培优专题02 平行线的8种热考模型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 平行线的8种热考模型 题型1猪蹄模型 题型5等积变换模型 题型2铅笔模型 题型6平行线折叠模型 题型3大脚模型与骨折模型 题型7三角板拼接模型 题型4平行平分三等角 题型8直尺与三角板拼接模型综合 题型一 猪蹄模型（共5小题） 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 题型二 铅笔模型（共6小题） 6．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（20-21七年级上·吉林长春·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 9．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 11．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 题型三 大脚模型与骨折模型（共6小题） 12．（25-26七年级下·北京·期中）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，则（   ）度 A．110 B．120 C．130 D．140 15．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知，则、、、的关系是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·广东惠州·期中）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试证：； (2)如图2，若，，，则__________； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 17．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 题型四 平行平分三等角（共4小题） 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·湖南·三模）如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 21．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，，点E是直线上的点，过点E的直线l交直线于点F，平分交于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中的度数可以分别是（） A． B． C． D． 题型五 等积变换模型（共5小题） 22．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 23．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 24．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为______． 25．（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为_______． 26．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 题型六 平行线折叠模型（共5小题） 27．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿折叠如图1，第二次沿折叠如图2．若，则________度． 28．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 29．（22-23七年级下·浙江温州·阶段检测）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 30．（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 31．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 题型七 三角板拼接模型（共4小题） 32．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为________． 33．（2024七年级下·浙江·专题练习）一副直角三角尺按如图所示叠放，现将三角尺固定不动，将三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．当时，，则其它所有可能符合条件的度数为__． 34．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题．已知，如图1，这副三角尺有以下特征： ①，，，； ②点C到的距离与点F到的距离相等． 请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题： (1)甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数． (2)乙同学：如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E放在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由． (3)丙同学：如图4，三角尺固定不动，转动三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出的度数（写出所有可能的情况）． 35．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 题型八 直尺与三角板拼接模型综合（共5小题） 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 37．（2025·广东深圳·二模）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（   ） A． B． C． D． 38．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C在直尺的一边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 39．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 40．（2020·河南周口·一模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线的8种热考模型 题型1猪蹄模型 题型5等积变换模型 题型2铅笔模型 题型6平行线折叠模型 题型3大脚模型与骨折模型 题型7三角板拼接模型 题型4平行平分三等角 题型8直尺与三角板拼接模型综合 题型一 猪蹄模型（共5小题） 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，得到，根据平行的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C一定正确． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， 3．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 题型二 铅笔模型（共6小题） 6．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点P作， ， ， ，， ，， ，， ． 7．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 8．（20-21七年级上·吉林长春·期末）问题情境：如图1，，，，求的度数． (1)小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______． 问题迁移： 如图3，，点在射线上运动，，． (2)当点在A、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如果点在A、两点外侧运动时（点与点A、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时 【分析】（1）过作，先证明，再进一步证明即可； （2）过点作 ，可得，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，再利用角的和差关系，即可求出结果； （3）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可得到结果． 【详解】（1）解：过作，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴. （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：当点P在B、O两点之间时，点P在射线上时；理由如下： 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 9．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 10．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）先得到，则，再由求解即可； （2）由（1）得，，则，由角平分线可得，过点作，证明即可； （3）设，，由（2）可得，由题意可得，再根据角平分线得到，，由（1）得：，再代入求解即可； （4）同问题（3）求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：、分别是和的平分线， ，， 由（1）得，， ， ， ， 过点作， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由是： 设，， ∴由（2）可得 ∵，， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴ ； （4）解：设，， ∴由（2）可得 ∵，（n为正整数）， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴； ． 11．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 题型三 大脚模型与骨折模型（共6小题） 12．（25-26七年级下·北京·期中）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 【答案】 【分析】延长交于点，由题意可知，根据两直线平行，同位角相等，可知，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 由题意可知， ， ， ， 且是的外角， ， ， ． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，则（   ）度 A．110 B．120 C．130 D．140 【答案】B 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，已知，则、、、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，交于点，则，，即可得出，作，则，，从而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 作，则，， ∴， ∴， ∴， ∴ 16．（25-26七年级下·广东惠州·期中）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试证：； (2)如图2，若，，，则__________； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行公理的推论． （1）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，即可得证； （2）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，结合已知条件，即可解答； （3）过点作，又有，根据平行公理的推论可得，利用平行线的性质可得，，结合即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点作， 则， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作， 则， ， ， ， ， ， ； （3），，之间的数量关系是，理由如下： 如图，过点作， 则， ， ， ， 即，，之间的数量关系是． 17．