专题07分式及其基本性质 专项训练（14大核心题型精讲+分层精练突破）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 聚焦分式概念与性质，通过15类题型系统覆盖从基础识别到拓展应用，分层精练强化解题能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型梳理归纳|15类|覆盖分式识别、有/无意义、值为0等基础概念及性质应用|从概念生成到性质推导再到拓展应用，形成递进逻辑| |核心题型精讲|14类典型例题|包含选择、填空、解答题，结合变式训练|每类题型对应核心解法，如值为0需分子为0且分母不为0| |分层精练|12道题|基础题与拔高题结合，含实际应用与规律探究|兼顾基础巩固与思维提升，符合中考命题趋势|

专题07分式及其基本性质 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式的识别判断 题型2.分式有、无意义的条件求解 题型3.分式值为0的条件计算 题型4.直接代入求分式的值 题型5.分式基础约分、化为最简分式 题型6.利用分式基本性质判断简单变形正误 题型7.按给定要求构造符合条件的分式 题型8.求分式值为正数(负)数时未知数的取值范围 题型9.求分式值为整数时未知数的整数解 题型10.求分式变形能够成立的未知数取值条件 题型11.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型12.把分式分子分母最高次项系数化为正数 题型13.把分式分子分母各项系数统一化为整数 题型14.分式的数字规律性求值问题 题型15.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.分式的识别判断 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有______，是整式的有______．（请填写序号） 3．下列各式中，哪些是分式？ ． 题型2.分式有、无意义的条件求解 1．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．要使分式无意义，则的取值应满足________． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 题型3.分式值为0的条件计算 1．若分式 的值等于，则的取值为（     ） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则x的值为_________． 3．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 题型4.直接代入求分式的值 1．若，那么的值为（   ） A． B． C．1 D．3 2．若，则的值是______． 3．按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 题型5.分式基础约分、化为最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．在分式，，，中，最简分式有_______个 3．某机械厂生产某种零件，第一道工序需要将每根长、横截面直径为的圆钢锻造为横截面直径为的圆钢．锻造后的圆钢长多少厘米？ 题型6.利用分式基本性质判断简单变形正误 1．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是______．（请填写序号） 3．下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7.按给定要求构造符合条件的分式 1．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 2．某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为______． （2）乘甲车到科技馆的时间为______h，乘乙车到科技馆的时间为______h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为______． 3．光明中学有两块边长为的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮． 方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为的小路； 方式二：如图②，在正方形空地四角各留一块边长为的小正方形空地植树，其余种植草皮． 学校按这两种方式购买草皮的价格分别为3000元和5000元． (1)写出按图①，图②两种方式购买草皮的单价； (2)当，时，求出这两种方式购买草皮的单价．（仅保留整数） 题型8.求分式值为正数（负）数时未知数的取值范围 1．若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 2．如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 题型9.求分式值为整数时未知数的整数解 1．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 3．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 题型10.求分式变形能够成立的未知数取值条件 1．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质填空：．______ 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 2．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 题型12.把分式分子分母最高次项系数化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 题型13.把分式分子分母各项系数统一化为整数 1．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 题型14.分式的数字规律性求值问题 1．一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 分层精练 一、单选题 1．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 2．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 4．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题 5．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 6．阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是__________． 7．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 三、解答题 8．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 9．假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 10．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 11．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 12．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值．． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式及其基本性质 专项训练 题型梳理归纳 题型1.分式的识别判断 题型2.分式有、无意义的条件求解 题型3.分式值为0的条件计算 题型4.直接代入求分式的值 题型5.分式基础约分、化为最简分式 题型6.利用分式基本性质判断简单变形正误 题型7.按给定要求构造符合条件的分式 题型8.求分式值为正数(负)数时未知数的取值范围 题型9.求分式值为整数时未知数的整数解 题型10.求分式变形能够成立的未知数取值条件 题型11.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型12.把分式分子分母最高次项系数化为正数 题型13.把分式分子分母各项系数统一化为整数 题型14.分式的数字规律性求值问题 题型15.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.分式的识别判断 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式定义：一般地，如果，表示两个整式，，且中含有字母，那么式子是分式； 【详解】解：∵是整式，的分母是常数，是整式，均不符合分式定义； 的分母含有字母，符合分式定义． 2．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有______，是整式的有______．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 3．下列各式中，哪些是分式？ ． 【答案】 【分析】根据分式的定义进行判断，一般地，如果、（不等于0）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此逐一分析各式即可． 【详解】解：对给出的各式逐一判断： 中，分子分母都是整式，分母含字母，是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； 中，分子分母都是整式，分母含字母，是分式； 是常数，属于整式，不是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； ，分母含字母，属于分式，是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； 因此分式为 ． 题型2.分式有、无意义的条件求解 1．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需要结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的条件分析计算． 【详解】解：∵ 函数中，二次根式的被开方数需非负，且分母不能为0， ∴ ， 解得 ． 2．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 题型3.分式值为0的条件计算 1．若分式 的值等于，则的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式的值等于， ∴，且， ∴． 2．若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 3．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 题型4.直接代入求分式的值 1．若，那么的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】通过对已知等式整理，得到x与y的倍数关系，即可求出的值． 【详解】解：∵ ，且 ∴ 等式两边同乘，得 移项整理得 由题意可知，等式两边同时除以得 ． 2．若，则的值是______． 【答案】 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 3．按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ． 题型5.分式基础约分、化为最简分式 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 2．在分式，，，中，最简分式有_______个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 3．某机械厂生产某种零件，第一道工序需要将每根长、横截面直径为的圆钢锻造为横截面直径为的圆钢．锻造后的圆钢长多少厘米？ 【答案】锻造后的圆钢长厘米． 【分析】因为锻造过程中圆钢的体积不发生变化，所以锻造前圆钢的体积等于锻造后圆钢的体积，这是解题的突破口，结合圆柱的体积公式即可解答． 【详解】解：锻造后的圆钢长为（厘米）． 题型6.利用分式基本性质判断简单变形正误 1．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 2．下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是______．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故①不正确，符合题意； ，故②不正确，符合题意； ，故③不正确，符合题意； ，故④正确，不符合题意； ，故⑤正确，不符合题意． 故答案为：①②③． 3．下列分式的约分是否正确？请把不正确的改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正确 (2)不正确，应改为 (3)不正确，应改为 (4)正确 【分析】本题考查分式的性质，对分式进行化简． （1）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （2）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （3）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； （4）观察分式，分子、分母含有公因式，得出化简后的结果，判断是否正确； 【详解】（1）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． （2）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （3）解：分式分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简不正确，应改为． （4）解：分式，分子、分母同时除以公因式，得， 故原式化简正确． 题型7.按给定要求构造符合条件的分式 1．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩． 【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分， ∴两班在这次测验中的总分为：分， ∴两班在这次测验中的总平均分是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 2．某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为______． （2）乘甲车到科技馆的时间为______h，乘乙车到科技馆的时间为______h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，按要求构造分式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，乙车速度是甲车速度的倍； （2）根据时间等于路程除以速度求解； （3）由（2）求得的两个式子相减即可表示出时间差． 【详解】（1）解：设甲车的速度为， ∵乙车速度是甲车速度的倍， ∴故乙车速度为， 故答案为：； （2）∵该校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发， ∴乘甲车时间=路程/速度=h， ∵后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达， ∴乘乙车时间=h， 故答案为：，； （3）乘甲车时间比乘乙车时间多用的时间为两者之差， 即， 故答案为：． 3．光明中学有两块边长为的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮． 方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为的小路； 方式二：如图②，在正方形空地四角各留一块边长为的小正方形空地植树，其余种植草皮． 学校按这两种方式购买草皮的价格分别为3000元和5000元． (1)写出按图①，图②两种方式购买草皮的单价； (2)当，时，求出这两种方式购买草皮的单价．（仅保留整数） 【答案】(1)图①购买草皮单价为元；图②购买草皮单价为元 (2)方式一购买草皮的单价为30元，方式二购买草皮的单价为28元 【分析】本题主要是列分式以及求分式的值的问题，试着找出题中的数量关系； （1）先根据图①得出种植草皮的面积为，进而得出购买草皮的单价，再根据图②种植草皮的面积为，进而得出购买草皮的单价； （2）将，代入（1）的分式求出相应的值即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分面积为，图②阴影部分面积为． 图①购买草皮单价为元； 图②购买草皮单价为元； （2）解：当，时， （元）， （元）， 即方式一购买草皮的单价为30元，方式二购买草皮的单价为28元． 题型8.求分式值为正数（负）数时未知数的取值范围 1．若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 2．如果分式的值是正数，那么的取值范围是____，若分式的值为整数，则的整数值为_____． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型9.求分式值为整数时未知数的整数解 1．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简．求出，再根据中不含和项，可判断①；求出，可判断②；求出，可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∵中不含和项， ∴， 解得：，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ， ∵的值为正整数， ∴9是的整数倍， ∴取， ∴x的值为， ∵的值为正整数， ∴x取3，5，11， ∴此时所有整数的值的和为，故③错误． 故选：D 2．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，设．若均为非零整数，则的值为_____． 【答案】或27 【分析】本题考查了代数式求值，求使分式值为整数时未知数的整数值,掌握知识点是解题的关键． 化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 3．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)①③④；③；①④ (2)符合条件的整数的值是0，1，，2 【分析】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可； （2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：式子：①；②；③；④． 其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④； （2）解：． ∵分式的值为整数，为整数， ，均为整数， 或或或， ∴符合条件的整数的值是0，1，，2． 题型10.求分式变形能够成立的未知数取值条件 1．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 2．根据分式的基本性质填空：．______ 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，对已知分子或分母因式分解，对比变形前后的变化，即可计算得到未知项． 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 题型11.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 2．（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 题型12.把分式分子分母最高次项系数化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 2．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则___________． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中的最高次项的系数是正数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质． （1）原式分子分母分别提取变形，即可得到结果． （2）分式分母提取变形即可得到结果； （3）分式分子提取变形即可得到结果； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型13.把分式分子分母各项系数统一化为整数 1．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 2．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型14.分式的数字规律性求值问题 1．一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 2．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照上述规律，回答下列问题： (1)写出第6个等式：　　　； (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示）； (3)计算：. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，实数的运算，熟练掌握运算法则得出规律是解题的关键． （1）根据所给第1到4个等式的规律，写出第6的等式； （2）根据第个等式与等式内的数字对应规律，写出第个等式； （3）依据第（2）问中的规律，应用规律计算可得出答案． 【详解】（1）解：根据规律第6个等式：． （2）解： 根据规律，猜想的第个等式： ． （3）解：原式 ． 分层精练 一、单选题 1．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 2．下列各式：，，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，负整数指数幂，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断即可，解题的关键是熟练运用分式的定义． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴ 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； 对于，是多项式，分母无字母，不是分式； 对于，可化为，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母有字母，是分式； 对于，分母是常数，无字母，不是分式； ∴分式有个， 故选：． 3．关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 4．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 二、填空题 5．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 6．阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 7．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值． 首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， ∵为整数， ∴为整数， 要使的值为整数，则为分子1的约数， ∴或， 解得或 ， 当 时原分式分母为零，无意义， ∴舍去， 当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数， 验证：当 时，，为整数，满足题意， ∴整数的值为． 故答案为：． 三、解答题 8．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 9．假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 10．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 【答案】（1）1（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式和平方差公式进行因式分解，然后根据分式的基本性质约分，最后将整体代入即可； （2）根据分式的基本性质化简，然后将整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ． ， ， 原式． （2）， ． 12．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 ∴， ∴． （2）解：设， 则， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $