第5章《图形的轴对称》期末单元复习卷（二）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 以图形的轴对称为核心，整合轴对称性质、等腰三角形、垂直平分线等知识，通过基础识别到综合应用的题型设计，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础识别|单选1-2题|网格图形轴对称判断、轴对称性质结论辨析|从轴对称概念出发，推导对应边、角及对称轴性质| |性质应用|单选3-10题、填空11-15题|等腰三角形周长计算、角平分线面积关系、折叠问题角度计算|结合等腰三角形三线合一、垂直平分线性质，构建性质与图形变换的关联| |综合探究|解答16-25题|网格作图、全等证明、动态几何问题|通过作图实践、推理证明及跨知识整合，体现从概念到应用的逻辑链条，发展空间观念与创新意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 期末单元复习卷 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（       ） A.5种 B.6种 C.4种 D.7种 2.如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（       ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 3.等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（       ） A. B. C.或 D.不能确定 4.如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（       ） A. B. C. D. 5.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是（       ） A. B. C. D.无法确定 6.如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（       ） A. B. C. D. 8.如图，在 中，  ，是上的一点， 于， 于， 于，若 ，则 （        ） A. B. C. D. 9.如图，线段的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 10.如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是________. 12.如图，是边的垂直平分线，若，则=_______ 13.如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则________度． 14.如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则_______ 15. 如图，在中，，点是边上一点，连接，，是线段上两点，，，点，分别是，边上的动点，连接，，，则的最小值 为 ． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16. (6分) 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）计算的面积为________； （3）在线段上找一点P，使得最小．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 17.（8分）（1）已知一个三角形的两边长分别是、，则这个三角形的周长的取值范围是什么？ 17.（8分） （2）在等腰三角形中，，周长为，是边上的中线，比周长长，求各边长． 18.(8分) 如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交、于点、． （1）连接、，若，求的周长． （2）若 ，求的度数． 19.(8分) 如图所示，，，点是，的交点，点是的中点． （1）图中有哪几对全等三角形？请写出来； （2）试判断和的位置关系，并给予证明． 20.(9分) 如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）连接，若，求证：． 21.(9分) 如图，在中，，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22.(10分) 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 23.(10分) 如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． （1）求证：点A在线段的垂直平分线上； （2）P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 24.(10分) 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分∠ADC； （3）若，，，且，求的面积． 25.(12分) 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在Rt 中，，分别以和为直角边作等腰Rt 和等腰Rt ，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰Rt 和等腰Rt ，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 七年级数学下册 第五章 图形的轴对称 期末单元复习卷 (二) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.如图，在的正方形网格中，有两个小正方形已被涂上阴影，再将图中剩余小正方形中任意一个涂上阴影，那么能使整个图案构成一个轴对称图形的涂法有（       ） A.5种 B.6种 C.4种 D.7种 【答案】 A 【解析】 正方形网格中，对称轴的位置有三种情况：水平的，竖直的，沿对角线的。按此分类逐个尝试即可. 【解答】 解：对称轴水平时，涂法如图（1）；对称轴竖直时，涂法如图（2）；对称轴沿对角线时，涂法如图（3）（4）（5）. (1) (2) (3) (4) (5) 答案：A.   2.如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（       ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】 A 【解析】 本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【解答】 解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③． 故选：． 3.等腰三角形两边长分别为，，则它的周长为（       ） A. B. C.或 D.不能确定 【答案】 B 【解析】 利用等腰三角形两边长分别为，，分情况讨论，再利用三角形的三边关系验证即可． 【解答】 解：根据题意得： 当腰为，底边为时，，周长； 当腰为，底边为时，，不满足三角形的三边关系； 故选． 4.如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【解答】 ，，， ．由作图可知，平分， ， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．由作图可知，是的垂直平分线， ， ，， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．，，， ，， 故此题答案为项正确，不符合题意； ．，， ； 故此题答案为项错误，符合题意． 故此题答案为：． 5.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是（       ） A. B. C. D.无法确定 【答案】 C 【解析】 根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可. 【解答】 解： 点I是 三条角平分线的交点， 和 和 的高相等， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 由 的三边关系得： 故选：C. 6.如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了，折叠的性质以及三角形内角和定理，根据平行线的性质得出 ，，根据折叠的性质可得出： ，，利用平角的定理可得出 ，，最后根据三角形内角和定理即可得出答案. 【解答】 解：四边形ABCD是长方形， ， ，， 根据折叠的性质可得出：，， . ， 故选：A. 7.如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【解答】 解：是的角平分线， ， 故选项A结论正确，不符合题意； 是的高线， ， ， ， ， ， ， ， 故选项B结论正确，不符合题意； 是的中线， ， ， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； 是的角平分线，无法判定是的中线， 选项D结论错误，符合题意； 故选：D. 8.如图，在 中，  ，是上的一点， 于， 于， 于，若 ，则 （        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积. 【解答】 解：如图：连接，根据题意， ,,    , ,    , , 即, . 故选． 9.如图，线段的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．先由线段垂直平分线的性质得，，得到，，再证，得，然后由三角形内角和定理得，进而得出答案． 【解答】 解：连接，如图所示： 线段，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 10.如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（ ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用. ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出 ，利用ASA证明 即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用 ①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长BF交AC于点H，证明 ，得出BH=BG+2GF，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论. 【解答】 解： 故①正确，符合题意； ② ，AD是 的高， 又 (ASA) 故 ②正确，符合题意； 平分 由②得 由 ①得 即 由②得 ④如图所示，延长BF交AC于点H， (ASA) 为钝角， 在 中， 故 ④正确，符合题意； 综上，正确选项为 故选：D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.在等腰三角形中，有一个角是，它的一条腰上的高与底边的夹角是___或_____. 【答案】 或 【解析】 分两种情况讨论①当为底角时，②当为顶角时，分别求出结论即可． 【解答】 解：当为底角时， 当为顶角时， 故答案为：或 12.如图，是边的垂直平分线，若，则=___5_____ 【答案】 5. 【解析】 根据垂直平分线的性质可得AD=CD，进而求出BD的长度. 【解答】 DE是边AC的垂直平分线， AD=CD. 故答案为5. 13.如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则___72_____度． 【答案】 72 【解析】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到 ，结合 平分 ，则 ，最后在 中利用三角形内角和为 求解即可. 【解答】 解： 平分 在 中， . 14.如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则____20____ 【答案】 20 【解析】 本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等. 由线段垂直平分线的性质推出 CD=BD，AD=BD，由等腰三角形的性质得到 ，求出 ，由三角形内角和定理求出 ，得到 【解答】 解： 故答案为：20 15. 如图，在中，，点是边上一点，连接，，是线段上两点，，，点，分别是，边上的动点，连接，，，则的最小值 为 17 ． 【答案】 【解析】 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，此时有最小值，即的长度． 【解答】 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，， ，由对称性可知，，， ， ， 由对称性可得，， 由勾股定理得，， ， 当、、、共线时，的值最小， 即的最小值为． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16. (6分) 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A、B、C、M、N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）计算的面积为________； （3）在线段上找一点P，使得最小．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置） 【答案】 见解析 3 见解析 【解析】 （1）分别作出三个顶点关于直线 的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用割补法求解即可； （3）连接 ，与直线MN的交点即为所求. 【解答】 （1）解：如图所示： 即为所求； （2） 故答案为：3； （3）如图所示，点P即为所求. 17.（8分）（1）已知一个三角形的两边长分别是、，则这个三角形的周长的取值范围是什么？ 17.（8分） （2）在等腰三角形中，，周长为，是边上的中线，比周长长，求各边长． 【答案】 ； ，，． 【解析】 （1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围． （2）根据三角形中线的定义可得，从而可得再根据的周长是，，以及，可得进行计算即可解答． 【解答】 （1）解：设第三边长为，根据三角形的三边关系得 三角形的周长的取值范围为： （2）如图所示： 是边上的中线， 比周长长， 的周长是， 18.(8分) 如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交、于点、． （1）连接、，若，求的周长． （2）若 ，求的度数． 【答案】 解：（）∵ 点与点关于对称，点与点关于对称，∴ ，∴ 的周长为  ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ . 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：（）∵ 点与点关于对称，点与点关于对称，∴ ，∴ 的周长为  （2）∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ . 19.(8分) 如图所示，，，点是，的交点，点是的中点． （1）图中有哪几对全等三角形？请写出来； （2）试判断和的位置关系，并给予证明． 【答案】 解：，，； ．理由如下： 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点是的中点， ∴ ． 【解析】 （1）根据全等三角形的定义可以得到：，，； （2）首先证得：，则，利用等腰三角形中：等边对等角即可证得． 【解答】 （1）解：，，； （2）．理由如下： 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点是的中点， ∴ ．  20.(9分) 如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：点在边的垂直平分线上； （2）连接，若，求证：． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【解答】 （1）解：证明：是的垂直平分线，点在上， ， ， ． 点在的垂直平分线上． （2）证明：由可知，由“等边对等角”， 设， ， 在中，， 在中，， 即， ，则， 即， 点在边的垂直平分线上， ， ， ，则 21.(9分) 如图，在中，，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据，结合，证明：即可． （2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可． 【解答】 （1）解：证明：根据以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， ， ， ，平分， ． ． 22.(10分) 如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． （1）与全等吗？请说明理由； （2）若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【答案】 全等，见解析 ①见解析；② 【解析】 （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【解答】 （1）解：全等；     理由：因为， 所以 因为为的中点， 所以     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由知， 所以， 因为， 所以， 即     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为45. 23.(10分) 如图1和图2，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D． （1）求证：点A在线段的垂直平分线上； （2）P是线段上的动点（点P不与点C，D重合），线段的垂直平分线分别与，交于点E，M，线段的垂直平分线分别与，交于点F，N． ①若，，求四边形的周长； ②已知，判断当点P在线段上运动时，的度数是否会发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】 见解析 ①15；②不变，100度 【解析】 （1）根据线段垂直平分线的性质, 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上, 结合已知条件证明点 在线段 的垂直平分线上; （2）①根据线段垂直平分线的性质得到 , ,进而求出四边形 的周长； ②通过三角形内角和定理以及等腰三角形的性质,求出 的度数,判断其是否随点 的运动而变化. 【解答】 （1）证明： 以点A为圆心, 的长为半径作弧,交 于点 , 点 在线段 的垂直平分线上； （2）解：①线段 的垂直平分线 分别与 , 交于点 , , 线段 的垂直平分线 分别与 , 交于点 , , 四边形 的周长为 . 四边形 的周长为 ② 的度数不变. 理由如下： 在 中， 的度数不变,为 . 24.(10分) 如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分∠ADC； （3）若，，，且，求的面积． 【答案】 证明见解析 18 【解析】 （1）先根据三角形外角性质计算出 , 然后计算 即可; （2）过 点作 于 点, 于 点, 如图, 先计算出 得到 平分 , 根据角平分线的性质得到 , , 所以 , 根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论; （3）根据三角形面积公式得到 , 则可计算出 , 所以 , 然后根据三角形面积公式求解. 【解答】 （1）解: , （2）证明: 过 点作 于 点, 于 点, 如图, 平分 点 在 的平分线上， 即 平分 ； （3）解： 而 25.(12分) 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在Rt 中，，分别以和为直角边作等腰Rt 和等腰Rt ，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰Rt 和等腰Rt ，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 证明见解析； （或 ）；见解析； 60 【解析】 （1）因为 于D， ，所以 ，因为 ，即可通过AAS证明 作答； （2）过点D作 于点T，连接CT.证明 ，推出 ， ，再证明 ，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作 交AH的延长线于点M，过点E作EN 于点N，利用角度等量变换，得到 ，进而推导证明 ，同样证得 ，得到DM=EN=AG，最后 的面积为 面积之和， 【解答】 （1）证明： 于D， （2）解：结论： .理由如下· 如图，过点D作 于点T，连接CT. 是等腰直角三角形， （3）解：过点D作DM AH交AH的延长线于点M，过点E作EN AH于点N，如图所示： 的面积等于60. 学科网（北京）股份有限公司 $