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；②的大小不变，其度数为 (2)当，的度数为定值，这个定值为 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握三个结论，是解题的关键： （1）①根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图1的结论进行求解即可； ②设，根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图3的结论进行求解即可； （2）设，利用图2的结论和平行线的性质，推出，根据的度数为定值，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 由图1的结论可知：． ②设． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， 由图3的结论可知：， ∴， ∴的大小不变，其度数为． （2）设． ∵， ∴， 由图2的结论可知：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的度数为定值， ∴，， ∴当，的度数为定值，这个定值为． 题型四 平行平分三等角（共4小题） 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 19．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 20．（2025·湖南·三模）如图，直线，直线分别与交于点E，F，平分，交于点G，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义等知识；由平行线的性质得，由平分得，则由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 21．（2025·云南怒江·模拟预测）如图，，点E是直线上的点，过点E的直线l交直线于点F，平分交于点G．在直线l绕点E旋转的过程中，图中的度数可以分别是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义得到，根据邻补角互补求出即可求解，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：A、， ， 平分， ， ，故选项不符合题意； B、， ， 平分， ， ∴，故选项不符合题意； C、， ， 平分， ， ，故选项符合题意； D、， ， 平分， ， ，故选项不符合题意， 故选：C． 题型五 等积变换模型（共5小题） 22．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【分析】由点E是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·上海静安·阶段检测）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝______，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝______． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 24．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 25．（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为_______． 【答案】32 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：32． 26．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 题型六 平行线折叠模型（共5小题） 27．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，第一次沿折叠如图1，第二次沿折叠如图2．若，则________度． 【答案】36 【分析】根据折叠可得：，，设，则，根据平行线的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可得：，， 设，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 28．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，把一张长方形纸片进行两次折叠，第一次沿折叠，第二次沿折叠，则 ______________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质以及平行线的性质分别表示出，，即可求解． 【详解】解：设， ∴ ∵第一次沿折叠，第二次沿折叠， ∴，，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 29．（22-23七年级下·浙江温州·阶段检测）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 【答案】 或36 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图：      ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图：    由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或36． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 30．（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 31．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． （1）①若，则______； ②用含的代数式表示． （2）如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若，用含的式子表示． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由矩形的性质得出，则； ②由折叠的性质得，再由平角的定义求出的度数，再由矩形的性质得出，则，即可得出结果； （2）①由折叠的性质得，再由平角的定义求出，然后由平行线的性质得出，由折叠的性质得，最后由平行线的性质得出，即可得出答案； ②由平行线的性质得出，再由折叠的性质得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①由折叠的性质得： ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； ②由折叠的性质得： ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：①由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 即， 解得：； ②， ， 由折叠的性质得：， ． 题型七 三角板拼接模型（共4小题） 32．（23-24七年级下·浙江台州·期中）如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为________． 【答案】、和 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质和判定，分情况讨论，根据题意画出图形，利用平行线的性质和旋转的性质求解是解题的关键． 【详解】由题意可知，点E在直线的下方， 如图所示，当时， ； 如图所示，， ； 如图所示，， ； 故答案为：、和． 33．（2024七年级下·浙江·专题练习）一副直角三角尺按如图所示叠放，现将三角尺固定不动，将三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．当时，，则其它所有可能符合条件的度数为__． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平面内角的计算等知识，根据题意作出图形是解题关键．根据题意，分，和三种情况，分别求解即可． 【详解】解：根据题意可知，，，， ①当时，如图2， 则有； ②当时，如图3， 则有， ∴； ③当，如图4，延长交的延长线于点， 则，， ∴， ∴． 综上所述，其它所有可能符合条件的度数为或或． 故本题答案为：或或． 34．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题．已知，如图1，这副三角尺有以下特征： ①，，，； ②点C到的距离与点F到的距离相等． 请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题： (1)甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在上，与相交于点G，求的度数． (2)乙同学：如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E放在直线上，与相交于点P，则与有怎样的数量关系？请说明理由． (3)丙同学：如图4，三角尺固定不动，转动三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出的度数（写出所有可能的情况）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或或或 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线性质可知，，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分五种情况分别分析，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴； （3）解：角度所有可能的值是或或或或． ①当时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴； ④当时，如图， ∴， ∴， ∴； ⑤当时，如图， ∴， ∴， ∴； 综上，角度所有可能的值是或或或或． 35．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，，求的度数； (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点G与点N重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； (3)在（1）的条件下，将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向，设旋转时间为．请直接写出当与的一边平行时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或40或10 【分析】（1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， ∴，， 过点F作直线，则， ∴， ∴， ∴， ∵将三角尺绕E点以每秒的速度按逆时针方向， ∴，， ①当时，延长交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或或（舍去）； ②当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； ③当时， 同理或， 解得或（舍去）或（舍去）； 综上，t的值为或40或10． 题型八 直尺与三角板拼接模型综合（共5小题） 36．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 37．（2025·广东深圳·二模）数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质计算，由平行线的性质可得，，即可得解． 【详解】解：过点作 ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 38．（22-23七年级下·安徽池州·期末）如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C在直尺的一边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等可先求出，问题随之得解． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行，， ∴． ∵， ∴， 故选：A．    【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差，熟记性质是解题的关键． 39．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 40．（2020·河南周口·一模）如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $