河南南阳市第一完全学校等校2026届高三考前仿真模拟数学试题

**基本信息** 高中数学三模试卷以人脸识别余弦距离、阶梯式绿植角等真实情境为载体，综合考查集合、复数、概率等核心知识，凸显数学应用与创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算（第1题）、复数模（第2题）|第4题以人脸识别技术考查向量夹角，体现科技前沿| |填空题|3/15|向量投影（第12题）、函数极值（第13题）|第13题“凹凸趋向性”新定义，考查创新思维| |解答题|5/77|数列求和（15题）、立体几何翻折（18题）|第19题传递卡片游戏结合概率期望与终止条件，考查数学建模|

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合则（ ） A. A∪B={x|-1≤x<1} B. A∪B={x|x<1} C. A∩B={x|x≤0} D. A∩B={x|0≤x<1} 2．若复数满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A. B. C. D. 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A. B. C.7 D. 15 6．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 7．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 8．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．是曲线的一条对称轴 C．函数是奇函数 D．若方程在上有且仅有6个解，则 10．如图，在正方体中，棱长为2，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面 平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为2 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过原点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交椭圆于，两点，过点分别作于，于，则（    ） A． B．动点的轨迹是一个圆 C．的面积有最大值，最大值为 D．四边形面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 13．若实数的取值使函数在定义域上有两个极值点，则叫做函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，则的取值范围为______. 14.已知ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为 b,c, 且若ΔABC 的面积为则cosC= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）已知数列｛是首项为1，公比为2的等比数列， 为数列｛的前n 项和， 为数列的前n项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）证明： 16．（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，. (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点的直线与双曲线交于，两点，，求直线的方程. 17．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在，，使得，求a的最大值． 18．（17分）如图，直角，斜边为的中点，将沿翻折到，设二面角的大小为，满足. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)当四面体的体积最大时，求. 19．（17分）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下： ①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张； ②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡； ③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张； ④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置． 则一轮游戏结束． (1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率； (2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望； (3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A B B C C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ABD ABD 15．【详解】（1）由题意，，， 所以 . 当时，. 当时， . 当时，上式亦成立，所以. （2）因为， 所以 ， 因为，所以. 所以. 16．【详解】（1）由题意得的渐近线为，取，即， 右焦点到该渐近线的距离， 所在直线的斜率为，并且过点， 则所在直线方程为，即， 联立，整理得，则，即， 所以，即，代入，则, 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知， 当直线斜率不存在时，，代入双曲线得， 则，到的距离为4，此时，不符合题意， 当直线斜率存在时，设，， 联立得，则， （时与渐近线平行，与双曲线只有1个交点，不符合题意） 则 点到直线的距离， 所以， 由题意得，即， 两边同时平方得，令， 则，整理得，解得或（舍） 故，， 将代入判别式，且，符合题意， 因此直线的方程为，即或. 17． 【详解】（1）由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由 . 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 18．【详解】（1）依题意，斜边，有，取中点， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以； （2）以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由二面角的定义可得，则， 由于，则，，故，， 设平面的法向量， 设与平面所成角为，则 |， 故与平面所成角为； （3）由于的面积与的面积相等，则的面积与的面积相等， 因此，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大； 设平面的法向量， 有，令，则，可得， ， 所以到平面的距离， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，此时. 19．【详解】（1）解：记“一轮游戏结束后1号手中有两张红卡”，若要1号手中是两张红卡，则应从在1号手中放入红卡，取出黑卡，所以， 所以一轮游戏结束后，1号学生恰有两张红卡的概率为； （2）解：记“抽取卡片后号学生手中有两张红卡和一张黑卡”，“从号手中取出的卡为红卡”， 所以，，，， 则由全概率公式可得： 则，故， 又，所以，， 假设一轮游戏结束后，号手中红卡个数为，可能取值为， ， ， ， 所以. （3）解：由题可知，一轮游戏后至少还有两位学生未被淘汰， 记“一轮游戏后剩个学生未被淘汰”，其中， 记“两轮游戏后恰好剩一个学生未被淘汰”， 则， 由（2）知，每个学生，一轮后最终卡片的状态概率为： 两红的概率；两黑的概率， 所以，单个学生被淘汰的概率均为，不淘汰的概率为 故一轮结束后，未被淘汰的人数服从二项分布， 所以，， 第二轮结束后，人中剩1人未被淘汰的概率为：， 所以， 由全概率公式得：， 因为， 因为， 所以， 所以比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率． 答案第4页，共4页 高三数学学科答案 第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $