培优专题01 平行线的性质与判定11大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“概念识别-公理应用-性质判定-综合探究-实际应用”为逻辑主线，系统覆盖平行线核心考点，通过分层题型培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三线八角识别|3题|基本图形分解法|从角的位置关系建立平行线认知基础| |平行公理应用|4题|辅助线构造（过点作平行线）|公理推导性质，性质反推判定的双向逻辑| |判定与性质综合|4题|角平分线转化、等量代换|判定与性质的互逆应用，培养逻辑推理| |实际应用|4题|数学建模（如潜望镜、探照灯）|将实际问题抽象为平行线模型，发展应用意识|

专题01 平行线的性质与判定 题型1三线八角的识别 题型7平行线的判定与性质综合（重点） 题型2平面内两条直线的位置关系 题型8利用平行线间的距离求解（难点） 题型3平行公理（重点） 题型9根据平行线的性质探究角的关系（难点） 题型4利用已知条件证明两直线平行（常考点） 题型10根据平行线的性质求角的度数（难点） 题型5补全两直线平行的证明过程 题型11平行线的性质在实际生活中的应用（常考点） 题型6利用平行线的性质求解（常考点） 题型一 三线八角的识别（共3小题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)． 【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）借助（）（）中的两个基本模型可得结论； （）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案． 本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与； 故答案为：，，； （2）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与； 内错角有：与，与，与，与，与，与； 同旁内角有：与，与，与，与，与，与； 故答案为：，，； （3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知， 图中共有同旁内角：． 故答案为：． （4）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 平面内两条直线的位置关系（共2小题） 4．（25-26七年级下·山东青岛·期中）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 【答案】(1)，见解析； (2)⊥； (3)⊥． 【分析】（）根据平行线的判定定理求解； （）根据（）的结论及平行公理推理； （）根据（）的结论及平行公理推理． 【详解】（1）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， 由（）（）可知，，，；，， ∴与下标为偶数的直线垂直，与下标为奇数的直线平行， ∵下标为偶数， ∴⊥， 故答案为：⊥． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 题型三 平行公理（共4小题） 6．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理推论得，继而得到，最后得到，再代入数据可得答案； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理推论推出，根据角平分线的定义得，，继而得到，再结合（1）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别为、的平分线所在直线， ∴，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 即． 7．（25-26七年级下·河南信阳·期中）如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． (1)证明：； (2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合邻补角定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先推导出，得到，，继而求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板（如图）．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，从侧面观察得到如图2所示的示意图，，垂足为A，．有同学认为，与的度数和是一个定值，下面是小林同学计算的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以________ （________）， 所以（________）． 因为， 所以________（垂直的定义）． 因为， 所以________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以________． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】根据平行公理的推论，平行线的性质和垂直的定义补全解答过程即可． 【详解】解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为， 所以（垂直的定义）． 因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，仿照题干的解法作答即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 题型四 利用已知条件证明两直线平行（共4小题） 10．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 11．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 13．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 题型五 补全两直线平行的证明过程（共4小题） 14．（22-23七年级下·浙江台州·期中）补全解答过程． 如图，，．求证：． 证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（ ）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】见解析 【分析】利用同角的补角相等得到，依据“内错角相等，两直线平行”得到，再利用平行线的性质得到，利用已知条件和等量代换得到，依据“同位角相等，两直线平行”得到． 【详解】证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 15．（23-24七年级上·重庆万州·期末）如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．    解：（    ） ∴（    ）， ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（    ）， ， ∴（等式的性质）， 同理可得， ∴（等量代换）， ∴（                 ）． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．由可证，证明可证． 【详解】解：∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 又∵（已知）， ， ∴（等式的性质）， 同理可得， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 16．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，已知：中，点、分别在、上，交于点，，．求证：．请补全下面解答过程： 证明：（ ）， （已知）， （ ）． （ ）． （ ）． （已知）， （ ）． （ ）． 【答案】平角的定义；；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，解题的关键是结合平角的定义、等量代换，利用平行线的判定定理和性质定理完成推导． 先根据平角的定义和已知条件，通过等量代换得到内错角相等，判定；再利用平行线的性质得到；结合已知，通过等量代换得到；最后根据同位角相等，判定． 【详解】证明：（平角的定义）， （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 17．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）阅读下列文字，补全推理过程，并填写依据． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接、，，，试说明：． 解：∵（已知）， ∴______（____________________）， ∴______（____________________）， ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（____________________）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，先说明，从而，再根据，等量代换得，即可说明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 题型六 利用平行线的性质求解（共4小题） 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键．（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 19．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)__________； (2)当时，求的度数； (3)当点在射线上运动时，与存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义， （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，，进而根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可； （3）先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵、平分、， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即． 20．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和，可推出与的关系； （2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 21．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，．    (1)若，平分，求的度数． (2)若平分，平分，试说明的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数； （2）根据平行线的性质，得到，再利用角平分线的定义，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ； （2）解：， ， 平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 题型七 平行线的判定与性质综合（共4小题） 22．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知平分，点在射线上，点在射线上，过点作．设，． (1)若，，求证：． (2)求的度数．（用含和的代数式表示） (3)若，，且过点的一条射线，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的判定定理证明即可； （2）延长与相交于，然后根据平行线的性质解答即可； （3）画出图形，借助（2）解答即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ． （2）解：延长与相交于， ， ， ， ， 过点P作， 则， ． （3）解：过点的一条射线，如图： 由（2）可知，， ， ， 或． 23．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知直线，为平面内一点，点、分别在直线、上，连接，． (1)如图1，若点在直线、之间，过点作，，时，求的度数． (2)如图2，若点在直线、之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过平行线的性质结合即可求解； （2）同理（1）得，，由已知得到，根据平分，平分，求出，再根据，即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ，； ， ， ∵， ； （2）解：同理（1）得：，， ∵， ∴， 平分，平分， ，， ， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 24．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在三角形中，点D在边上，为的角平分线，，与相交于点O，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，角平分线的定义和对顶角相等，推出，即可得证； （2）设，得到，，进而得到，再根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图和的度数满足方程组，且，． (1)求与的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可得到答案； （2）证明，结合，可得结论； （3）先证明，，从而可得答案． 【详解】（1）解：由， 得：，解得， 把代入②得； （2）解：．理由如下， 理由如下：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵． ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八 利用平行线间的距离求解（共4小题） 26．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 【答案】(1)10 (2)4 【分析】本题主要考查了作图——平移变换，平行四边形的面积，平行线的性质等知识，准确画出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质得出，线段扫过的面积用长方形面积减去周围个直角三角形面积即可； （2）根据平行线之间的距离处处相等可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 线段扫过的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，作，则点即为所求，共有个， 故答案为：． . 27．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点D．根据平移性质，得、与平行四边形相等，可求解． 【详解】（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ， 平行四边形  的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 28．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          题型九 根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 30．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 31．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由角平分线的定义得，结合可得，即可证明； （2）由三角形外角的性质得，，进而得，，根据平分，得，等量代换得，可得； （3）分“点Q在上，点Q在延长线上”两种情况，利用三角形外角的性质、平行线的性质分别求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 即． ∵平分， ∴， ∴，即； （3）解：∵平分，平分， ∴令，． ∵， ∴． 当点Q在上时，如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴； 当点Q在延长线上时，如图所示， 同理可得，，， ∴， 综上所述，或． 32．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角三角形中，，过点分别作直线，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． (3)如图3，点是射线上的一个点，且，若点是线段延长线上的动点，点是射线上的动点（不与点重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再把相关条件代入化简即可； （2）由（1）推导过程可得：，再代入相关条件可得，易得，利用角平分线的定义可得，易得，最后根据内错角相等两直线平行即可证明结论； （3）设，则，，，然后分点N在M的右侧和左侧两种情况，分别利用三角形外角的性质、平行线的性质用y表示出三个角，再寻找关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． （2）证明：由（1）推导过程可得：， ∵，， ∴，解得：． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，， 设，则，，， ①如图：当点N在M的左侧时，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∵， ∴，即； ②如图：当点N在M的右侧时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∵， ∴，即； 综上，与的数量关系为或． 33．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，平分交于点，且． (1)若，且，求的度数． (2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】（1）由题意得，根据平行线的性质得，，再根据角平分线的性质得，即可求解； （2）①设，则，根据平行线的性质得，，根据角平分线的性质得，，过点作直线，得到，即可得出结论； ②分两种情况：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ，， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 设，则， ∵， ，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， 过点作直线，如图： ，， ， ∵， ∴； ②当点在点右侧时，过点作，如图： 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ，， ， ∵， ∴； 当点在点左侧时，如图，在延长线上取点K， 设，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵， ， 综上，或． 题型十 根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 34．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知直线，直线分别与、相交于E、F． 【阅读理解】 (1)如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 (2)如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 (3)如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补； (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）过点向左作，根据角平分线设，由，得到，则，同理，即可构造二元一次方程组求解； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ，即． （2）解：过点向左作，如图， ∵、分别平分和， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 解得， ∴，； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴设，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴同理可得，， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 35．（25-26七年级下·浙江台州·期中）有一种骄傲叫中国高铁．为了安全起见，某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：____ (2)若灯A、B两射线同时旋转45秒，则此时两灯的光束什么位置关系？请说明理由． (3)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为，两条旋转射线交于点C．过点C作交于点D，求出与的数量关系．（提示：三角形的内角和为） (4)若射线先旋转，射线才开始旋转，设射线旋转时间为s（ ），若旋转过程中，求的值． 【答案】(1) (2)垂直．理由：当旋转45秒时，灯A射线旋转了，和射线重合，灯B射线旋转了，此时，两灯的光束互相垂直． (3) (4)t的值为10或85 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由，即可得到的度数； （2）当旋转45秒时，灯A射线旋转了，和射线AB重合，灯BA射线旋转了，再求解即可； （3）根据题意画出图形再进行计算求解即可． （4）设灯转动秒时，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，，，，再根据平行线的性质建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：垂直．理由如下： 当旋转45秒时，灯A射线旋转了，和射线重合， 灯B射线旋转了，此时， 两灯的光束互相垂直． （3）解：∵灯A的转动速度是每秒， ∵，且由（1）知， ∵灯B的转动速度是每秒， 过点作． ∴，， ， （4）解：设灯转动t秒时，两灯的光束互相平行， 当时，灯射线转动至，灯射线转动至， 则，，， 如图， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当时，灯射线转动至立即回转并转至，灯射线转动至， 则，，， 如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，灯射线转动至立即回转并转至，灯射线转动至， 则，，， 如图， ， ， ， ， ， ， ，不符合题意， 综上所述，灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行， 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人．如图2，现测得三江交汇处夹角，，，为了点亮金华，现在、、处各安装一盏可旋转的探照灯，分别从、、开始按顺时针方向旋转，现测得，，，灯的旋转速度为每秒，灯的旋转速度为每秒，灯的旋转速度为每秒，且满足． (1)求、的值； (2)求灯开始旋转几秒时，灯光第一次与平行？ (3)设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间 【答案】(1)， (2) (3)20秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质列一元二次方程求解即可； （2）灯光旋转到时，，则旋转角为，再根据平行线的性质列方程求解即可； （3）设旋转时间为 t 秒，灯光旋转后的灯光为，分、、三种情况，分别利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． （2）解：当灯光旋转到时，，则旋转角为， ∵，， ∴， ∴，解得：秒． ∴灯开始旋转秒时，灯光第一次与平行． （3）解：设旋转时间为 t 秒，灯光旋转后的灯光为， ①如图：当时，转过角度 ，转过角度： ，则两盏灯光线平行时的旋转时间 秒， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，解得：，符合题意； ②当时，转过角度： ，转过角度： ，则两盏灯光线平行时的旋转时间 秒， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，解得：，不符合题意； ③当时，转过角度： ，转过角度 ，两盏灯光线平行时的旋转时间秒， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，解得：，符合题意； 综上，灯的旋转时间为20秒或秒． 37．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究： ​ (1)如图1，若点C在直线上，且，求的度数； (2)若点在直线上，点在和之间，边、与直线分别交于点和点． ①如图，平分，平分，与交于点．在绕着点旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图，在绕着点旋转的过程中，设，，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)不变，；m的最大值是，最小值是 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得的度数； （2）①先根据三角形内角和可得，即，再根据平分，平分，可得 ，即有 ，可得结论； ②根据三角形的内角和以及平行线的性质得：，确认点C在边界上的两点时，代入，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴ ∵， ∴； （2）解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且 理由：如图2，∵， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ②∵， ∴ ∵， ， ∴ ∵ ∴ 即 如图3，点在直线上时， 如图4，∵，和之间的距离为1 ∴点C在直线上时， 综上所述，m的最大值是，最小值是． 题型十一 平行线的性质在实际生活中的应用（共4小题） 38．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 39．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 40．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 41．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)100° (2)见解析 (3)的值或或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可解； （2）通过计算，利用内错角相等，两直线平行进行判定即可； （3）分三种情况画图，列出关于t的式子即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，． ， ． 平分， ． ． 故答案为：． （2）∵， ． ， ． 平分， ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． ∴． （3）． 当时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． ． 当回转时，时，则，如图，    ∵， ． ， ． ． 当时，，如图，   ． ． ， ． ． 综上，的值或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行线的性质与判定 题型1三线八角的识别 题型7平行线的判定与性质综合（重点） 题型2平面内两条直线的位置关系 题型8利用平行线间的距离求解（难点） 题型3平行公理（重点） 题型9根据平行线的性质探究角的关系（难点） 题型4利用已知条件证明两直线平行（常考点） 题型10根据平行线的性质求角的度数（难点） 题型5补全两直线平行的证明过程 题型11平行线的性质在实际生活中的应用（常考点） 题型6利用平行线的性质求解（常考点） 题型一 三线八角的识别（共3小题） 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 题型二 平面内两条直线的位置关系（共2小题） 4．（25-26七年级下·山东青岛·期中）探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 题型三 平行公理（共4小题） 6．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：点、、不在同一条直线上，， (1)如图，当，时，求的度数； (2)如图，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系． 7．（25-26七年级下·河南信阳·期中）如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． (1)证明：； (2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 8．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板（如图）．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，从侧面观察得到如图2所示的示意图，，垂足为A，．有同学认为，与的度数和是一个定值，下面是小林同学计算的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以________ （________）， 所以（________）． 因为， 所以________（垂直的定义）． 因为， 所以________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以________． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 题型四 利用已知条件证明两直线平行（共4小题） 10．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 11．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． (1)求证：； (2)若，求证：． 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 13．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 题型五 补全两直线平行的证明过程（共4小题） 14．（22-23七年级下·浙江台州·期中）补全解答过程． 如图，，．求证：． 证明：∵ （邻补角的定义）， （已知）， ∴（ ）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 15．（23-24七年级上·重庆万州·期末）如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．    解：（    ） ∴（    ）， ∴（同位角相等，两直线平行） 又∵（    ）， ， ∴（等式的性质）， 同理可得， ∴（等量代换）， ∴（                 ）． 16．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，已知：中，点、分别在、上，交于点，，．求证：．请补全下面解答过程： 证明：（ ）， （已知）， （ ）． （ ）． （ ）． （已知）， （ ）． （ ）． 17．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）阅读下列文字，补全推理过程，并填写依据． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接、，，，试说明：． 解：∵（已知）， ∴______（____________________）， ∴______（____________________）， ∵（已知）， ∴______（等量代换）， ∴（____________________）． 题型六 利用平行线的性质求解（共4小题） 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 19．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． (1)__________； (2)当时，求的度数； (3)当点在射线上运动时，与存在怎样的数量关系？请说明理由． 20．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 21．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如图，．    (1)若，平分，求的度数． (2)若平分，平分，试说明的理由． 题型七 平行线的判定与性质综合（共4小题） 22．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知平分，点在射线上，点在射线上，过点作．设，． (1)若，，求证：． (2)求的度数．（用含和的代数式表示） (3)若，，且过点的一条射线，请直接写出的度数． 23．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知直线，为平面内一点，点、分别在直线、上，连接，． (1)如图1，若点在直线、之间，过点作，，时，求的度数． (2)如图2，若点在直线、之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数为______． 24．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在三角形中，点D在边上，为的角平分线，，与相交于点O，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 25．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图和的度数满足方程组，且，． (1)求与的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)求的度数． 题型八 利用平行线间的距离求解（共4小题） 26．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹： (1)画出，线段扫过的图形的面积为______； (2)在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？ 27．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． (1)若，，求的度数和的长． (2)若的面积是，求四边形的面积． 28．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 题型九 根据平行线的性质探究角的关系（共4小题） 30．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 31．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 32．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）如图，在直角三角形中，，过点分别作直线，． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若，平分，求证：． (3)如图3，点是射线上的一个点，且，若点是线段延长线上的动点，点是射线上的动点（不与点重合），请直接写出与的数量关系． 33．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，平分交于点，且． (1)若，且，求的度数． (2)过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点． ①如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由． ②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）． 题型十 根据平行线的性质求角的度数（共4小题） 34．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知直线，直线分别与、相交于E、F． 【阅读理解】 (1)如图1，、分别平分和，求证：．请在下面的括号里填写相应的依据． 解：、分别平分和， 可设，（　　）， ， （　　）， ． 又， ． ，即． 【推广应用】 (2)如图2，点在射线上，点在射线上，、分别平分和，若，，请模仿（1）设元的方法，求和的度数． 【拓展提升】 (3)如图3，点在线段上，点是直线上的动点（不与重合），、分别平分和，设，请直接用含的代数式表示的度数． 35．（25-26七年级下·浙江台州·期中）有一种骄傲叫中国高铁．为了安全起见，某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：____ (2)若灯A、B两射线同时旋转45秒，则此时两灯的光束什么位置关系？请说明理由． (3)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为，两条旋转射线交于点C．过点C作交于点D，求出与的数量关系．（提示：三角形的内角和为） (4)若射线先旋转，射线才开始旋转，设射线旋转时间为s（ ），若旋转过程中，求的值． 36．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人．如图2，现测得三江交汇处夹角，，，为了点亮金华，现在、、处各安装一盏可旋转的探照灯，分别从、、开始按顺时针方向旋转，现测得，，，灯的旋转速度为每秒，灯的旋转速度为每秒，灯的旋转速度为每秒，且满足． (1)求、的值； (2)求灯开始旋转几秒时，灯光第一次与平行？ (3)设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间 37．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究： ​ (1)如图1，若点C在直线上，且，求的度数； (2)若点在直线上，点在和之间，边、与直线分别交于点和点． ①如图，平分，平分，与交于点．在绕着点旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图，在绕着点旋转的过程中，设，，求的最大值和最小值． 题型十一 平行线的性质在实际生活中的应用（共4小题） 38．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 39．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 40．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 41．（20-21七年级下·山东济南·期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，D两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即，，为上两点，平分交于点，为上一点，连接，平分交于点．    (1)若，则 ； (2)作交于点，且满足，当时，试说明：； (3)在（1）问的条件下，探照灯A、D照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯射出的光线以每秒15度的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相垂直时，请直接写出此时t的值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $