专题04 二元一次方程组（4大考点期末真题汇编，四川专用）七年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组四大高频考点，精选四川多地期末校考题，注重概念辨析、解法应用与实际问题解决，梯度覆盖基础巩固至创新拓展。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|20+|概念、解法、实际问题、三元方程组|结合《九章算术》算筹图、“和谐方程组”等创新情境| |填空题|9|参数方程、解的应用|设计开放型方程组构造题，考查逆向思维| |解答题|19|消元法、实际应用、综合探究|融入“碳中和”新能源汽车、剑门关门票等现实问题，设置多解法对比（如A/B/C组解题思路）|

专题04 二元一次方程组 ( 地 城 考点01 二元一次方程组的概念 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 D C B C B A 二、填空题 7．【答案】 8．【答案】（答案不唯一） 9．【答案】 三、解答题 10．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． ( 地 城 考点02 消元法解 二元一次方程组 ) 一、选择题 1 2 3 4 A B B D 二、填空题 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】4 三、解答题 10．【答案】 【详解】解： 方程，得， ，解得：， 将代入方程①：，解得，， 原方程组的解为． 11．【答案】 【详解】解：整理得，由①+②，得，解得， 将代入①，解得，方程组的解为． 12．【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题意可得：，解得； 将代入含有m、n的方程得：，解得：； （2）证明：当时，方程的左边， ∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 13．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ，，得，解得， 将代入①，得，解得，方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 14．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：A组：， 由可得：，解得：， 将代入①可得：，解得：， ∵，∴，∴； B组：，由②可得：， 将代入①可得：，解得：， 将代入可得，∴，∴； C组：将方程组中的两个方程相加可得，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y， ∴，，解得：，，∴． ( 地 城 考点0 3 实际问题与 二元一次方程组 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 C A A B D A A 二、填空题 8．【答案】4 三、解答题 9．【答案】(1)；(2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得，解得，答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得，解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 10．【答案】果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 【详解】解：设果园里种植了棵苹果树，棵梨树， 根据题意，得，解得， 答：果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 11．【答案】(1)每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元 (2)周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元 【详解】（1）解：设每只哪吒手办的进价为 元，每只敖丙手办的进价为 元， 根据题意得，解得：， 答：每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元； （2）解：设每只哪吒手办的售价为 元，每只敖丙手办的售价为 元， 根据题意得，，即，∴， 答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元． 12．【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． 13．【答案】(1)(2)小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨 【详解】（1）解：由题意可得方程组，得，故③， 把③代入①得，故方程组的解为； （2）解：设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，， 根据题意得方程：， 解得：，则6月份用水量为：（吨）． 答：小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 14．【答案】(1)该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件 (2)元/件 【详解】（1）解：设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件， 依题意，得：，解得：， 答：该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件； （2）解：设种玩具的售价定为元/件（为整数）， 依题意，得：，解得：． ∵为整数，∴最小取， 答：种玩具的售价至少应定为元/件． 15．【答案】(1)型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元(2)套 【详解】（1）解：选①②：设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得； 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选①③：设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选②③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； （2）解：设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套， 根据题意可列不等式如下： ，解得， 答：采购型课桌椅至多套． ( 地 城 考点0 4 三元一次方程组的解法 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 B A C A A 二、填空题 6．【答案】 7．【答案】180 三、解答题 8．【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：，得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：，原方程组可变为：， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为：． （3）解：，，得，即， ，得，，得，，得， ∴方程组的解为 9．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，得，解得， 将代入②，得， 所以原方程组的解是； （2）解： ，得④ ，得⑤ 由得，解得， 把代入④，得，解得， 把，代入①，解得， 所以原方程组的解为． 10．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 将②变形为 ③ 把①代入③，得，解得 把代入①，得解得 即原方程组的解为； （2）解： 将②变形为③ 把①代入③，得 整理得解得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程组的概念 考点02消元法解二元一次方程组 考点03实际问题与二元一次方程组 考点04 三元一次方程组的解法 ( 地 城 考点01 二元一次方程组的概念 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·校考期末）下列各等式是二元一次方程的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若是关于，的方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴解得，故选：． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各组数不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、 代入，左边，等于右边，是二元一次方程的解，故不符合题意； B、代入，左边，不等于右边，不是二元一次方程的解，故符合题意； C、代入，左边，等于右边，是二元一次方程的解，故不符合题意； D、代入，左边，等于右边，是二元一次方程的解，故不符合题意； 故选B． 4．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解： ，得：，则， 互为相反数，，，，故选：C． 5．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：解得，因此方程组的解为，．将解代入各选项验证： ．，，不成立，故该选项不符合题意； ．，，成立．故该选项符合题意； ．，，不成立．故该选项不符合题意； ．，，不成立．故该选项不符合题意；故选：B． 6．（24-25七年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 【答案】A 【详解】解：∵方程的解为正整数，∴均为大于等于1的正整数 仿照题干给出的示例，将7个1排成一排，即；∴7个1之间共有个空隙， 要将7个1分成3组，分别对应，需要从6个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从6个空隙选第一个有6种选法，选第二个有5种选法，两个隔板顺序不影响结果， ∴总选法为，∴方程的正整数解的个数为15， 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）已知方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【详解】解：方程是二元一次方程， 且，，解得，．故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川广元·期末）写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为．故答案为（答案不唯一） 9．（24-25七年级下·四川自贡·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【答案】 【详解】解∶∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴，解得，∴，故答案为∶0． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川广安·期末）解答下列各题：(1)已知二元一次方程，当时，求的值；(2)已知二元一次方程，当时，求的值；(3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． ( 地 城 考点02 消元法解 二元一次方程组 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　） A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入① 【答案】A 【详解】解：由①得，，再代入②，得到，这种变形方法最为简便，故选：A． 2．（24-25七年级下·四川眉山·校考期末）用代入法解方程组时，将方程代入中，所得方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将方程代入中，得：，即．故选：B 3．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，得：， 将代入，得：，解得， 该方程组的解为，． 方程组的解是正数，，，∴， ∴，即的取值范围是，故选：B． 4．（24-25七年级下·四川凉山·校考期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：当时，方程组为，⑴⑵得，，解得，， 把代入⑵得，，解得，； ∴的值互为相反数，故①正确； 当是方程组的解，则，∴解⑴得，；解⑵得，；故②正确； 当时，方程组得，⑴⑵得，，解得，， 把代入⑵得，，解得，，∴，故③正确； 方程组，⑴⑵得，， ∵，∴，解得，，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D ． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组，那么与的关系是_____ 【答案】 【详解】解：，②得：③， ①③得：，即，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知，关于，的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：，②-①得， ∵，∴解得：,故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川凉山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，解得：， ∴方程组的解是．故答案为：． 8．（22-23七年级下·四川南充·期末）若，则方程组的解中，正整数的解为______． 【答案】 【详解】解：，得：，解得：， ，，解得：，为正整数，，故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川自贡·期末）关于x，y的方程组的解满足x－y＝6，则m＝_______． 【答案】4 【详解】解：，①-②，得：x-y=2m-2，∴2m-2=6，∴m=4．故答案为：4． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川广元·期末）解方程组 【答案】 【详解】解： 方程，得， ，解得：， 将代入方程①：，解得，， 原方程组的解为． 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：整理得，由①+②，得，解得， 将代入①，解得，方程组的解为． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值；(2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：由题意可得：，解得； 将代入含有m、n的方程得：，解得：； （2）证明：当时，方程的左边， ∴无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解；(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 方程组和的解相同， ，，得，解得， 将代入①，得，解得，方程组的解为； （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ，解得. 14．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值．经过分组讨论后，三个数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表： 小组 A组 B组 C组 计算思路 先解关于x，y的二元一次方程组：，再求k的值． 先解方程组： 再求k的值． 将方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题． (2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：A组：， 由可得：，解得：， 将代入①可得：，解得：， ∵，∴，∴； B组：，由②可得：， 将代入①可得：，解得：， 将代入可得，∴，∴； C组：将方程组中的两个方程相加可得，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y， ∴，，解得：，，∴． ( 地 城 考点0 3 实际问题与 二元一次方程组 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广元·期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、图2中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图表示的方程组形式为，类似地，若图2所示的算筹图列出的方程组的解为，则图2中的“？”所表示的算筹为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设“？”所表示的算筹为m；根据题意得，， ∵图2所示的算筹图列出的方程组的解为，∴将代入，得到， 将代入中，得，解得， ∴图②中的“？”所表示的算筹为．故选：C． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）九章算术是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得份油，用份油可调份漆．今有漆斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为，换得的油为，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，，故选：A． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）“一夫当关，万夫莫开”，剑门关风景区是首批国家重点风景名胜区剑门蜀道的核心景区，它不但以雄、险、秀、幽、奇的自然风光闻名天下，而且具有深厚的历史文化底蕴，集蜀道文化、三国文化、战争文化、关隘文化、邮驿文化、红色文化于一体．已知某应用软件优惠活动期间，该景区成人票的价格是学生票的2倍，购买4张成人票和3张学生票需要550元．设成人票的价格是元／张，学生票的价格是y元／张，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：成人票价格是学生票的2倍，设成人票价格为元/张，学生票价格为元/张，则关系式为． 由题可知：购买4张成人票和3张学生票共需550元．总费用方程为． 验证选项：选项A的方程组为，完全符合上述两个条件，故本选项符合题意． 其他选项的方程或关系式与题意不符（如选项B中错误，选项C、D的总费用方程错误）．故选：A． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）九世纪阿拉伯数学家花拉子米首次系统提出“还原与对消”的代数方法，他在《代数学》中记录了一个题目：两人同行，甲对乙说：“若你给我2第纳尔，我的钱数是你余下钱数的两倍．”乙说：“若你给我3第纳尔，我的钱数将比你余下钱数多1第纳尔．”求两人原有金额．可设甲原来有第纳尔，乙原来有第纳尔，建立方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设甲原来有第纳尔，乙原来有第纳尔，根据题意，得，故选：B． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，与的差为，小长方形的周长为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意可得：，解方程组可得：， ，， 长方形的面积是，一个小长方形的面积是， 图中阴影部分的面积是．故选：D． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设团鱼有x只，龟有y只，由题意得，，故选：A． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期末）《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每只雀两，每只燕两， 根据题意，五雀六燕总重16两，即：， 交换一只后平衡，即4雀+1燕与5燕+1雀重量相等，得：，化简为， A：第二个方程为，与总重量方程不符，错误． B：由交换后两边各重8两（总重16两），得和，正确． C：直接列出正确方程和，正确． D：由和联立，解得、满足总重量，正确． 综上，A的第二个方程不符合题意，故选：A． 二、填空题 8．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）“碳中和”是落实《巴黎协定》要求，促进各国节能减排、发展绿色低碳能源的重要概念．我国在新能源汽车领域积极探索，目前已取得世界领先的技术水平．某公司计划用184万元全部购买A、B两种国产品牌的新能源汽车，其中A品牌新能源车每辆12万元，B品牌新能源车每辆16万元，要使得费用刚好用完，则该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有________种． 【答案】4 【详解】解：设公司购买A种品牌汽车x辆，B种品牌汽车y辆，根据题意得： ，∴， ∵x，y均为正整数，∴是3的整数倍， ∴可取3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45， ∵y为正整数，∴可取6， 18， 30， 42， ∴或 或或．即该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有4种．故答案为：4 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末））小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】(1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】(2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】(3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)；(2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得，解得，答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得，解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 10．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共棵．已知去年每棵苹果树平均产果千克，每棵梨树平均产果千克，果园总产量为千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 【答案】果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 【详解】解：设果园里种植了棵苹果树，棵梨树， 根据题意，得，解得， 答：果园里种植了棵苹果树，棵梨树． 11．（24-25七年级下·四川德阳·期末）2025年1月29日，由饺子导演创作的影片《哪吒之魔童闹海》上映，自上映以来，精彩的剧情与震撼的视觉效果彰显了中国动画电影产业的崛起与文化自信，吸引了各个年龄段观众，掀起了一股观影热潮．电影院为了创收，分两次购进了电影周边产品，哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元．(1)求每只哪吒和敖丙手办进价各多少元？(2)电影院为了了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一卖了6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元，经核实记录正确．周二以相同的售价出售了哪吒手办15只，敖丙手办10只，销售额显示为615元，你认为周二的销售额记录正确吗？如正确，请说明理由；若不正确，请你计算出正确的销售额． 【答案】(1)每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元 (2)周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元 【详解】（1）解：设每只哪吒手办的进价为 元，每只敖丙手办的进价为 元， 根据题意得，解得：， 答：每只哪吒手办进价为元，每只敖丙手办进价为 元； （2）解：设每只哪吒手办的售价为 元，每只敖丙手办的售价为 元， 根据题意得，，即，∴， 答：周二的销售额记录不正确，正确的销售额为 元． 12．（24-25七年级下·四川广安·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． 13．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）． (1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． (2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 【答案】(1)(2)小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨 【详解】（1）解：由题意可得方程组，得，故③， 把③代入①得，故方程组的解为； （2）解：设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，， 根据题意得方程：， 解得：，则6月份用水量为：（吨）． 答：小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 14．（24-25七年级下·四川绵阳北川·期末）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件．(1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？(2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数） 【答案】(1)该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件 (2)元/件 【详解】（1）解：设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件， 依题意，得：，解得：， 答：该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件； （2）解：设种玩具的售价定为元/件（为整数）， 依题意，得：，解得：． ∵为整数，∴最小取， 答：种玩具的售价至少应定为元/件． 15．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）某地计划在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 (1)请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ (2)若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ 【答案】(1)型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元(2)套 【详解】（1）解：选①②：设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得； 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选①③：设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选②③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下：，解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； （2）解：设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套， 根据题意可列不等式如下： ，解得， 答：采购型课桌椅至多套． ( 地 城 考点0 4 三元一次方程组的解法 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳·校考期末）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 3．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得：， ∴，，将代入得：，解得：． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 【答案】A 【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为元、元、元．根据题意，可列方程组： 将方程①和②相加，得到：， 化简得：，两边同时除以4，得：， 因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．故选：A． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）若实数满足，则（    ） A． B． C． D．不能确定值 【答案】A 【详解】①×3得：③， ②×2得：④，③-④得：=-3，故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：，得，∴． 7．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【答案】180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ，，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川凉山·期末）解方程组： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：，得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：，原方程组可变为：， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为：． （3）解：，，得，即， ，得，，得，，得， ∴方程组的解为 9．（24-25七年级下·四川攀枝花·校考期末）解方程组； (1)；(2)， 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ，得，解得， 将代入②，得， 所以原方程组的解是； （2）解： ，得④ ，得⑤ 由得，解得， 把代入④，得，解得， 把，代入①，解得， 所以原方程组的解为． 10．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 将②变形为 ③ 把①代入③，得，解得 把代入①，得解得 即原方程组的解为； （2）解： 将②变形为③ 把①代入③，得 整理得解得． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程组的概念 考点02消元法解二元一次方程组 考点03实际问题与二元一次方程组 考点04 三元一次方程组的解法 ( 地 城 考点01 二元一次方程组的概念 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·校考期末）下列各等式是二元一次方程的为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若是关于，的方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各组数不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川凉山·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）已知方程是二元一次方程，则______． 8．（24-25七年级下·四川广元·期末）写出一个解为的二元一次方程组：__________． 9．（24-25七年级下·四川自贡·期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川广安·期末）解答下列各题：(1)已知二元一次方程，当时，求的值；(2)已知二元一次方程，当时，求的值；(3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． ( 地 城 考点02 消元法解 二元一次方程组 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，最简单的方法是（　　） A．由①，得，再代入② B．由①，得，再代入② C．由②，得，再代入① D．由②，得，再代入① 2．（24-25七年级下·四川眉山·校考期末）用代入法解方程组时，将方程代入中，所得方程正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川凉山·校考期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程组，那么与的关系是_____ 6．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知，关于，的方程组的解满足，则的值为______． 7．（24-25七年级下·四川凉山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____． 8．（22-23七年级下·四川南充·期末）若，则方程组的解中，正整数的解为______． 9．（24-25七年级下·四川自贡·期末）关于x，y的方程组的解满足x－y＝6，则m＝_______． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川广元·期末）解方程组 11．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）解方程组：． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求，的值；(2)证明：无论取何值，方程组的解都是关于，的方程的解． 13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程组和的解相同． (1)求方程组的解；(2)求的值． 14．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的值．经过分组讨论后，三个数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表： 小组 A组 B组 C组 计算思路 先解关于x，y的二元一次方程组：，再求k的值． 先解方程组： 再求k的值． 将方程组中的两个方程相加，再求k的值． (1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题． (2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组时，可以由消去未知数x，或可以由消去未知数y，求的值． ( 地 城 考点0 3 实际问题与 二元一次方程组 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广元·期末）《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1、图2中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图表示的方程组形式为，类似地，若图2所示的算筹图列出的方程组的解为，则图2中的“？”所表示的算筹为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）九章算术是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有漆三得油四，油四和漆五．今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆．问出漆、得油、和漆各几何？”题目译文是：若有三份漆可换得份油，用份油可调份漆．今有漆斗，要分出一部分来换油，换回油后用以调所余之漆．问拿出换油的漆、换得的油、留下用于调和用的漆各是多少？若设拿出换油的漆为，换得的油为，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）“一夫当关，万夫莫开”，剑门关风景区是首批国家重点风景名胜区剑门蜀道的核心景区，它不但以雄、险、秀、幽、奇的自然风光闻名天下，而且具有深厚的历史文化底蕴，集蜀道文化、三国文化、战争文化、关隘文化、邮驿文化、红色文化于一体．已知某应用软件优惠活动期间，该景区成人票的价格是学生票的2倍，购买4张成人票和3张学生票需要550元．设成人票的价格是元／张，学生票的价格是y元／张，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）九世纪阿拉伯数学家花拉子米首次系统提出“还原与对消”的代数方法，他在《代数学》中记录了一个题目：两人同行，甲对乙说：“若你给我2第纳尔，我的钱数是你余下钱数的两倍．”乙说：“若你给我3第纳尔，我的钱数将比你余下钱数多1第纳尔．”求两人原有金额．可设甲原来有第纳尔，乙原来有第纳尔，建立方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，与的差为，小长方形的周长为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有x只，龟有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期末）《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）“碳中和”是落实《巴黎协定》要求，促进各国节能减排、发展绿色低碳能源的重要概念．我国在新能源汽车领域积极探索，目前已取得世界领先的技术水平．某公司计划用184万元全部购买A、B两种国产品牌的新能源汽车，其中A品牌新能源车每辆12万元，B品牌新能源车每辆16万元，要使得费用刚好用完，则该公司购买A、B两种品牌汽车的方案有________种． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末））小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】(1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】(2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】(3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 10．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）小张与小王一起承包土地作为果园基地，果园里种植了苹果树和梨树，一共棵．已知去年每棵苹果树平均产果千克，每棵梨树平均产果千克，果园总产量为千克，果园里种植了多少棵苹果树和多少棵梨树？ 11．（24-25七年级下·四川德阳·期末）2025年1月29日，由饺子导演创作的影片《哪吒之魔童闹海》上映，自上映以来，精彩的剧情与震撼的视觉效果彰显了中国动画电影产业的崛起与文化自信，吸引了各个年龄段观众，掀起了一股观影热潮．电影院为了创收，分两次购进了电影周边产品，哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办20只，敖丙手办15只共花费585元，第二次以相同的进价购入哪吒手办50只，敖丙手办50只共花费1650元．(1)求每只哪吒和敖丙手办进价各多少元？(2)电影院为了了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一卖了6只哪吒手办，4只敖丙手办，收入250元，经核实记录正确．周二以相同的售价出售了哪吒手办15只，敖丙手办10只，销售额显示为615元，你认为周二的销售额记录正确吗？如正确，请说明理由；若不正确，请你计算出正确的销售额． 12．（24-25七年级下·四川广安·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 13．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）．(1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值．(2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 14．（24-25七年级下·四川绵阳北川·期末）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件．(1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？(2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数） 15．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·校考期末）某地计划在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 (1)请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ (2)若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ ( 地 城 考点0 4 三元一次方程组的解法 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳·校考期末）已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．128元 B．130元 C．150元 D．160元 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）若实数满足，则（    ） A． B． C． D．不能确定值 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则的值为_____． 7．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川凉山·期末）解方程组： (1)；(2)；(3) 9．（24-25七年级下·四川攀枝花·校考期末）解方程组； (1)；(2)， 10．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $