专题04图形的平移专项训练(14大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

**基本信息** 以14类题型构建从概念识别到综合应用的完整训练体系，强化平移性质与坐标系结合的核心能力，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-2|生活现象识别、图形辨析|从具体实例抽象平移概念，建立几何直观| |性质应用|题型3-5|性质计算、实际应用、作图|通过性质推导（如对应边相等）解决面积计算等问题，发展推理意识| |坐标变换|题型6-10|点/图形平移的坐标规律|实现几何变换代数化，培养符号意识与运算能力| |综合应用|题型11-13|几何与坐标系综合题|整合平移性质与图形关系，提升应用意识与创新意识| |分层精练|9题|基础到提升梯度设计|巩固核心考点，适配不同学生需求|

专题04图形的平移专项训练 题型梳理归纳 题型1.识别生活中的平移现象 题型2.辨析图形的平移 题型3.利用平移的性质求解 题型4.利用平移解决实际应用问题 题型5.平移作图题 题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型7.由平移方式，确定平移后点的坐标 题型8.已知点平移前后坐标，判断平移方式 题型9.已知图形平移，求点的坐标 题型10.已知平移后的点坐标，求原坐标 题型11.平移几何综合题(几何变换) 题型12.坐标系中的平移综合题 题型13.关于平移的其他综合问题 题型14.分层精练9道题 核心题型精讲 题型1.识别生活中的平移现象 1．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 2．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 【答案】171 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 3．如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 【答案】(1)图见解析 (2)在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度 【分析】（1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答． 【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示，      （2）解：∵俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动， ∴在（1）的基础上，先再向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度． 【点睛】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． 题型2.辨析图形的平移 1．图形变换包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据平移前后，图形的形状，大小，方向均不变，可知，只有选项A的图形可以通过平移得到. 2．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为______． 【答案】 【分析】先由图形及平移性质得到平移路径，在网格中用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可知平移路径为，如图所示： 平移距离为． 3．如图，在中，平分，交于点，经过平移得到，点，，分别移至点，，的位置．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：是由平移而来， ，， ．     平分， ， ． ， ． 题型3.利用平移的性质求解 1．如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点之间的距离等于平移距离，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移得到， ∴点的对应点为点， ∴平移的距离为线段的长， ∵，， ∴， ∴平移的距离为． 2．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 【答案】29 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴四边形的周长． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）利用“割补法”进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等． 因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 即且． （3）解：线段扫过的面积即为四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 题型4.利用平移解决实际应用问题 1．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 2．如图，在长米、宽米的草坪上有一条弯折的小路，小路进出口的宽度相等且均为米（每段小路均为平行四边形），则草坪的面积为___________平方米． 【答案】42 【分析】利用平移表示出草坪的长和宽，然后根据长方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪的长为（米），宽为米， ∴草坪的面积（平方米）． 3．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【答案】(1)草坪的总面积为平方米； (2)草坪一年维护总费用为1155元． 【分析】（1）左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形，即总面积为，化简即可； （2）将，代入求出总面积，再计算维护费即可． 【详解】（1）解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 平方米 答：草坪的总面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米） （元） 答：草坪一年维护总费用为1155元． 题型5.平移作图题 1．如图，已知的顶点，的坐标分别为，，且的三个顶点都在正方形网格的格点上，将沿轴向右平移3个单位长度，得到，点，，的对应点分别为，，，关于轴对称的图形为，点，，的对应点分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—平移变换、轴对称变换．根据平移的性质和轴对称的性质作出图形，再写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，即为所求． 点的坐标为， 故选：C． 2．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 3．如图，的三个顶点的坐标为． (1)若点平移后的对称点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的，并写出另两点的对称点的坐标：__________，__________； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，， (2)6 【分析】（1）利用对应点的变化得出平移规律，即可画出，由图即可写出、的坐标； （2）利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得，． （2） 解：． 题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 2．在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 【答案】 【分析】本题利用平面直角坐标系中点的平移规律求解，平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，依次计算两次平移后的坐标即可． 【详解】解：已知点坐标为，将点向左平移个单位长度， 则点的坐标为； 将点向上平移个单位长度， 则点的坐标为． 3．如图1，已知，点，将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应，连接，过C点作，垂足为H点，并满足． (1) 填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（___________， ___________），B（___________， ___________），C（___________， ___________）； ②如图1，直接写出的面积___________． (2)如图2，动点P从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时动点Q从原点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，的面积是面积的两倍，试求t的值． 【答案】(1)①，，；②4 (2)t的值为或 【分析】（1）①先求解a与b，由此可得点A与点B的坐标，再由平移的性质即可求解点C的坐标； ②根据三角形面积公式求解即可． （2）根据点P与点Q的运动路程表示与即可，再由面积的关系求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，可得， ∴点，点； ∵将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应， ∴点B是由点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ∴点C是由点O向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到 ∴点； ②． （2）解：当点P运动在线段上时， 则有，， ∴， ， ∵，即， 解得； 当点P运动在线段的延长线上时， 则有，， ∴， ， ∵，即， 解得； 综上，t的值为或． 题型7.由平移方式，确定平移后点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段水平向左平移4个单位后得到线段，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，水平平移仅改变点的横坐标，纵坐标保持不变，向左平移时点的横坐标减去平移的单位长度，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，线段向左平移个单位， ∴的横坐标为，纵坐标仍为， ∴的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C． (1)请在图中画出点C的位置，并写出点C的坐标； (2)①连接，，，请直接写出线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)解： 如图所示，点即为所求； (2)①，，； ②是等腰直角三角形，理由： ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）①根据勾股定理计算即可；②根据勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）解：将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点． （2）解：①由图形可得，，； ②略 题型8.已知点平移前后坐标，判断平移方式 1．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴平移的坐标变化规律为：横坐标减，纵坐标加． 设点的坐标为， ， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】比较的横坐标、纵坐标，可知平移后横坐标加2，纵坐标加2，由于点平移规律相同，坐标变化也相同，即可得的坐标． 【详解】解：由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同， 由点M到点可知平移后点的横坐标加2，纵坐标加2， 故点的坐标为，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 【答案】(1)如图所示． (2) (3)9.5 【分析】（1）根据坐标，描出、、三点，依次连接，即可求解； （2）根据题意得，是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的，即可求解； （3）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． （3） 解：． 题型9.已知图形平移，求点的坐标 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将线段平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移规则为先向左平移个单位，再向上平移5个单位， ∴点的对应点的坐标为，即. 2．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点，的对应点分别为，． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式． 【答案】(1)图见解析， (2)先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度． 【分析】（1）根据，，得到平移的方向和距离，再根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）根据，，可得横坐标减5，即向左平移5个单位长度，纵坐标减6，即向下平移6个单位长度． 【详解】（1）解：三角形如图所示，． （2） 解：三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度得到三角形． 题型10.已知平移后的点坐标，求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的平移规律，逆推即可得到点的坐标． 【详解】解：∵将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到 ， ∴将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为， ∴点的坐标为即． 2．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 【答案】（4，8） 【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系．已知点A经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出； (2)求的面积； (3)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据的一个顶点的坐标可确定原点，建立坐标系，根据点A平移前后的坐标确定平移方式，再平移作图即可； （2）利用割补法求解； （3）根据平移方式确定平移前的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得到， 向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到点P， 点的坐标为． 题型11.平移几何综合题(几何变换) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（    ） A．9 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】如图，连接AA′、BB′．根据点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，求得点A′的纵坐标是3．又因为点A的对应点在直线y=x上一点，求得点A′的坐标（3,3），得到AA′=3，根据平移的性质知BB′=AA′即可求解； 【详解】解：如图，连接AA′、BB′． ∵点A的坐标为（0，3）， △OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是3． 又∵点A的对应点在直线y=x上一点， ∴3=x，解得x=3， ∴点A′的坐标是（3，3）， ∴AA′=3， ∴根据平移的性质知BB′=AA′=3． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键． 2．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 【答案】1 【分析】先根据平移的性质得出平移的距离，以及线段在平移过程中扫过部分是平行四边形，再由等腰直角三角形计算出OO'对应的高，计算面积即可 【详解】解：如图 ∵点B的坐标为(0， )，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A' B',此时点B'的坐标为(,) ∴AA'=BB' = ∵△OAB是等腰直角三角形 ∴ OA=1 ∴xA=,yA= ∴A (,) ∴OO'对应的高为 线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形的面积： ×=1 故答案为：1 【点睛】本题考查平移，平行四边形的面积，等腰直角三角形，勾股定理，灵活应用平移的知识是关键 3．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 题型12.坐标系中的平移综合题 1．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平面直角坐标系中图形的平移及关于轴对称的点的坐标特征解题即可． 【详解】解：∵点，关于轴对称，点，的对应点分别为点，， ∴点，横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， ∵点的坐标为，沿轴正半轴方向平移，点，在轴上， ∴当点在内部时，． 2．已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 【答案】 【分析】根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，列出关于a的一元一次方程求解即可，掌握平行于x轴的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵ 轴，点B的坐标为， ∴ 点A的纵坐标等于点B的纵坐标， 即． 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）令直线中，求解x即可得到A点坐标； （2）①先计算的长度，因为以为底时，高为点C的纵坐标，结合三角形面积公式可求出点C的纵坐标，再代入直线即可求出点C的横坐标； ②如果，那么解集对应直线在x轴上方部分的x取值范围；如果，那么解集对应直线在直线上方部分的x取值范围，取两个范围的公共部分即可； ③结合图像，当只有两个顶点在外部时，可以确定点A、C在外部，点D在内部，因此点只能在上进行平移，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴， ∵的面积是5， ∴， 解得， 在直线中，令， 即，解得， ∴． ②根据图像可知，的解集为． ③连接，    由题意可得，沿x轴向左平移， 且只有两个顶点在外部， ∴点A、C在外部，即点D在内部， ∴根据图像可得，． 题型13.关于平移的其他综合问题 1．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿某一个方向平移个单位，记三角形扫过的面积为，则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度是点到的距离 B．的依据是垂线段最短 C．点到线段的距离为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离定义判断A；根据垂线段最短性质判断B；根据三角形的面积公式进行计算后判断C；根据三角形、长方形的面积及平移的性质判断D． 【详解】解：∵在三角形中，，，，， ∴， ∴线段的长度是点到的距离， 故选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴是点到的距离， 根据垂线段最短可知：， 故选项B说法正确，不符合题意； 如图，过点作于点，设， ∴， ∴， ∴点到线段的距离为， 故选项C说法错误，符合题意； ∵，，，， ∴，， ∵将三角形沿某一个方向平移个单位，如图， ∴三角形扫过的面积为三角形与四边形的面积和， ∴当平移方向与垂直时，四边形的面积最大，即最大， 此时， 故选项D说法正确，不符合题意． 2．如图，将三角形以每秒的速度沿射线向右平移，得对应三角形．设平移时间为，已知，若要使成立，则的值为___________． 【答案】或 【分析】由平移的性质得，再分2种情况讨论：①当点在上时；②当点在延长线上时，结合列出方程，即可求出的值． 【详解】解：由平移的性质得，， ①当点在上时，， ∵， ∴， 解得； ②当点在延长线上时，， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为，的面积为10 (2)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）直接根据平移规律即可得点C的坐标，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得点C的坐标为； ， ， ∴， 所以的面积为10； （2）解：存在，由（1），点B的坐标为， ∴点B到x轴的距离为4， ∵，， ， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或， ∴点D的坐标为或． 分层精练 一、单选题 1．下列所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分平移出来的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变．根据平移的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； C、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意； D、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意． 2．如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向左移动，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从平面上的点出发，向下移动再向左移动， 则移动后的点横坐标，纵坐标， 只有符合题意． 3．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，且， 将线段向右平移2个单位，向下平移4个单位得到线段， ∵点B的对应点为， ∴， 点的坐标为． 二、填空题 4．若点向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，经过平移后的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点平移的规律“左减右加，上加下减”即可计算得到平移后的坐标． 【详解】解：点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后， 横坐标为，纵坐标为， ∴平移后点的坐标为． 5．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可. 【详解】解：∵将点向左平移可得到点，将向下平移可得到点， ∴点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴. 6．已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】或 【分析】解决本题的关键是进行分类讨论，在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点的纵坐标相同，可求点B的纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可得点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点B纵坐标与点A纵坐标相同， 又∵，可能右移，横坐标为； 可能左移横坐标为， ∴点B的坐标为或． 三、解答题 7．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点；连接，与直线的交点即为所求的点；此时，根据“两点之间线段最短”，取得最小值． （2）将点沿垂直河流的方向向下平移2个单位，得到点，连接与，与河流下沿的交点即为天桥的一端；将点沿垂直河流的方向向上平移2个单位，得到点；连接与，与河流上沿的交点即为天桥的一端；则即为天桥位置． 【详解】（1）解：如图，点为所求．（作法不唯一） （2）解：如图，线段为所求． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 9．阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标_____________； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移个单位得点，求点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． 求与之间的函数关系式；若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) ； 【分析】（1）由“和谐点”的定义直接计算即可； （2）由“和谐点”的定义求出点的坐标，再根据平移规律得到点的坐标； （3）由“和谐点”的定义表示出和，得出，再代入即可求解；由垂直可得出点的横坐标，进而得出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：设和谐点，，， ，， 点的坐标为； （2）解：设点， 是点，的“和谐点”， ，， ， 将点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变，得的坐标为，即； （3）解：点是点，的“和谐点”， ，， 由整理得， 将代入的表达式得， 即与之间的函数关系式为； 直线交轴于点， 点在轴， 点在轴上，， 轴， 点的横坐标与点的横坐标相同，即， 将代入得， 解得， 将代入得横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的平移专项训练 题型梳理归纳 题型1.识别生活中的平移现象 题型2.辨析图形的平移 题型3.利用平移的性质求解 题型4.利用平移解决实际应用问题 题型5.平移作图题 题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型7.由平移方式，确定平移后点的坐标 题型8.已知点平移前后坐标，判断平移方式 题型9.已知图形平移，求点的坐标 题型10.已知平移后的点坐标，求原坐标 题型11.平移几何综合题(几何变换) 题型12.坐标系中的平移综合题 题型13.关于平移的其他综合问题 题型14.分层精练9道题 核心题型精讲 题型1.识别生活中的平移现象 1．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 3．如图是正在进行的俄罗斯方块游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现出现一“T”形方块向下运动．    (1)若该“T”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（并画上阴影）． (2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？（俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动．） 题型2.辨析图形的平移 1．图形变换包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上．其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为______． 3．如图，在中，平分，交于点，经过平移得到，点，，分别移至点，，的位置．求证：． 题型3.利用平移的性质求解 1．如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 2．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为_____． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 题型4.利用平移解决实际应用问题 1．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 2．如图，在长米、宽米的草坪上有一条弯折的小路，小路进出口的宽度相等且均为米（每段小路均为平行四边形），则草坪的面积为___________平方米． 3．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 题型5.平移作图题 1．如图，已知的顶点，的坐标分别为，，且的三个顶点都在正方形网格的格点上，将沿轴向右平移3个单位长度，得到，点，，的对应点分别为，，，关于轴对称的图形为，点，，的对应点分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． (1)线段的长等于 ； (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．如图，的三个顶点的坐标为． (1)若点平移后的对称点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的，并写出另两点的对称点的坐标：__________，__________； (2)求的面积． 题型6.求点沿x轴、y轴平移后的坐标 1．将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 3．如图1，已知，点，将线段平移至线段，其中点A与点B对应，点O与点C对应，连接，过C点作，垂足为H点，并满足． (1) 填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（___________， ___________），B（___________， ___________），C（___________， ___________）； ②如图1，直接写出的面积___________． (2)如图2，动点P从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时动点Q从原点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，的面积是面积的两倍，试求t的值． 题型7.由平移方式，确定平移后点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将线段水平向左平移4个单位后得到线段，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C． (1)请在图中画出点C的位置，并写出点C的坐标； (2)①连接，，，请直接写出线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 题型8.已知点平移前后坐标，判断平移方式 1．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标分别是，将线段平移后得到线段（点M，N分别平移到点，的位置），若点的坐标为，则点的坐标为____． 3．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 题型9.已知图形平移，求点的坐标 1．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，使点平移到点处，得到三角形，其中点，的对应点分别为，． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式． 题型10.已知平移后的点坐标，求原坐标 1．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________． 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系．已知点A经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出； (2)求的面积； (3)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点的坐标为 ． 题型11.平移几何综合题(几何变换) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为（    ） A．9 B．3 C．4 D．5 2．如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为______． 3．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 题型12.坐标系中的平移综合题 1．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点，在轴上且关于轴对称．将沿轴正半轴方向平移，点，，的对应点分别为点，，．已知点的坐标为，点，的坐标分别为，．当点在内部时，下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知点A坐标为，点B的坐标为，若轴，则_________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点．    (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴向左平移，点C、A、D的对应点分别为，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 题型13.关于平移的其他综合问题 1．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿某一个方向平移个单位，记三角形扫过的面积为，则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度是点到的距离 B．的依据是垂线段最短 C．点到线段的距离为 D．的最大值为 【答案】C 2．如图，将三角形以每秒的速度沿射线向右平移，得对应三角形．设平移时间为，已知，若要使成立，则的值为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)求点C的坐标和三角形的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 分层精练 一、单选题 1．下列所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分平移出来的是（   ） A． B． C． D． 2．如图为一坐标平面，若从平面上的点出发，向下移动再向左移动，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，点B的对应点为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若点向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，经过平移后的坐标为_____． 5．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 6．已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为____________． 三、解答题 7．如图，这是由边长为1的小正方形组成的网格，点，均在格点上．直线，为河流的两岸，且与网格线重合．（请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹） (1)在图1中的直线上找一点，使得最短． (2)在图2中河流上搭建一座天桥，要求天桥与河流两岸互相垂直，且使得由点到点的路线最短． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 9．阅读与理解 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点，的“和谐点”．例如，，当点满足，，则称点是点，的“和谐点”． (1)直接写出点，的“和谐点”的坐标_____________； (2)已知点是点，的“和谐点”，当点向左平移个单位得点，求点的坐标； (3)点，点，点是点，的“和谐点”． 求与之间的函数关系式；若直线交轴于点，当时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $