精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期考前测试（A）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 7. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 若点是的中点，则 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 若动点满足，则PM的最小值为 D. 若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则 11. 若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）. A. 2是的一个周期 B. 一定为正数 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间向量在上的投影向量为___________． 13. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，. （1）证明： （2）若平面平面，且，求二面角的平面角的余弦值. 18. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ① 求证：为定值； ② 求四边形面积的最小值． 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解不等式，得，即， 所以， 解不等式，变形得， 因为指数函数是上的增函数，所以， 所以． 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，解出可得出函数的定义域. 【详解】由题意得，解得，因此，函数的定义域为，故选B. 【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要注意几种常见的求定义域的原则，具体如下： （1）分式中分母不为零； （2）偶次根式中被开方数大于或等于零； （3）对数真数大于零，底数大于零且不等于； （4）零次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切：，，； （6）已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需； （7）已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域. 3. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题可知， 又，，即， 解得． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式求出，最后由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 6. 某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ） A. 45种 B. 36种 C. 28种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 7. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用三角函数平方关系化简函数表达式，再通过换元法将其转化为二次函数，最后根据二次函数性质求出原函数最小值. 【详解】因为， ， 所以． 令，设，则． 当时，，所以的最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（ ） A. B. C. D. σ越小，越大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 若点是的中点，则 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 若动点满足，则PM的最小值为 D. 若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求出可判断A；利用得点的轨迹是以AB为直径的半圆，求出轨迹长度可判断B；点的轨迹是以，分别为左、右焦点，求出可判断C；过点作于点，过点作于点，利用求出可判断D. 【详解】对于A，由题意得，，，四边形是矩形， 则，在中，， 若点是的中点，则， 在中，，， 由余弦定理可得 ，故A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹是以AB为直径的半圆， 半径长为1，则轨迹长度为，故B错误； 对于C，若点满足，则点的轨迹是以，分别为左、右焦点， 长轴长为，焦距为的椭圆，是椭圆的中心， 则椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长， 由，，得短半轴长为， 则PM的最小值为，故C正确； 对于D，因为点到点的距离等于点到直线的距离， 过点作于点，过点作于点，则， 又，则，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用圆、椭圆的定义求轨迹是解题的关键点. 11. 若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）. A. 2是的一个周期 B. 一定为正数 C. 若，则 D. 若在上单调递增，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性，推得函数的周期性，再利用周期性，赋值代入求值判断即可. 【详解】对于A，因是定义在上的偶函数，则，又的图象关于直线对称， 则，故有，即2是的一个周期，故A正确； 对于B，因对任意，都有，若取，则得， 若取函数，显然满足题设条件，则有，故B错误； 对于C，因为对任意，，都有， 所以对任意，取，得； 若，即，故，故C正确； 对于D，假设，因及，， 可得，，则， 这与在上单调递增矛盾，即假设不成立，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间向量在上的投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式计算. 【详解】由题意得，，， 故向量在上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围. 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【小问1详解】 因为 ，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，则 所以， . 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，， . . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，. （1）证明： （2）若平面平面，且，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得，进而利用平行关系即可证明； （2）设平面和平面的交线为直线，利用面面平行性质定理可得，进而得到平面，则是平面与平面的二面角，方法一：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；解法二：由二面角的定义可知，的大小为直线与夹角或补角，等价于直线与的夹角，在中求解即可. 【小问1详解】 如图连接， 因为四边形是平行四边形，且，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 如图，设平面和平面的交线为直线， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以是平面与平面的二面角的平面角， 因为平面平面，所以，即， 在中，因为，，所以 在中，因为，则，所以为等腰直角三角形， 方法一：由（1）得平面，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，取，得平面的一个法向量， 记二面角的平面角为，由图观察可得为钝角， 所以. 方法二：在中，因为，，， 则，所以， 又因为，记二面角的平面角为， 由二面角的定义可知，的大小为直线与夹角或补角，等价于直线与的夹角， 在中，因为，，，由图观察可得为钝角， 所以. 18. 已知点是抛物线的焦点，点在曲线上，且． （1）求的方程； （2）过点作两条直线、，交于两点，交于两点，且． ① 求证：为定值； ② 求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由点在曲线上，求得，再由，利用抛物线的定义，列出方程，求得的值，即可求解； （2）①设的斜率为，得到的斜率为，得到和的方程，联立方程组，利用弦长公式分别求得，代入运算，即可得证； ②由，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线，可得焦点，准线为， 因为点，可得，解得， 又因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：①由（1）知，设的斜率为，因为，则的斜率为， 则的方程为，联立方程组，整理得， 设，则， 则， 同理可得：， 所以， 所以为定值. ②因为，所以四边形的面积为， 由①知：，， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为. 19. 设、为实数，且，函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）设，求导，分析函数的单调性，进而求证即可； （3）设，转化问题为函数有且仅有2个零点，分析易得时才能满足题意，设，分析可得需满足，，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，， 设， 则， 由于，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 【小问3详解】 设， 由题意，曲线与直线有且仅有两个交点， 则函数有且仅有2个零点， 而， 令，得，而，则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 要使函数有且仅有2个零点， 则，即， 设，则， 当时，，则，不满足题意； 当时，设，则， 则函数在上单调递减，又， 则时，，即， 则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $