第二章 相交线与平行线章节复习课件-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了相交线与平行线的核心知识，涵盖相交线、垂线、平行线的定义、性质、判定及应用，通过导图指引和知识点分层梳理，将对顶角、三线八角、平行公理等内容串联成逻辑网络，帮助学生构建完整的几何知识体系。 其亮点在于融合“知识点梳理-题型突破-分层训练-真题实战”四维复习策略，如通过“三线八角”模型培养几何直观，结合15类题型的典例精讲与变式训练发展推理意识，基础夯实与培优拔高分层设计满足个性化需求。中考真题演练强化应用意识，助力学生巩固知识、提升能力，也为教师提供系统复习框架，提高教学效率。

第二章 相交线与平行线 北师大版数学七年级下册章节复习培优精讲练 目 录 1. 导图指引 知识点梳理 2. 3. 4. 重点难点考点讲练 难度分层训练 5. 真题实战演练 导图指引 PART 01 导图指引 知识点梳理 PART 02 知识点梳理01：相交线 （1） 相交线的定义 如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 （2）对顶角的定义 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。对顶角相等。 （3） 邻补角的定义 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 图1 图2 图3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 垂线的性质 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 点到直线距离 知识点梳理02：垂线 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 平行线定义 知识点梳理03：平行线的定义及画法 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 平行线画法 知识点梳理03：平行线的定义及画法 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 原理：同位角相等，两直线平行。 同位角（F型） 图中的同位角∠1与∠5∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 内错角（Z型） 图中的内错角∠3与∠5，∠4与∠6。 同旁内角（U型） 图中的同旁内角∠4与∠5，∠3与∠6。 知识点梳理04：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 图5 平行公理 推论 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 知识点梳理05：平行公理及推论 判定方法（1） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法（3） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 03 02 判定方法（2） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 01 知识点梳理06：平行线判定 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（1） 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（2） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 性质（3） 知识点梳理07：平行线性质 重点难点考点讲练 PART 03 题型1：求一个角的余角 （24-25七年级下·四川成都·期中）一个角的度数是，则它的余角的度数为 °． 解： 故答案为：47 ． 典例精讲 题型1：求一个角的余角 （24-25七年级下·宁夏银川·期中）若一个角的余角是，那么这个角的度数是 ． 解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是． 故答案为：． 变式训练 题型2：求一个角的补角 （24-25七年级下·福建三明·期中）已知，则的补角为 °． 解：∵， ∴的补角为， 故答案为：． 典例精讲 题型2：求一个角的补角 （24-25七年级下·湖北荆州·期中）若和的两边分别平行，且，则的值为（   ） A． B． C．或 D．不确定 ∵若两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， ∴或 ∴的值为或. 故选C. 变式训练 题型3：与余角、补角有关的计算 （25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为______． (2)若，求n的值． 典例精讲 题型3：与余角、补角有关的计算 （1）解：∵点O在直线上，与互补，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴； 故答案为：； 典例精讲 题型3：与余角、补角有关的计算 （2）解：设， ∵点O在直线上，与互补， ，， ∴， ， . ， ， . ， ， ． 典例精讲 题型3：与余角、补角有关的计算 （24-25七年级下·山东青岛·月考）一个角的余角为，则这个角的补角为 ． 解： 故答案为：． 变式训练 题型4：同(等)角的余(补)角相等的应用 （24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按下图方式叠放在一起．可知，理由是 ． 解：∵， ∴， 即， 故答案为：同角的余角相等． 典例精讲 题型4：同(等)角的余(补)角相等的应用 （24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ （1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 变式训练 题型5：同位角、内错角、同旁内角 （24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 解：的内错角是 故选：D． 典例精讲 题型5：同位角、内错角、同旁内角 （23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同侧， 的同旁内角是． 故选：B． 变式训练 题型6：用直尺、三角板画平行线 （24-25七年级下·广西防城港·期中）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． （1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 典例精讲 题型6：用直尺、三角板画平行线 （24-25七年级下·北京·期中）如图，P是内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作的垂线，垂足为点D； (2)过点P作的平行线，交于点E； (3)测量点P到的距离是______；（保留一位小数） (4)比较线段和的大小．说明理由． （1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，所在直线即为所求． （3）解：点到的距离即为线段的长度， 测量得，， 故答案为：． （4）解：根据直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短， 可得． 变式训练 题型7：内错角相等两直线平行 （24-25七年级下·广东佛山·月考）如图，已知，当 时，． 解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 典例精讲 题型7：内错角相等两直线平行 （24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，能判断的条件是（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴，故A选项符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵， 变式训练 无法证明或，故C选项不符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选：A. 题型8：同旁内角互补两直线平行 （24-25七年级下·上海·月考）如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 典例精讲 题型8：同旁内角互补两直线平行 （23-24七年级下·全国·期末）如图，给出下列条件．其中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 解：A、由，，可得，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 变式训练 题型9：两直线平行同位角相等 （2025·陕西·模拟预测）如图，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：，， ， ， ， ． 故选：A． 典例精讲 题型9：两直线平行同位角相等 （24-25七年级下·河南安阳·月考）如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 解： ，故选项正确； 由题意得：，故选项正确； 与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C． 变式训练 题型10：两直线平行内错角相等 （23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 典例精讲 题型10：两直线平行内错角相等 （1）证明：∵分别平分和， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 典例精讲 题型10：两直线平行内错角相等 （24-25七年级下·上海·月考）如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由． 解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 变式训练 题型11：两直线平行同旁内角互补 （23-24七年级下·山东聊城·月考）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点 在直线或上且不与点、、、重合． (1)若点在图（1）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (2)若点在图（2）位置时，猜想、、之间的关系，并说明理由． 典例精讲 题型11：两直线平行同旁内角互补 （1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ； 典例精讲 （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型11：两直线平行同旁内角互补 （23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交于点，且，求的度数． 变式训练 题型11：两直线平行同旁内角互补 （1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ∴． 变式训练 （2）解：∵， ， ， 平分， ， ， ． 题型12：根据平行线的性质探究角的关系 （24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，在内部有一点． (1)过点画； (2)过点画； (3)直接写出与的夹角与的数量关系． 典例精讲 题型12：根据平行线的性质探究角的关系 （1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）结论：与的夹角与的数量关系：． 理由：∵，， ∴， ∴． 典例精讲 题型12：根据平行线的性质探究角的关系 （24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，，请你通过推理说明与有怎样的数量关系？ 解：，理由如下： ， ， ， 又， ， ． 变式训练 题型13：根据平行线的性质求角的度数 （24-25七年级下·全国·单元测试）如图，如果，求． 典例精讲 解：标记字母及角度如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13：根据平行线的性质求角的度数 （24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式训练 解：如图，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型14：根据平行线判定与性质求角度 （23-24七年级下·湖北武汉·月考）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 如图，，求的度数． 解：过点作， ， （__________）， （__________）． （已知）， ． （已作）， （________）． （已知）， （_______）， 典例精讲 题型14：根据平行线判定与性质求角度 解：过点作， ， （平行于同一直线的两条直线互相平行）， （两直线平行同旁内角互补）． （已知）， ． （已作）， （两直线平行同位角相等）． （已知）， （等量代换）， 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行同旁内角互补；两直线平行同位角相等；等量代换． 典例精讲 题型14：根据平行线判定与性质求角度 （24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）如图，已知，，若，求的度数． 变式训练 答：的度数为． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 题型15：根据平行线判定与性质证明 （24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 典例精讲 题型15：根据平行线判定与性质证明 （1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 典例精讲 题型15：根据平行线判定与性质证明 （24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：． 证明：（已知）， ______（两直线平行，内错角相等） （已知）， （等量代换）， （______）， ______（______）． ______（ ）， （等量代换）． 变式训练 题型15：根据平行线判定与性质证明 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （对顶角相等）， （等量代换）． 变式训练 真题实战演练 PART 04 1．（2024·山东滨州·中考真题）如图，，直线分别交直线，于点E，F，过点F作，交直线于点G．若，则（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 中考真题 2．（2024·福建泉州·中考真题）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 中考真题 3．（2024·上海·中考真题）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 中考真题 （1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 中考真题 （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 中考真题 难度分层训练 PART 05 基础夯实 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 基础夯实 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图所示，，直线分别交，于点E，F，平分，，则 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 基础夯实 3．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，是的平分线， ，，你能算出的度数吗？ 解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ． 培优拔高 1.（24-25七年级下·上海·期末）如图，现有一张长方形纸片，点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点．若.，则的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 培优拔高 解：∵四边形是长方形， ∴． ∴，． ∴， ∵点，在上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，点的对应点为点．点对应点为点， ∴，，． ∴ ． ∴， ∴． 故选：C． 培优拔高 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺绕点C旋转，当点E在直线的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为 ． 培优拔高 解：、、， ， 如图1，， ， ， ， ， 当或时，都有； 如图2，， ，，， ， ； 如图3，点E在上，则， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 培优拔高 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点， ，交于点，若，求的度数． 解：∵，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 谢谢大家 $