠BOC＝α(0°＜α＜180°)，则(1)中OE，OF的位 置关系是否仍成立？请说明理由. 解：(2)成立.理由如下： ∵∠BOC＝α， ∴∠AOC＝180°－α. ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， C组 满分冲刺 七年级下册数学 ∴∠EOC＝ ∠AOC＝90°－ α，∠COF＝ ∠BOC＝ α. ∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°－ α＋ α＝90°. ∴OE⊥OF. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第1课时　两条直线的位置关系(1)——对顶角、补角和余角 1. 下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是(　D　) A B C D 2.如图，已知直线a，b交于点O，∠1＝30°，那么∠2 的度数为 ⁠. 第2题图　　　　 D 150° A组 三基练习 七年级下册数学 3. 下列说法中，正确的有 .(填序号) ①钝角与锐角互补；②∠α的余角是90°－∠α； ③∠β(0°＜∠β＜180°)的补角是180°－∠β；④若∠1＋ ∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余. ③ A组 三基练习 七年级下册数学 4. (跨学科)我国古代思想家墨子和他的学生，完成了世 界上第一个小孔成像的实验，发现了光沿直线传播的物 理现象.如图，若∠1＋∠2＝40°，则∠3的度数 为 ⁠. 第4题图 160° A组 三基练习 七年级下册数学 5. 一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x°. 由题意，得180°－x°＋30°＝4(90°－x°)， 解得x＝50. 答：这个角的度数是50°. 解：设这个角的度数为x°. 由题意，得180°－x°＋30°＝4(90°－x°)， 解得x＝50. 答：这个角的度数是50°. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分 ∠EOD. (1)图中∠BOD的补角是 和 ⁠； (2)若∠BOD＝40°，求∠EOC的度数. ∠AOD ∠COB (2)∵∠BOD＝40°，OB平分∠EOD， ∴∠DOE＝2∠BOD＝2×40°＝80°. ∵∠DOE＋∠COE＝180°， ∴∠EOC＝180°－80°＝100°. (2)∵∠BOD＝40°，OB平分∠EOD， ∴∠DOE＝2∠BOD＝2×40°＝80°. ∵∠DOE＋∠COE＝180°， ∴∠EOC＝180°－80°＝100°. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (1)写出∠COE的对顶角及∠AOC的补角； 解：(1)∠COE的对顶角是∠DOF；∠AOC的补角是 ∠AOD和∠BOC. 解：(1)∠COE的对顶角是∠DOF；∠AOC的补角是 ∠AOD和∠BOC. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O. (2)如果∠AOE＝30°，∠BOD＝60°，求∠COF和 ∠COB的度数. 解：(2)∵∠AOE＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠EOD＝180°－∠AOE－∠BOD＝90°. ∴∠COF＝∠EOD＝90°. 又∵∠BOF＝∠AOE＝30°， ∴∠COB＝∠COF＋∠BOF＝120°. 解：(2)∵∠AOE＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠EOD＝180°－∠AOE－∠BOD＝90°. ∴∠COF＝∠EOD＝90°. 又∵∠BOF＝∠AOE＝30°， ∴∠COB＝∠COF＋∠BOF＝120°. A组 三基练习 七年级下册数学 8. 小明同学想用一副三角尺摆成∠α与∠β互余，下面摆 放方式中符合要求的是(　A　) A B C D A B组 能力提升 七年级下册数学 9. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分 线.若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE＝24°，求 ∠AOC的度数. 解：由题意，得∠AOD＋∠BOD＝180°. ∵OD是∠COE的平分线，∠DOE＝24°， ∴∠COD＝∠DOE＝24°. 设∠AOB＝x°. B组 能力提升 七年级下册数学 ∵OB是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2x°，∠BOC＝x°. ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝2x°＋24°， ∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝x°＋24°. ∵∠AOD＋∠BOD＝180°， ∴2x°＋24°＋x°＋24°＝180°， 解得x＝44. ∴∠AOC＝2×44°＝88°. B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠COB，OF是∠EOD的平分线. (1)试说明：∠AOD＝2∠COE； 解：(1)∵OE平分∠COB， ∴∠COB＝2∠COE. ∵∠AOD＝∠COB， ∴∠AOD＝2∠COE. 解：(1)∵OE平分∠COB， ∴∠COB＝2∠COE. ∵∠AOD＝∠COB， ∴∠AOD＝2∠COE. B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ∠COB，OF是∠EOD的平分线. (2)若∠AOC＝48°，求∠EOF的度数. 解：(2)∵∠AOC＝48°， ∴∠BOC＝180°－48°＝132°. ∴∠EOC＝ ∠BOC＝66°. B组 能力提升 七年级下册数学 ∴∠DOE＝180°－∠EOC＝180°－66°＝ 114°. ∵OF平分∠DOE， ∴∠EOF＝ ∠DOE＝57°. B组 能力提升 七年级下册数学 11. 观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)： 图1　　　 (1)如图1，图中共有 对对顶角； 2 (2)如图2，图中共有 对对顶角； 图2　　　 6 (3)如图3，图中共有 对对顶角； 12 图3 C组 满分冲刺 七年级下册数学 (4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间 的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对 顶角？ 11. 观察，在如图所示的各图中找对顶角(不含平角)： (4)若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶 角. (5)若有100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？ (5)若有100条直线相交于一点，则可形成100×(100－1) ＝9 900(对)对顶角. (4)若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶 角. (5)若有100条直线相交于一点，则可形成100×(100－1) ＝9 900(对)对顶角. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第6课时　平行线的性质 1. (2025·河北)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接 方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC， ∠ABC＝70°，则∠BAD＝(　C　) A. 70° B. 100° C. 110° D. 130° 第1题图　　　　 C A组 三基练习 七年级下册数学 2. 如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放 在直尺的一组对边上，如果∠2＝25°，那么∠1的度数 是(　B　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第2题图　　　　 B A组 三基练习 七年级下册数学 3. 如图是一根吸管插入纸杯中的截面图，已知 AB∥CD，l表示吸管.若∠1＝76°，则∠2＝ ⁠. 第3题图 104° A组 三基练习 七年级下册数学 4. 如图，AB∥CD，OH⊥AB，∠2＝50°，求∠1的 度数. 解：∵AB∥CD， ∴∠AOG＝∠2＝50°. ∵OH⊥AB， ∴∠AOH＝90°. ∴∠1＝40°. 解：∵AB∥CD， ∴∠AOG＝∠2＝50°. ∵OH⊥AB， ∴∠AOH＝90°. ∴∠1＝40°. A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，已知a∥b，c∥d，∠1＝70°，求∠2，∠3的 度数. 解：∵a∥b，∠1＝70°， ∴∠2＝∠1＝70°. ∵c∥d， ∴∠3＝180°－∠2＝110°. 解：∵a∥b，∠1＝70°， ∴∠2＝∠1＝70°. ∵c∥d， ∴∠3＝180°－∠2＝110°. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E， F，EG平分∠BEF，∠1＝70°，求∠2和∠3的度数. 解：∵EG 平分∠BEF， ∴∠BEG＝∠1＝70°，∠BEF＝2∠1＝140°. ∵AB∥CD， ∴∠2 ＝∠BEG＝70°，∠3＝180°－∠BEF＝40°. 解：∵EG 平分∠BEF， ∴∠BEG＝∠1＝70°，∠BEF＝2∠1＝140°. ∵AB∥CD， ∴∠2 ＝∠BEG＝70°，∠3＝180°－∠BEF＝40°. A组 三基练习 七年级下册数学 7. (2025·深圳改编)如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线AO经平面镜反射后入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为 ⁠. 第7题图　　　　　 32° B组 能力提升 七年级下册数学 8. 某城市中的5条道路AB，BC，CD，DE，CF的位置 关系如图所示，已知AB∥DE，DE∥CF，∠B＝ 72°，∠BCD＝35°，则拐角∠D的度数为 ⁠. 第8题图　　　　　 143° B组 能力提升 七年级下册数学 9. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案.若∠1＝ 20°，则∠2的度数为 ⁠. 第9题图 140° B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE ＝130°，求∠BCD的度数. 解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°， ∴∠BCF＝∠ABC＝70°. 又∵DE∥CF，∠CDE＝130°， ∴∠DCF＋∠CDE＝180°. ∴∠DCF＝50°. ∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－50°＝20°. 解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°， ∴∠BCF＝∠ABC＝70°. 又∵DE∥CF，∠CDE＝130°， ∴∠DCF＋∠CDE＝180°. ∴∠DCF＝50°. ∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝70°－50°＝20°. B组 能力提升 七年级下册数学 11. 如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1－∠2＝ 30°，求∠3的度数. 解：由题意，得AB∥CD，∠2＋∠3＝180°. ∴∠1＝∠3. ∵∠1－∠2＝30°， ∴∠2＝∠3－30°. ∴2∠3－30°＝180°. ∴∠3＝105°. 解：由题意，得AB∥CD，∠2＋∠3＝180°. ∴∠1＝∠3. ∵∠1－∠2＝30°， ∴∠2＝∠3－30°. ∴2∠3－30°＝180°. ∴∠3＝105°. B组 能力提升 七年级下册数学 12. 【问题提出】 (1)①如图1，AO∥CP，OB∥PD，则∠AOB与∠CPD 之间的数量关系为 ⁠； ②如图2，AO∥CP，OB∥PD，则∠AOB与∠CPD之 间的数量关系为 ⁠. ∠AOB＝∠CPD ∠AOB＋∠CPD＝180° C组 满分冲刺 七年级下册数学 【拓展探究】 (2)在图3中，AB∥CD，AF∥CE，EF∥CD，∠A＝ 45°，求∠E的度数. (2)∵AB∥CD，EF∥CD， ∴AB∥EF. ∴∠A＝∠EFA＝45°. ∵AF∥CE， ∴∠E＋∠EFA＝180°. ∴∠E＝180°－∠EFA＝135°. (2)∵AB∥CD，EF∥CD， ∴AB∥EF. ∴∠A＝∠EFA＝45°. ∵AF∥CE， ∴∠E＋∠EFA＝180°. ∴∠E＝180°－∠EFA＝135°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第5课时　平行线的判定综合 1. 如图，要得到a∥b，则需要条件(　C　) A. ∠2＝∠4 B. ∠1＋∠3＝180° C. ∠1＋∠2＝180° D. ∠2＝∠3 第1题图　　　　　　 C A组 三基练习 七年级下册数学 2. (2025·德州改编)如图，∠DAC与∠CAB互补，射线 AE在∠DAC的内部，添加一个条件 ⁠ ，使得AE∥BC. (写出一种情况即可) 第2题图 ∠DAE＝∠B(答 案不唯一) A组 三基练习 七年级下册数学 3. 如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3，试说明： AD∥BC. 解：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3， ∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠3， 即∠2＝∠4. ∴AD∥BC. 解：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3， ∴∠BAD－∠1＝∠DCB－∠3， 即∠2＝∠4. ∴AD∥BC. A组 三基练习 七年级下册数学 4. 如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝ ∠2，试说明DE与AB的位置关系. 解：DE∥AB. 理由如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠1. ∵EF平分∠DEC， ∴∠DEC＝2∠2. ∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DEC. ∴DE∥AB. A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，试说 明：BE∥DF. 解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4. ∴BE∥DF. 解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠4＝90°. ∵∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4. ∴BE∥DF. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 数学课上，老师在黑板上画出如图所示的三角形，并 要求学生添加一个条件，使得DE∥BC，下面四位同学 给出的条件中有一个无法得出这个结论，则这位同学是 (　D　) 小亮 小卓 小花 小丽 ∠2＝∠C ∠3＋∠C＝ 180° ∠1＝∠4 ∠1＝∠2 D A. 小亮 B. 小卓 C. 小花 D. 小丽 B组 能力提升 七年级下册数学 7. 如图，已知∠ABC＝∠DCB＝70°，∠CBF＝ 20°，∠EFB＝130°，试说明直线EF与CD的位置关 系. 解：EF∥CD. 理由如下： ∵∠ABC＝∠DCB＝70°， ∴CD∥AB. ∵∠CBF＝20°， ∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝50°. ∵∠EFB＝130°， ∴∠ABF＋∠EFB＝50°＋130°＝180°. ∴EF∥AB. ∴EF∥CD. B组 能力提升 七年级下册数学 8. 光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中 射入空气中，同样会发生折射现象.如图是光线从空气中 射入水中，再从水中射入空气中的示意图.已知∠1＝ ∠4，∠2＝∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行？ 并说明理由. B组 能力提升 七年级下册数学 解：c∥d.理由如下： ∵∠2＋∠5＝∠3＋∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠6. ∵∠1＝∠4， ∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6. ∴c∥d. 解：c∥d.理由如下： ∵∠2＋∠5＝∠3＋∠6，∠2＝∠3， ∴∠5＝∠6. ∵∠1＝∠4， ∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6. ∴c∥d. B组 能力提升 七年级下册数学 9. 将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如 图方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E ＝∠B＝45°). (1)若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ⁠； 135° C组 满分冲刺 七年级下册数学 9. 将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如 图方式叠放在一起(其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E ＝∠B＝45°). (2)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块 三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出 ∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由)；若不存在， 请说明理由. (2)存在. ∠ACE＝30°，45°，120°，135°，165°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第4课时　探索直线平行的条件(2)——内错角、同旁内角 1. 如图在“垃圾入桶”标志的平面示意图中，∠1与∠2 的位置关系是(　C　) 第1题图 A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 C A组 三基练习 七年级下册数学 2. 如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与 ∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是 同位角.其中正确的是 .(填序号) 第2题图 ①② A组 三基练习 七年级下册数学 3. (北师教材P47T4改编)如图，下列推理错误的是 (　B　) A. 若∠1＝∠2，则a∥b B. 若∠1＝∠3，则a∥b C. 若∠3＝∠5，则c∥d D. 若∠2＋∠4＝180°，则c∥d 第3题图 B A组 三基练习 七年级下册数学 4. 看图完成推理. (1)∵∠2＝∠3， ∴ ∥ ( ，两直线平行)； (2)∵∠A＝∠1， ∴ ∥ ( ，两直线平行)； AD BC 内错角相等 AD BC 同位角相等 A组 三基练习 七年级下册数学 (3)∵∠A＋ ＝180°， ∴AB∥CD( ，两直线平行). ∠ADC 同旁内角互补 A组 三基练习 七年级下册数学 5. (北师教材P44改编)如图，三个相同的三角尺拼接成一 个图形，请找出图中的两组平行线，并说明你的理由. 解：(答案不唯一)AC∥DE，BC∥AE. 理由如下： ∵∠EDC＝∠ACB， ∴AC∥DE. ∵∠BCA＝∠EAC， ∴BC∥AE. 解：(答案不唯一)AC∥DE，BC∥AE. 理由如下： ∵∠EDC＝∠ACB， ∴AC∥DE. ∵∠BCA＝∠EAC， ∴BC∥AE. A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，点P是直线AB外一点，请用尺规作出直线 CD，使CD经过点P，且CD∥AB. 解：如图所示，CD即为所求. 解：如图所示，CD即为所求. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 如图，当∠1＋∠2＝180°时，直线a，b平行吗？为 什么？(可尝试用多种方法解答) 解：如图. 解：如图. 方法一： ∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°， ∴∠3＝∠2. ∴a∥b. A组 三基练习 七年级下册数学 方法二： ∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠5，∠2＝∠4， ∴∠4＋∠5＝180°. ∴a∥b. (合理即可) 方法二： ∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠5，∠2＝∠4， ∴∠4＋∠5＝180°. ∴a∥b. (合理即可) A组 三基练习 七年级下册数学 8. 数学课上，老师用双手形象地表示了“三线八角”图 形，如图所示(两根大拇指代表被截直线，食指代表截 线)，则从左至右依次表示(　D　) A. 同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、对顶角 C. 对顶角、同位角、同旁内角 D. 同位角、内错角、同旁内角 第8题图　　　　　 D B组 能力提升 七年级下册数学 9. 如图，学员小颖在广场上练习驾驶汽车，若第一次向 左拐70°，行驶一段时间后，要使行驶的方向与最开始 的方向相反，则第二次需要左拐的度数为 ⁠. 第9题图 110° B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，CE⊥DG，垂足为C，∠CAB＝125°， ∠ACE＝145°.试说明：CD∥AB. 解：∵CE⊥DG， ∴∠ECG＝90°. ∵∠ACE＝145°， ∴∠ACG＝∠ACE－∠ECG＝55°. ∵∠CAB＝125°， ∴∠CAB＋∠ACG＝180°. ∴AB∥DG，即CD∥AB. 解：∵CE⊥DG， ∴∠ECG＝90°. ∵∠ACE＝145°， ∴∠ACG＝∠ACE－∠ECG＝55°. ∵∠CAB＝125°， ∴∠CAB＋∠ACG＝180°. ∴AB∥DG，即CD∥AB. B组 能力提升 七年级下册数学 11. 如图，∠1和∠D互余，CF⊥DF，AB与CD平行 吗？为什么？ 解：AB∥CD. 理由如下： ∵CF⊥DF， ∴∠CFD＝90°. ∵∠1＋∠CFD＋∠2＝180°， ∴∠1＋∠2＝90°. ∵∠1与∠D互余， ∴∠1＋∠D＝90°. ∴∠2＝∠D. ∴AB∥CD. B组 能力提升 七年级下册数学 12. (综合与实践·操作探究)(北师教材P47T5改编)在学习 了平行线的判定之后，老师给大家布置了一道实践作 业：对于一个锐角三角形纸片ABC，在不利用工具的情 况下怎样折叠才能在三角形中作出其中一条边的平行线 呢？小卓同学的解决方案如下： 折叠方法：①先将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点 B的对应点B'落在线段AB上，折痕为DE； C组 满分冲刺 七年级下册数学 ②再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C'落在线段 B'D上，得到折痕DF； ③DF即为AB的平行线. 请你根据所学知识说明小卓作法的正确性. 解：由折叠，得∠B'ED＝∠BED，∠B'DE＝ ∠BDE，∠C'DF＝∠CDF. ∵∠B'ED＋∠BED＝180°， C组 满分冲刺 七年级下册数学 ∴∠B'ED＝∠BED＝90°. ∵∠BDB'＋∠CDC'＝180°， ∴∠B'DE＋∠C'DF＝ ∠BDB'＋ ∠CDC'＝ (∠BDB' ＋∠CDC')＝ 90°，即∠EDF＝90°. ∴∠B'ED＋∠EDF＝180°. ∴DF∥AB. ∴∠B'ED＋∠EDF＝180°. ∴DF∥AB. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 章末复习 1. 下列说法正确的是(　B　) A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 C. 垂线段就是点到直线的距离 D. 直线a，b，c在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则 a⊥c B A组 三基练习 七年级下册数学 2. 如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∠1＝40°，则 ∠3的度数为(　A　) A. 40° B. 140° C. 50° D. 130° A A组 三基练习 七年级下册数学 3. 如图，能判定AB∥CD的条件是(　B　) A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠4 C. ∠DCE＝∠D D. ∠B＋∠BAD＝180° 第3题图　　　　 B A组 三基练习 七年级下册数学 4. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝ 4，AB＝5，那么点C到AB的距离是(　D　) A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 2.4 D A组 三基练习 七年级下册数学 5. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所 以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，若 ∠1＝55°，∠2＝155°，则∠3的度数为 ⁠. 第5题图　　　　　 80° A组 三基练习 七年级下册数学 6. 将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则 ∠CDF＝ ⁠. 第6题图　　　　　 105° A组 三基练习 七年级下册数学 7. 如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D ＝ ⁠. 第7题图 100° A组 三基练习 七年级下册数学 8. 如图，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分 线，∠BOE＝18°，求∠DOE的度数. 解：∵OC⊥OE， ∴∠COE＝90°. ∵∠BOE＝18°， ∴∠COB＝90°＋18°＝108°. ∵OD为∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝108°× ＝54°. ∴∠DOE＝54°－18°＝36°. 解：∵OC⊥OE， ∴∠COE＝90°. ∵∠BOE＝18°， ∴∠COB＝90°＋18°＝108°. ∵OD为∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝108°× ＝54°. ∴∠DOE＝54°－18°＝36°. A组 三基练习 七年级下册数学 9. 如图，线段AB∥CD，CD交BF于点E. (1)尺规作图：以点D为顶点，作射线DM∥BF；(要 求：不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图所示，射线DM即为所求. 解：(1)如图所示，射线DM即为所求. A组 三基练习 七年级下册数学 9. 如图，线段AB∥CD，CD交BF于点E. (2)判断∠B与∠D的大小关系，并说明理由. 解：(2)∠B＝∠D. 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠CEF. ∵DM∥BF， ∴∠CEF＝∠D. ∴∠B＝∠D. 解：(2)∠B＝∠D. 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠CEF. ∵DM∥BF， ∴∠CEF＝∠D. ∴∠B＝∠D. A组 三基练习 七年级下册数学 10. 如图，小航将一块直角三角尺和直尺叠放在一起， 则∠1和∠2的关系一定是(　A　) A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 同旁内角 第10题图　　　　 A B组 能力提升 七年级下册数学 11. (跨学科)如图，一束平行于主光轴(虚线)的光线经凸 透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交 于点P，F为焦点.若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的 度数为(　C　) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 第11题图　　　　 C B组 能力提升 七年级下册数学 12. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°， 则∠AEF的度数为 ⁠. 第12题图　　　　 115° B组 能力提升 七年级下册数学 13. 如图，∠1＝70°，直线a∥b，则∠2－∠3 ＝ ⁠. 第13题图 110° B组 能力提升 七年级下册数学 14. (1)如图1，∠CDF＋∠DFE＝180°，∠C＝ ∠DAE，试说明：AD∥BC； 解：(1)∵∠CDF＋∠DFE＝180°， ∴AE∥DC. ∴∠AEC＋∠C＝180°. ∵∠C＝∠DAE， ∴∠AEC＋∠DAE＝180°. ∴AD∥BC. 解：(1)∵∠CDF＋∠DFE＝180°， ∴AE∥DC. ∴∠AEC＋∠C＝180°. ∵∠C＝∠DAE， ∴∠AEC＋∠DAE＝180°. ∴AD∥BC. B组 能力提升 七年级下册数学 (2)一种路灯的示意图如图2，其底部支架AB与吊线FG 平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角度数为α，顶部支 架EF与灯杆CD所成锐角度数为β，求∠EFG的度 数.(用含α，β的式子表示) 解：(2)如图，过E作EM∥AB， B组 能力提升 七年级下册数学 解：(2)如图，过E作EM∥AB， ∵AB∥FG， ∴AB∥EM∥FG. ∴∠ABC＝∠MEC＝α，∠MEF＋∠EFG＝180°. ∴∠EFG＝180°－∠MEF. ∵∠MEC＋∠DEF＝180°－∠MEF， ∴∠MEC＋∠DEF＝∠EFG. ∴∠ABC＋∠DEF＝∠EFG. ∴∠EFG＝α＋β. ∴∠EFG＝180°－∠MEF. ∵∠MEC＋∠DEF＝180°－∠MEF， ∴∠MEC＋∠DEF＝∠EFG. ∴∠ABC＋∠DEF＝∠EFG. ∴∠EFG＝α＋β. B组 能力提升 七年级下册数学 15. (1)【问题情境】图1中，AB∥CD，∠PAB＝ 130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数. 小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来 求∠APC. 按小明的思路，易求得∠APC的度数为 ；(直 接写出答案) 110° 图1　　 C组 满分冲刺 七年级下册数学 (2)【问题探究】图2中，AB∥CD，请探究∠APC与 ∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由； 图2　　 (2)∠APC＝∠A＋∠C. 理由如下： 如图1，过点P作PE∥AB. 图1　　 ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD. ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE. (2)∠APC＝∠A＋∠C. 理由如下： 如图1，过点P作PE∥AB. 图1 ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD. ∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE. ∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠A＋∠C. C组 满分冲刺 七年级下册数学 (3)【拓展应用】图3中，AB∥CD，∠AEP＝48°， ∠PFC＝122°，求∠EPF的度数. 图3 (3)如图2，过点P作PM∥AB，则∠MPE＝∠AEP＝ 48°. 图2 ∵AB∥CD， ∴PM∥CD. ∴∠MPF＝∠PFC＝122°. (3)如图2，过点P作PM∥AB，则∠MPE＝∠AEP＝ 48°. 图2 ∵AB∥CD， ∴PM∥CD. ∴∠MPF＝∠PFC＝122°. ∴∠EPF＝∠MPF－∠MPE＝122°－48°＝74°. ∴∠EPF＝∠MPF－∠MPE＝122°－48°＝74°. C组 满分冲刺 七年级下册数学 $ 第二章　相交线与平行线 第3课时　探索直线平行的条件(1)——同位角 1. 如图，∠1和∠2是同位角的是(　C　) A B C D 2. 在同一平面内，两条直线可能的位置关系是(　C　) A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 垂直 C C A组 三基练习 七年级下册数学 3. 已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则 可作平行线(　C　) A. 1条 B. 2条 C. 0或1条 D. 无数条 C A组 三基练习 七年级下册数学 4. 如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加 的下列条件中，正确的是(　C　) A. ∠2＝90° B. ∠3＝90° C. ∠4＝90° D. ∠5＝90° 第4题图　　　　 C A组 三基练习 七年级下册数学 5. 如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所 以CD不平行于EF，理由是 ⁠ ⁠. 第5题图 过直线外一点有且只有一 条直线与这条直线平行 A组 三基练习 七年级下册数学 6. 如图，∠1＝75°，∠2＝105°，直线AB与CD平行 吗？为什么？ 解：AB∥CD. 理由如下： ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠3＝180°－105°＝75°. 又∵∠1＝75°， ∴∠1＝∠3. ∴AB∥CD. 解：AB∥CD. 理由如下： ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠3＝180°－105°＝75°. 又∵∠1＝75°， ∴∠1＝∠3. ∴AB∥CD. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 某城市市容环卫管理局准备在如图所示的公路两旁设 置平行于公路的绿化带，请你完成设计并回答问题. (1)要求公路两边的绿化带分别过A，B两点，请用三角 尺画出绿化带AC，BD； 解：(1)如图所示，直线AC，BD即为所求. 解：(1)如图所示，直线AC，BD即为所求. A组 三基练习 七年级下册数学 7. 某城市市容环卫管理局准备在如图所示的公路两旁设 置平行于公路的绿化带，请你完成设计并回答问题. (2)AC和BD有怎样的位置关系？请说明理由. 解：(2)AC∥BD，理由：平行于同一条直线的两条直线 平行. 解：(2)AC∥BD，理由：平行于同一条直线的两条直线 平行. A组 三基练习 七年级下册数学 8. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF 的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.试 说明：AB∥CD. 解：∵GH⊥CD， ∴∠CHG＝90°. 又∵∠2＝30°， ∴∠CHF＝90°－30°＝60°. ∴∠EHD＝∠CHF＝60°. 又∵∠1＝60°， ∴∠1＝∠EHD. ∴AB∥CD. A组 三基练习 七年级下册数学 9. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝ 45°.要使木条a与b平行，则木条 a按箭头方向旋转的度数至少是 ⁠. 40° B组 能力提升 七年级下册数学 10. 如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3 ＝∠4，则a与c平行吗？为什么？ 解：a与c平行.理由如下： ∵∠1＝∠2(已知)， ∴a∥b(　同位角相等，两直线平行　). ∵∠3＝∠4(已知)， ∴b∥c(　同位角相等，两直线平行　). ∴a∥c(　平行于同一条直线的两条直线平行　). 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 B组 能力提升 七年级下册数学 11. 如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，完成以 下作图： (1)过点A作BC的平行线； 解：(1)如图所示，AE即为所求. 解：(1)如图所示，AE即为所求. B组 能力提升 七年级下册数学 11. 如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，完成以 下作图： (2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D. 解：(2)如图所示，CD即为所求. 解：(2)如图所示，CD即为所求. B组 能力提升 七年级下册数学 12. 如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，试说明： AE∥BF. 解：∵AC⊥AE，BD⊥BF， ∴∠EAC＝∠FBD＝90°. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠FBD， 即∠EAB＝∠FBQ. ∴AE∥BF. 解：∵AC⊥AE，BD⊥BF， ∴∠EAC＝∠FBD＝90°. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠FBD， 即∠EAB＝∠FBQ. ∴AE∥BF. B组 能力提升 七年级下册数学 13. 探索与发现： (1)在同一平面内，若直线a1⊥a2，a2⊥a3，则直线a1与 a3的位置关系是 ⁠； (2)在同一平面内，若直线a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4， a4⊥a5，则直线a1与a5的位置关系是 ⁠； (3)在同一平面内，现在有2 025条直线a1，a2，a3，…， a2 025，且有a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，a4⊥a5，…，则直 线a1与a2 025的位置关系是 ⁠. 平行 平行 平行 C组 满分冲刺 七年级下册数学 $