精品解析：河南信阳高级中学2026届三考前自测模数学试题B

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则A的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用列举法表示出即可得解. 【详解】由，解得，则集合， 所以集合A的元素个数为2. 故选：C 2. 双曲线的渐近线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】双曲线的标准形式为， 显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，， 因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且， 所以双曲线的渐近线是． 3. 已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ） A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 5. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】按两类情况分组讨论即可. 【详解】分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门. 方案数种. 分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门： 方案数. 将两类相加：种. 6. 若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得出函数的最小正周期与单调递增区间，可求得的值，结合正切型函数的图象与单调性可求得函数的增区间，即可得解. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且其增区间为， 对于函数，其最小正周期为，可得，则， 由，解得，其中， 所以，的单调递增区间为， 所以，函数在上递减，在上不单调，在上递增，在上递减. 故选：C 7. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 8. 不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（ ）组. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】可变形为，则可转化为点与点到直线的距离为，再分别以、为圆心，作半径为的圆，再利用两圆位置关系与公切线条数的关系计算即可得. 【详解】由可得， 即点与点到直线的距离都为， 分别以、为圆心，作半径为的圆、圆， 由，故两圆外离，则两圆共四条公切线， 由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对， 使得点与点到直线的距离都为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. 若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D. 若，是方程的两根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.设，利用复数的运算和概念判断；B. 设，，利用复数的乘法运算和模公式求解判断；C.设，利用复数的加法运算和模公式求解判断；D.求出方程的两根判断. 【详解】A.设，则 ，则 ， 当时，为实数，故错误； B. 设，， 则 ， ，则， ， 所以，故正确； C.设，则 ， 所以 ，即， 表示以为圆心，以1为半径的圆，故正确； D.对于方程，判别式 ， 所以方程的根为，令， 则 ，故正确. 10. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 球的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用圆锥的侧面积公式求解；选项B，求出圆锥的高，设球的半径为，在中，利用勾股定理得到，解出，利用球的体积公式求解；选项C，将整理得到，设，则有①，在中，利用余弦定理得到，整理得到②，②代入①后解得，即，则有的轨迹是以为球心，为半径的球面与球的交线，且此交线为圆，设圆的半径为，两个球心与的距离为，球的半径为，在中，由勾股定理得到③，在中，由勾股定理得到④，③代入④后解得⑤，⑤代入③后解得， 利用圆的周长公式求出点的轨迹长度；选项D，为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为，则的最大值为. 【详解】选项A，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 圆锥的侧面积为，故选项A正确； 选项B，圆锥的高，设球的半径为， 由图可知，，， 在中，，，， 球的体积为，故选项B正确； 选项C，，， ，，， ， 设， 则有①， 在中，， ，，，②， ②代入①，得，解得， ，， 的轨迹是以为球心，为半径的球面与球的交线，且此交线为圆， 设圆的半径为，两个球心与的距离为，球的半径为， 在中，，， ③， 在中，，， ，④， ③代入④，得，解得⑤， ⑤代入③，得，解得， 点的轨迹长度为，故选项C错误； 选项D，为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为， 要使最大，则，又，， 的最大值为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】依题意可得相应的正态曲线关于对称， 又 ，则，解得. 13. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 【答案】4或2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 异面直线a，b所成角为，代入， 所以或， 故答案为：4或2 14. 设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足 ，则椭圆E的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角恒等变换得到，并转化为斜率关系，设出点的坐标，由斜率得到方程，求出，得到离心率 【详解】 ，故， 即， 即， 因为，所以， 即，， 故，即，， 不妨设，则， ，故， 又，故，将其代入得 ，故椭圆E的离心率为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式： （2）若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义由等比数列性质计算可得公差，即求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和代入公式计算可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由成等比数列可得， 解得或； 当时，可得， 当时，可得； 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 由（1）可得，所以； 因此， 所以 即数列的前项和. 16. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】（1）0.7 （2） （3）；； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【小问1详解】 设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． 【小问2详解】 由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． 【小问3详解】 由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 17. 某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. （1）求的方程. （2）光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【小问1详解】 由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以 . 又 ，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 18. 如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． （1）证明：； （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围. 【小问1详解】 如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 19. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求的取值范围； （2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； （3）若当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）就、和分类讨论后可得函数的单调性； （2）利用因式分解可得有两个不等的实数根，结合实数根的性质可求得根及的范围，再结合斜率比值可求的值； （3）利用特值探路可得，再结合放缩法及虚设零点，利用导数证明前者为充分条件后可得参数的范围. 【小问1详解】 ， 令得或， ①当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极大值点，不符合题意. ②当，即时，恒成立，无极值点，不符合题意. ③当，即时，列表得： 2 0 0 极大值 极小值 所以是的极小值点，符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【小问2详解】 由得或， 设，则，所以有两不等实根. 所以，，， 又因为，所以，， 则，且，故， 且，而， 所以，， 则，解之得或8（舍去）. 【小问3详解】 因为当且仅当，所以，则 因为，当时，，不符合题意； 当时， ①当时，， 记，， 若，，则单调递增，所以. 若，令，， 令，，易得单调递增， 所以，即， 则使，列表得： 0 极小值 因为，，所以使，列表得 0 极小值 又因为，，使，列表得 0 极大值 又，，所以，则当时，. ②当时， ， 设，则， 当时，， 故在上单调递增，故即， 设，则， 设，则， 在上为减函数，故，， 故在上存在一个零点，使得， 且当时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 而，，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故存在，使得， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数， 而，故在上恒成立. 综上，当时，即， 综上可得，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（B） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则A的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 双曲线的渐近线是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ） A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递减 4. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（     ） A. 72种 B. 150种 C. 243种 D. 360种 6. 若函数的最小正周期为，则下列区间中单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 8. 不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（ ）组. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. C. 若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 D. 若，是方程的两根，则 10. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 11. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 球的体积为 C. 点的轨迹长度为 D. 的最大值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则___________. 13. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 14. 设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足 ，则椭圆E的离心率为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式： （2）若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 16. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 17. 某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. （1）求的方程. （2）光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 18. 如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． （1）证明：； （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）若是的极小值点，求的取值范围； （2）若直线与曲线的三个交点分别为，，，且，.记在，两点处切线的斜率分别为，，若，求的值； （3）若当且仅当，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $